测量学教案第五章测量误差的基本知识Word格式.docx

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2）若观测条件不好，则测量误差大，精度就低；

3）若观测条件相同，则可认为观测精度相同。

3、等精度观测：

在相同观测条件下进行的一系列观测。

不等精度观测:

在不同观测条件下进行的一系列观测。

4、研究误差理论的目的：

由于在测量的结果中有误差是不可避免的，研究误差理论不是为了去消灭误差，而是要对误差来源、性质及其产生和传播的规律进行研究，以便解决测量工作中遇到的一些实际问题。

5、研究误差理论所解决的问题：

（1）在一系列的观测值中，确定观测量的最可靠值；

（2）如何来评定测量成果的精度，以及如何确定误差的限度等；

（3）根据精度要求，确定测量方案（选用测量仪器和确定测量方法）。

5.1.2、测量误差的分类

测量误差按其性质可分为：

系统误差；

偶然误差。

一、系统误差

1、系统误差：

在相同的观测条件下，对某一未知量进行一

系列观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化，这种误差称为系统误差。

2、系统误差产生的原因：

仪器工具上的某些缺陷；

观测者

的某些习惯的影响；

外界环境的影响。

3、系统误差的特点：

具有累积性，对测量结果影响较大，

应尽量设法消除或减弱它对测量成果的影响。

例：

水准测量中LL//CC产生的i角误差对尺读数的影响：

即D=a´

–a=Stgi

随着S的增长而加大----系统误差

系统误差对观测值的准确度（偏离真值的程度）影响很大，必须消除。

4、系统误差消减方法

1）在观测方法和观测程序上采取一定的措施;

前后视距相等——水准测量中i角误差对h的影响、地球气差对h的影响及调焦所产生的影响。

盘左盘右取均值——经纬仪的CC不垂直于HH；

HH不垂直于VV；

度盘偏心差、竖盘指标差对测角的影响。

水准测量往返观测取均值——仪器和尺垫下沉对h的影响。

2）找出产生的原因和规律，对测量结果加改正数。

例：

光电测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等。

3）仔细检校仪器。

例：

经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响。

二、偶然误差

1、偶然误差：

在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号均呈现偶然性，这种误差称为～。

2、产生偶然误差的原因：

主要是由于仪器或人的感觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误差等，以及环境中不能控制的因素（如不断变化着的温度、风力等外界环境）所造成。

3、偶然误差的规律：

偶然误差在测量过程中是不可避免的，从单个误差来看，其大小和符号没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行统计分析，就能发现在观测值内部却隐藏着统计规律。

偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体上具有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变量。

三、偶然误差分布的表示方法

1、表格法

2、直方图法

3、误差概率分布曲线----正态分布曲线

例如：

在相同观测条件下观测了217个三角形

（见图5-J1）的内角，每一个三角形内角和的

真误差为三内角观测值的和减去180°

，

即：

Δ=α+β+γ-180°

。

将所有三角形内角和的误差范围分成若干小的区间d△（如表5-1中的3″）；

统计出每一个小区间出现的误差个数k及频率，

频率=个数k/总数n（n=217），得出统计表。

表5-1三角形内角和真误差统计表

从表5-1中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：

1）小误差出现的个数比大误差多；

2）绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率大致相等；

3）最大误差不超过27″。

横坐标—以偶然误差为横坐标，纵坐标—以频率/d△（频率/组距）为纵坐标，在每一个区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形，各矩形的面积=误差出现在该区间的频率（K/n），所有区间的矩形构成了直方图，如图5-1所示统计表和直方图是偶然误差的实际分布。

3、误差概率分布曲线----正态分布曲线。

3、误差概率分布曲线

当直方图中：

n→∞，d△各区间的频率也就趋于一个完全确定的数值——概率。

若d△→0时，则直方图成为误差概率曲线——正态分布曲线。

它服从于正态分布。

正态分布曲线的方程式为：

式中：

△为偶然误差；

σ（>

0）称为标准差，是与观测条件有关的一个参数。

它的大小可以反映观测精度的高低。

四、偶然误差的四个特性

1、有限性：

在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；

2、集中性：

即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；

3、对称性：

绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；

4、抵偿性：

当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。

即:

在数理统计中，（5-5）式也称偶然误差的数学期望为零，用公式表示：

E（△）=0.

五、不同精度的误差分布曲线：

如图5-3：

曲线Ⅰ、Ⅱ对应着不同观测条件得出的两组误差分布曲线。

曲线Ⅰ较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小，因而观测精度较高。

曲线Ⅱ较为平缓，即离散度较大，因而观测精

度较低。

如图5-3中，曲线Ⅰ、Ⅱ对应着不同观测条件得出的两组误差分布曲线。

当△=0时，

上式是两误差分布曲线的峰值。

其中曲线Ⅰ的峰值较曲线Ⅱ的高，即σ1<

σ2，故第Ⅰ组观测的小误差出现的概率较第Ⅱ组的大。

由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1，所以当小误差出现的概率较大时，大误差出现的概率必然要小。

曲线I表现为较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小，因而观测精度较高。

曲线II相对来说较为平缓，即离散度较大，因而观测精度较低。

六、错误

1、测量成果中除了系统误差和偶然误差以外，还可能出现错误（有时也称之为粗差）。

2、错误产生的原因较多，可能由作业人员疏忽大意、失职而引起，如大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等；

也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起；

还有可能是容许误差取值过小造成的。

错误对观测成果的影响极大，所以在测量成果中绝对不允许有错误存在。

3、发现错误的方法：

进行必要的重复观测，通过多余观测条件，进行检核验算；

严格按照国家有关部门制定的各种测量规范进行作业等。

七、误差理论研究的主要对象——偶然误差

在测量的成果中：

错误可以发现并剔除，系统误差能够加以改正，偶然误差是不可避免的，它在测量成果中占主导地位，测量误差理论主要是处理偶然误差的影响。

5-2评定精度的指标

一、精度——是指一组观测值的密集与离散程度，也可说是一组观测值的误差的密集与离散程度。

例:

对A边三次丈量值为56.882,56.885,56.884后对A边丈量了三次为56.882,56.883,56.883，可以看出：

前者离散度大,精度低;

后者离散度小，精度高。

但为了准确评定观测结果的精度，需要有一些确定的指标。

二、评定精度的指标:

中误差、相对误差、极限误差和容许误差

1、中误差

式（5-3）定义的标准差是衡量精度的一种指标，是理论上的表达式。

在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中，以有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为中误差m，作为衡量精度的一种标准，计算公式为：

注意：

在一组同精度的观测值中，尽管各观测值的真误差D出现的大小和符号各异，而观测值的中误差却是相同的，因为中误差反映观测的精度：

只要观测条件相同，则中误差不变。

中误差代表的是一组观测值的误差分布。

【例5-1】

有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和的真误差）分别为：

甲：

+3″、+1″、-2″、-1″、0″、-3″；

乙：

+6″、-5″、+1″、-4″、-3″、+5″。

试分析两组的观测精度。

【解】用中误差公式（5-6）计算得：

从上述两组结果中可以看出，甲组的中误差较小（±

2.0），所以观测精度高于乙组（±

4.3）。

而直接从观测误差的分布来看，也可看出甲组观测的小误差比较集中，离散度较小，因而观测精度高于乙组。

在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。

2、相对误差

绝对误差：

有符号，并且有与观测值相同的单位的误差，被称为绝对误差。

（如真误差和中误差）用于衡量其误差与观测值大小无关的观测值的精度。

（如角度、方向等）

相对误差：

在某些测量工作中，绝对误差不能完全反映出观测的质量。

相对误差“K”——等于误差的绝对值与相应观测值的比值。

它是一个不名数，常用分子为1的分式表示，即：

相对中误差：

当误差的绝对值为中误差m的绝对值时，K称为～。

相对较差：

在距离测量中还常用往返测量结果的

相对较差来进行检核。

相对较差定义为：

相对较差是相对真误差，它反映的只是往返测的符合程度，显然，相对较差愈小，观测结果愈可靠。

三、极限误差和容许误差

1．极限误差

在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。

这个限值就是极限误差。

在一组等精度观测值中，（s—中误差）

绝对值大于s的偶然误差，其出现的概率为31.7%；

绝对值大于2s的偶然误差，其出现的概率为4.5%；

绝对值大于3s的偶然误差，出现的概率仅为0.3%。

在测量工作中，要求对观测误差有一定的限值。

大于3m的误差出现的机会只有3‰，在有限的观测次数中，实际上不大可能出现。

所以，可取3s作为偶然误差的极限值，称极限误差。

2．容许误差

在实际工作中，测量规范要求观测中不容许存在较大的误差，可由极限误差来确定测量误差的容许值，称为容许误差，即：

当要求严格时，也可取两倍的中误差作为容许误差，即

如果观测值中出现了大于所规定的容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用或重测。

5-3误差传播定律

在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。

一、误差传播定律：

说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律。

求任意函数中误差的方法和步骤如下：

列出独立观测量的函数式：

求出真误差关系式。

对函数式进行全微分，得

求出中误差关系式。

只要把真误差换成中误差的平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式：

二、常用函数的中误差公式

倍数函数

和差函数

若

线性函数

三、应用举例

例5-2在比例尺为1：

500的地形图上，量得两点的长度为d=23.4mm，其中误差md=±

0.2mm，求该两点的实际距离D及其中误差mD。

解：

函数关系式：

D=Md，属倍数函数，M=500是地形图比例尺分母。

两点的实际距离结果可写为：

11.7m±

0.1m。

例5-3

水准测量中，已知后视读数a=1.734m，前视读数b=0.476m，中误差分别为ma=±

0.002m，mb=±

0.003m，试求两点的高差及其中误差。

函数关系式为h=a-b，属和差函数，得

两点的高差结果可写为1.258m±

0.004m。

例5-4在斜坡上丈量距离，其斜距为L=247.50m，中误差mL=±

0.05m，并测得倾斜角α=10°

34′，其中误差mα=±

3′，求水平距离D及其中误差mD

解:

1）首先列出函数式

2）水平距离

这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分，

3）先求出各偏导值如下

4）写成中误差形式：

5）得结果：

D=243.30m±

0.06m。

例5-5在水准测量中，已知每次读水准尺的中误差为mi=±

2mm，假定视距平均长度为50m，若以3倍中误差为容许误差，试求在测段长度为Lkm的水准路线上，图根水准测量往返测所得高差闭合差的容许值。

1）每站观测高差为：

2）每站观测高差的中误差：

因视距平均长度为50m，则每公里可观测10个测站，L公里共观测10L个测站，L公里高差之和为：

L（km）高差和的中误差为：

往返高差的较差（即高差闭合差）为：

高差闭合差的中误差为：

以3倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容许值为：

在第二章中，取作为闭合差的容许值是考虑了除读数误差以外的其它误差的影响（如外界环境的影响、仪器的i角误差等）。

三、注意事项

1．要正确列出函数式

用长30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为ml=±

5mm，求全长D及其中误差mD。

1）函数式

按倍数函数式求全长中误差，将得出

2）实际上全长应是10个尺段之和，故函数式应为

用和差函数式求全长中误差，因各段中误差均相等，故得全长中误差为

按实际情况分析用和差公式是正确的，而用倍数公式则是错误的。

2．在函数式中各个观测值必须相互独立，即互不相关。

如有函数式：

而：

若已知x的中误差为mx，求Z的中误差mz。

1）直接用公式计算,由（a）式得：

由（b）式得：

代入（c）式得

（上面所得的结果是错误）因为y1和y2都是x的函数，它们不是互相独立的观测值，因此在（a）式的基础上不能应用误差传播定律。

正确的做法是：

先把（b）式代入（a）式，再把同类项合并，然后用误差传播定律计算。

四、最或然值：

平差的结果是得到未知量最可靠的估值，它最接近真值，平差中一般称这个最接近真值的估值为“最或然值”，或“最可靠值”，有时也称“最或是值”，一般用x表示。

一、等精度直接观测值的最或然值

算术平均值（最或然值x）

二、评定精度

（一）观测值的中误差

1．由真误差来计算

当观测量的真值已知时,可根据中误差估值的定义即由观测值的真误差来计算其中误差。

2．由改正数（最或然值误差v）来计算

在实际工作中，观测量的真值除少数情况外一般是不易求得的。

因此在多数情况下，我们只能按观测值的最或然值来求观测值的中误差。

该式称为白塞尔公式。

等精度观测用改正数计算观测值中误差的公式。

（二）最或然值的中误差

一组等精度观测值为L1、L2、…Ln，其中误差均相同，设为m，最或然值x（算术平均值）的中误差M为

例5-6对某角等精度观测6次，其观测值见表5-3。

试求观测值的最或然值、观测值的中误差以及最或然值的中误差。

观测值的最或然值:

x=75°

32′15.5″

观测值的中误差:

最或然值的中误差:

观测值

改正数v（″）

vv（″）

L1=75°

32′13″

2.5″

6.25

L2=75°

32′18″

-2.5″

L3=75°

32′15″

0.5″

0.25

L4=75°

32′17″

-1.5″

2.25

L5=75°

32′16″

-0.5″

L6=75°

32′14″

1.5″

x=[L]/n=75°

[v]=0

[vv]=17.5

一般袖珍计算器都具有统计计算功能（STAT），能很方便地进行上述计算（参考各计算器说明书）

算术平均值的中误差是观测值中误差的倍,这说明算术平均值的精度比观测值的精度要高，且观测次数愈多，精度愈高。

所以多次观测取其平均值，是减小偶然误差的影响、提高成果精度的有效方法。

当观测的中误差m一定时，算术平均值的中误差M与观测次数n的平方根成反比，观测次数与算术平均值中误差的关系

观测次数n与M之间的变化关系：

n增加时，M减小；

当n达到一定数值后，再增加观测次数，工作量增加，但提高精度的效果就不太明显了。

不能单纯靠增加观测次数来提高测量成果的精度。

偶然误差的削弱的方法

如：

使用精度较高的仪器、提高观测技能、在较好的外界条件下进行观测。

2）进行多次观测：

观测值个数大于未知量的个数，分配闭合差（超限重测）;

求观测值的最可靠值（算术平均值或改正后平差值）.