名师一号高考总复习北师大数学理科全解全析2Word文档下载推荐.docx

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10

P

0.3

0.4

0.2

0.1

于是，E（Y）＝0×

0.3＋2×

0.4＋6×

0.2＋10×

0.1＝3；

D（Y）＝（0－3）2×

0.3＋（2－3）2×

0.4＋（6－3）2×

0.2＋（10－3）2×

0.1＝9.8.

故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.

（2）由概率的加法公式，

得P（X≥300）＝1－P（X<

300）＝0.7，

又P（300≤X<

300）＝0.9－0.3＝0.6.

由条件概率，

得P（Y≤6|X≥300）＝P（X<

900|X≥300）

＝＝＝.

故在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.

（1）均值为3，方差为9.8；

（2）.

通关训练1　解析：

（1）3名学生选择的选修课互不相同的概率：

p1＝＝；

（2）设某一选修课被这3名学生选择的人数为ξ，

则ξ＝0,1,2,3.P（ξ＝0）＝＝，

P（ξ＝1）＝＝，

P（ξ＝2）＝＝，

P（ξ＝3）＝＝.

所以ξ的分布列为

ξ

1

3

数学期望E（ξ）＝0×

＋2×

＋3×

（1）；

【例2】　解析：

（1）随机变量X的分布列为

X

0.8

因为X服从两点分布，故E（X）＝p＝0.8，D（X）＝p（1－p）＝0.8×

0.2＝0.16.

（2）由题意知，命中次数Y服从二项分布，

即Y～B（10,0.8），

∴E（Y）＝np＝10×

0.8＝8，D（Y）＝np（1－p）＝10×

0.8×

0.2＝1.6.

（1）均值为0.8，方差为0.16；

（2）均值为8，方差为1.6.

通关训练2　解析：

（1）由E（ξ）＝np＝3，D（ξ）＝np（1－p）＝，得1－p＝，从而n＝6，p＝.

ξ的分布列为

4

5

（2）记“需要补种沙柳”为事件A，则P（A）＝P（ξ≤3），得

P（A）＝＝或P（A）＝1－P（ξ>

3）＝1－＝.

（1）n＝6，p＝，ξ的分布列为

【例3】　解析：

（1）X1的概率分布列为

X1

1.2

1.18

1.17

E（X1）＝1.2×

＋1.18×

＋1.17×

＝1.18.

由题设得X～B（2，p），即X的概率分布列为

（1－p）2

2p（1－p）

p2

故X2的概率分布列为

X2

1.3

1.25

所以E（X2）＝1.3×

（1－p）2＋1.25×

2p（1－p）＋0.2×

p2＝1.3×

（1－2p＋p2）＋2.5×

（p－p2）＋0.2×

p2＝－p2－0.1p＋1.3.

（2）由E（X1）<

E（X2），得－p2－0.1p＋1.3>

1.18，

整理得（p＋0.4）（p－0.3）<

0，解得－0.4<

p<

0.3.

因为0<

1，所以当E（X1）<

E（X2）时，

p的取值范围是0<

X2的概率分布列为

E（X1）＝1.18，E（X2）＝－p2－0.1p＋1.3；

（2）0＜p＜0.3.

通关训练3　解析：

（1）由题设可知Y1和Y2的分布列为

Y1

Y2

8

12

0.5

E（Y1）＝5×

0.8＋10×

0.2＝6，

D（Y1）＝（5－6）2×

0.8＋（10－6）2×

0.2＝4，

E（Y2）＝2×

0.2＋8×

0.5＋12×

0.3＝8，

D（Y2）＝（2－8）2×

0.2＋（8－8）2×

0.5＋（12－8）2×

0.3＝12.

（2）f（x）＝D＋D

＝2D（Y1）＋2D（Y2）

＝[x2＋3（100－x）2]

＝（4x2－600x＋3×

1002）．

当x＝＝75时，f（x）＝3为最小值．

（1）D（Y1）＝4，D（Y2）＝12；

（2）f（x）的最小值为3，此时x＝75.

考题调研　成功体验————————————————

E（X）＝1×

＝＝.

由题意可知涂漆面数X的可能取值为0,1,2,3.

由于P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，

故E（X）＝0×

B

（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以

P（A）＝P（A1B1）＋P（A2B2）

＝P（A1）P（B1|A1）＋P（A2）P（B2|A2）

＝×

＋×

（2）X可能的取值为400,500,800，并且

P（X＝400）＝1－－＝，P（X＝500）＝，

P（X＝800）＝.

所以X的分布列为

400

500

800

E（X）＝400×

＋500×

＋800×

＝506.25.

（2）X的分布列为

，数学期望为506.25.

（1）记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，

由题意，各局比赛结果相互独立，

故P（A1）＝3＝，

P（A2）＝C2×

＝，

P（A3）＝C22×

所以，甲队以3∶0胜利、3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为.

（2）设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，

所以P（A4）＝C22×

由题意，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，

根据事件的互斥性得

P（X＝0）＝P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）＝，

又P（X＝1）＝P（A3）＝，

P（X＝2）＝P（A4）＝，

P（X＝3）＝1－P（X＝0）－P（X＝1）－P（X＝2）＝.

故X的分布列为

所以E（X）＝0×

（1），，；

，数学期望为.

第二节　直接证明与间接证明

条件是否成立　反复执行　循环体　概括性　逻辑性　有穷性　不唯一性　普遍性　条件结构　循环结构

由题意得，p＝1×

1＝1，k＝1＜6；

k＝1＋1＝2，p＝1×

2＝2，k＝2＜6；

k＝2＋1＝3，p＝2×

3＝6，k＝3＜6；

k＝3＋1＝4，p＝6×

4＝24，k＝4＜6；

k＝4＋1＝5，p＝24×

5＝120，k＝5＜6；

k＝5＋1＝6，p＝120×

6＝720.k＝6不小于6，故输出p＝720，选B.

由框图可知，x＝－4；

x＝7；

x＝4；

x＝1，此时不满足判断框中的条件，则y＝2.故选C.

|x1－x2|＝3，|x2－x3|＝|x3－9|，

故当|x1－x2|＜|x2－x3|，

即3＜|x3－9|时，p＝＝与p＝8.5不符；

当|x1－x2|≥|x2－x3|，

即3≥|x3－9|时，p＝＝＝8.5，

∴x3＝8，故选B.

该算法程序中使用的是条件语句，根据其特征可得出结果．

负数　3

【例1】　解析：

算法步骤：

第一步，s＝0；

第二步，i＝0；

第三步，s＝s＋2i；

第四步，i＝i＋1；

第五步，判断i是否大于49，若成立，则输出s结束；

否则返回第三步重新执行．

程序框图如下：

略

算法如下：

第一步，输入x.

第二步，若x＞0，则y＝－2；

若x＝0，则y＝0；

若x＜0，则y＝2.

第三步，输出函数值y.

相应的程序框图如图所示．

i＝1，S＝＝－1；

i＝2，S＝＝；

i＝3，S＝＝；

i＝4，S＝＝4；

i＝5，S＝＝－1，i＝6，S＝＝；

i＝7，S＝＝；

i＝8，S＝＝4；

而i＝9不满足判断框条件，退出循环，输出S＝4.

D

第一次运行：

p＝1，s＝1，t＝1，k＝2；

第二次运行：

p＝2，s＝1，t＝2，k＝3；

第三次运行：

p＝3，s＝2，t＝3，k＝4，不满足k＜n，故输出p为3.

执行语句1，得到（i，i·

（i＋1））结果依次为（1,2），（2,6），（3,12），（4,20），故输出i＝4.

执行语句2的情况如下：

i＝1，i＝i＋1＝2，i·

（i＋1）＝6<

20（是），结束循环，输出i＝2.

i＝4　i＝2

当填i<

13时，i值顺次执行的结果是5,7,9,11，当执行到i＝11时，下次就是i＝13，这时要结束循环，因此计算的结果是1×

3×

5×

7×

9×

11，故不能填13，但填的数字只要超过13且不超过15均可保证最后一次循环时，得到的计算结果是1×

11×

13.

若t∈[－1,1），则执行s＝3t，故s∈[－3,3）．

若t∈[1,3]，则执行s＝4t－t2，其对称轴为t＝2.

故当t＝2时，s取得最大值4；

当t＝1或3时，s取得最小值3，则s∈[3,4]．

综上可知，输出的s∈[－3,4]．故选A项．

由程序框图知，当k＝1，S＝0，T＝1时，T＝1，S＝1；

当k＝2时，T＝，S＝1＋，

当k＝3时，T＝，S＝1＋＋；

当k＝4时，T＝，S＝1＋＋＋；

…；

当k＝10时，T＝，S＝1＋＋＋…＋，k增加1变为11，满足k＞N，输出S，所以B项正确．

当k＝10时，执行程序框图如下：

S＝0，i＝1；

S＝1，i＝2；

S＝1＋2，i＝3；

S＝1＋2＋22，i＝4；

…　　　　　…

S＝1＋2＋22＋…＋28，i＝10；

S＝1＋2＋22＋…＋29，i＝11.

当i＝2时，S＝2×

2＋1＝5；

当i＝3时，S＝2×

3＋4＝10，不满足S＜10，排除D项；

当i＝4时，S＝2×

4＋1＝9；

当i＝5时，A、B两项中的S满足S＜10，继续循环，C项中的S＝10不满足S＜10，退出循环，输出i＝5，故选C项．

由算法语句可知y＝

所以当x＝60时，y＝25＋0.6×

（60－50）＝25＋6＝31.

选修4－1　几何证明选讲

第一节　相似三角形的判定及有关性质

∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形．

∴FC＝DE＝5cm.

∵DF∥AC，∴＝，即＝.

∴BF＝10cm.

10cm

由△ABD∽△CBA得AB2＝BD·

BC.

由△ADC∽△BAC，得AC2＝DC·

BC，

∴＝＝.

即CD∶BD＝4∶9.

4∶9

由题可证得△BEF∽△CDF，∴＝＝.

∴＝＝＋1＝.

5∶2

由∠B＝∠D，AE⊥BC及∠ACD＝90°

可推得Rt△ABE∽Rt△ADC，则＝，∴AE＝＝2.

∵PQ⊥PC，∴∠APQ＋∠BPC＝90°

.

∴∠APQ＝∠BCP.

∴Rt△APQ∽Rt△PBC.∴＝.

∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3，∴PB＝3，AP＝1.

∴PQ＝.又PC2＝＝5，∴PQ＝.

由CD＝2，AB＝4，EF＝3，得EF＝（CD＋AB），则EF是梯形ABCD的中位线，则梯形ABFE与梯形EFCD有相同的高，设为h，于是两梯形的面积比为

（3＋4）h∶（2＋3）h＝7∶5.

7∶5

如图所示，延长BA、CD交于点P，

∵AD∥BC，∴＝＝，∴＝.

又∵＝，∴＝，

∴＝，∴＝.

∵AD∥EF，∴＝＝，又AD＝2，∴EF＝.

（1）证明：

∵E是AB的中点，∴AB＝2EB.

∵AB＝2CD，∴CD＝EB.

又AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形．

∴CB∥DE，∴∴△EDM∽△FBM.

（2）∵△EDM∽△FBM，∴＝.

∵F是BC的中点，∴DE＝2BF.

∴DM＝2BM，∴BM＝DB＝3.

在Rt△ABC中，BC＝3，AC＝，AB＝＝2.

易证得△ABC∽△DBE，∴＝⇒＝，

∴BD＝4⇒CD＝1，AD＝4，∴sin∠CAD＝＝.

连接AD，由射影定理可知ED2＝AE·

EB＝1×

5＝5，又易知△EBD与△FED相似，得DF·

DB＝ED2＝5.

在Rt△ACB中，由射影定理得CD2＝AD·

DB,42＝8·

AD，AD＝2，AB＝AD＋DB＝10，所以圆的半径等于5.

1.

解析：

在Rt△ABC中，

AB＝，BC＝3，

∴AC＝＝2.

∵AB2＝AE·

AC，

∴AE＝＝.

过E作EF⊥AD，得：

∴＝，∴EF＝，又∵EF∥CD，∴＝，

∴＝，∴AF＝.∴FD＝3－＝.

在△EFD中，DE＝

如图，∵PE∥BC，

∴∠PED＝∠C，

又∵∠A＝∠C，∴∠PED＝∠A，

又∵∠P是公共角．∴△PDE∽△PEA.∴＝，∴PE2＝PA·

PD＝3×

2＝6.

∴PE＝.

∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，又＝＝，且相似三角形的面积之比等于对应边的比的平方，

∴△CDF的面积等于9cm2.

9

4．答案：

5．答案：

第二节　直线与圆的位置关系

因为圆内接四边形的对角之和为180°

，

则∠A＋∠C＝∠B＋∠D＝180°

又因为∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶6，

所以∠B∶∠D＝3∶5.

所以∠D的度数为×

180°

＝112.5°

112.5°

∵EG平分∠E，∴∠FEC＝20°

∴∠FCE＝∠CFG－∠FEC＝60°

∵四边形ABCD内接于圆，

∴∠A＝∠FCE＝60°

60°

∵AB是圆的直径，直线AC是圆的切线，

∴∠ADB＝∠CAB＝90°

由勾股定理得BC＝＝.

由三角形的面积公式，得AB·

AC＝BC·

AD，

∴AD＝＝.

由相交弦定理得AF·

FB＝DF·

FC.

设AF＝4x，则4x·

2x＝2，∴x2＝.

再由切割线定理得CE2＝EB·

EA＝x·

7x＝7x2＝，

∴CE＝.

由切割线定理，得ED2＝EA·

EB，

∴22＝EA（EA＋3）．

即EA2＋3EA－4＝0，解得EA＝1（舍去负值），

∴EB＝4.

∵CB切圆O于B点，CD切圆O于D点，AB是圆O的直径，

∴CD＝CB，∠CBE＝90°

由勾股定理得CB2＋EB2＝CE2，

即CB2＋42＝（2＋CB）2，解得CB＝3.∴BC的长为3.

连接OA.∵AP为⊙O的切线，∴OA⊥AP.

又∠ABC＝30°

，∴∠AOC＝60°

∴在Rt△AOP中，OA＝1，PA＝OA·

tan60°

∵PA为圆O的切线，A为切点，

∴∠PAO＝90°

又∵∠PAB＝120°

，∴∠OAB＝30°

又∵OA＝OB，∴∠OBA＝30°

∴∠AOC＝∠OAB＋∠OBA＝60°

又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，

∴圆O的半径OA＝AC＝2，∴圆O的面积为4π.

4π

（1）由圆I与边AC相切于点E，

得IE⊥AE，

结合IH⊥AH，得∠AEI＝∠AHI＝90°

所以，四点A，I，H，E共圆．

（2）由

（1）知四点A，I，H，E共圆，则∠IEH＝∠HAI.

在△HIA中，∠HIA＝∠ABI＋∠BAI＝∠ABC＋∠BAC＝（∠ABC＋∠BAC）＝（180°

－∠C）＝90°

－∠C.

结合IH⊥AH，得∠HAI＝90°

－∠HIA＝∠C，

所以∠IEH＝∠C.

由∠C＝50°

得∠IEH＝25°

连接AC，

∵OD是⊙O的半径，AD＝DC，

∴OD⊥AC，

∵∠BCA＝90°

，∴BC⊥AC，

∴OD∥BC.

（2）由

（1）及EA＝AO，ED＝2，

知＝＝＝，

∴EC＝3，∵ED·

EC＝EA·

EB＝3EA2，

∴3EA2＝2×

3，即EA＝.

∵CD＝EC－ED＝1，BC＝OD＝EA＝，

∴四边形ABCD的周长为AD＋CD＋BC＋BA＝2＋.

（1）由AC与⊙O′相切于A，

得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，

所以△ACB∽△DAB，从而＝，

即AC·

BD＝AD·

AB.

（2）由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD，

又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.从而＝，

即AE·

结合

（1）的结论，AC＝AE.

连接DE，因为ACED是圆的内接四边形，所以∠BDE＝∠BCA，又∠DBE＝∠CBA，所以△BDE∽△BCA，即有＝，而AB＝2AC，

所以BE＝2DE.又CD是∠ACB的平分线，所以AD＝DE，从而BE＝2AD.

（2）由条件得AB＝2AC＝2，设AD＝t，根据割线定理得

BD·

BA＝BE·

BC，即（AB－AD）·

BA＝2AD·

（2AD＋CE），

所以（2－t）×

2＝2t（2t＋2），即2t2＋3t－2＝0，解得t＝或t＝－2（舍去），即AD＝.

连接OC.∵AB为圆O的直径，∴AC⊥BC.

又BC＝CD，

∴AB＝AD＝6，∠BAC＝∠CAD.

又CE为圆O的切线，则OC⊥CE.

∵∠ACE为弦切角，∴∠ACE＝∠B.

∴∠ACE＋∠CAD＝90°

∴CE⊥AD.

又AC⊥CD，∴CD2＝ED·

AD＝2×

6＝12，即CD＝2.

∴BC＝2.

设PD＝9k，则DB＝16k（k＞0）．

由切割线定理可得，PA2＝PD·

PB，即32＝9k·

25k，可得k＝.∴PD＝，PB＝5.

在Rt△APB中，AB＝＝4.

　4

∵AE为圆的切线，

∴由切割线定理，得AE2＝EB·

ED.

又AE＝6，BD＝5，可解得EB＝4.

∵∠EAB为弦切角，且AB＝AC，

∴∠EAB＝∠ACB＝∠ABC.

∴EA∥BC.又BD∥AC，

∴四边形EBCA为平行四边形．

∴BC＝AE＝6，AC＝EB＝4.

由BD∥AC，得△ACF∽△DBF，∴＝＝.

又CF＋BF＝BC＝6，∴CF＝.

4.

证明：

连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，

所以∠ADO＝∠ACB＝90°

又因为∠A＝∠A，

所以Rt△ADO∽Rt△ACB.

所以＝.

又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.

连接DE，交BC于点G.

由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.

而∠ABE＝∠CBE，

故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.

又因为DB⊥BE，

所以DE为直径，∠DCE＝90°

由勾股定理可得DB＝DC.

（2）由

（1）知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，

故DG是BC的中垂线，故BG＝.

设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°

从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°

，所以CF⊥BF，

故Rt△BCF外接圆的半径等于.

选修4－4　坐标系与参数方程

第一节　坐标系

ρsinθ　x2＋y2

（x≠0）　ρ＝r（0≤θ＜2π）　ρ＝2rcosθ

ρ＝2rsinθ（0≤θ＜π）　ρcosθ＝a　ρsinθ＝a（0＜θ＜π）　ρsin（α－θ）＝asinα

由伸缩变换得

将其代入x－2y＝2得2x′－y′＝4.

2x′－y′＝4

P，Q在过极点且与极轴成角的直线上，它们位于极点的两侧，因此PQ＝5＋1＝6.

因为x2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ，所以原方程可化为ρ2－8ρsinθ＝0