初中数学九大几何模型解题思路之欧阳地创编.docx
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初中数学九大几何模型解题思路之欧阳地创编
九大几何模型
一、
时间:
2021.03.04
创作:
欧阳地
二、
手拉手模型----旋转型全等
(1)等边三角形
【条件】:
△OAB和△OCD均为等边三角形;
【结论】:
①△OAC≌△OBD;②∠AEB=60°;③OE平分∠AED
(2)等腰直角三角形
【条件】:
△OAB和△OCD均为等腰直角三角形;
【结论】:
①△OAC≌△OBD;②∠AEB=90°;③OE平分∠AED
(3)顶角相等的两任意等腰三角形
【条件】:
△OAB和△OCD均为等腰三角形;
且∠COD=∠AOB
【结论】:
①△OAC≌△OBD;
②∠AEB=∠AOB;
③OE平分∠AED
二、
模型二:
手拉手模型----旋转型相似
(1)一般情况
【条件】:
CD∥AB,
将△OCD旋转至右图的位置
【
结论】:
①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD;
②延长AC交BD于点E,必有∠BEC=∠BOA
(2)特殊情况
【条件】:
CD∥AB,∠AOB=90°
将△OCD旋转至右图的位置
【结论】:
①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD;
②延长AC交BD于点E,必有∠BEC=∠BOA;
③
tan∠OCD;④BD⊥AC;
⑤连接AD、BC,必有
;⑥
三、模型三、对角互补模型
(1)全等型-90°
【条件】:
①∠AOB=∠DCE=90°;②OC平分∠AOB
【结论】:
①CD=CE;②OD+OE=
OC;③
证明提示:
①作垂直,如图2,证明△CDM≌△CEN
②过点C作CF⊥OC,如图3,证明△ODC≌△FEC
※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时(如图4):
以上三个结论:
①CD=CE;②OE-OD=
OC;
③
(2)全等型-120°
【条件】:
①∠AOB=2∠DCE=120°;②OC平分∠AOB
【结论】:
①CD=CE;②OD+OE=OC;③
证明提示:
①可参考“全等型-90°”证法一;
②如右下图:
在OB上取一点F,使OF=OC,证明△OCF为等边三角形。
(3)全等型-任意角ɑ
【条件】:
①∠AOB=2ɑ,∠DCE=180-2ɑ;②CD=CE;
【结论】:
①OC平分∠AOB;②OD+OE=2OC·cosɑ;
③
※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时(如右下图):
原结论变成:
①;
②;
③。
可参考上述第②种方法进行证明。
请思考初始条件的变化对模型的影响。
对角互补模型总结:
①常见初始条件:
四边形对角互补,注意两点:
四点共圆有直角三角形斜边中线;
②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别;
③注意OC平分∠AOB时,
∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引导?
四、模型四:
角含半角模型90°
(1)角含半角模型90°---1
【条件】:
①正方形ABCD;②∠EAF=45°;
【结论】:
①EF=DF+BE;②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半;
也可以这样:
【条件】:
①正方形ABCD;②EF=DF+BE;
【结论】:
①∠EAF=45°;
(2)角含半角模型90°---2
【条件】:
①正方形ABCD;②∠EAF=45°;
【结论】:
①EF=DF-BE;
(3)角含半角模型90°---3
【条件】:
①Rt△ABC;②∠DAE=45°;
【结论】:
(如图1)
若∠DAE旋转到△ABC外部时,结论
仍然成立(如图2)
(4)角含半角模型90°变形
【条件】:
①正方形ABCD;②∠EAF=45°;
【结论】:
△AHE为等腰直角三角形;
证明:
连接AC(方法不唯一)
∵∠DAC=∠EAF=45°,
∴∠DAH=∠CAE,又∵∠ACB=∠ADB=45°;
∴△DAH∽△CAE,∴
∴△AHE∽△ADC,∴△AHE为等腰直角三角形
模型五:
倍长中线类模型
(1)倍长中线类模型---1
【条件】:
①矩形ABCD;②BD=BE;
③DF=EF;
【结论】:
AF⊥CF
模型提取:
①有平行线AD∥BE;②平行线间线段有中点DF=EF;
可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF。
(2)倍长中线类模型---2
【条件】:
①平行四边形ABCD;②BC=2AB;③AM=DM;④CE⊥AB;
【结论】:
∠EMD=3∠MEA
辅助线:
有平行AB∥CD,有中点AM=DM,延长EM,构造△AME≌△DMF,连接CM构造
等腰△EMC,等腰△MCF。
(通过构造8字全等线段数量及位置关系,角的大小转化)
模型六:
相似三角形360°旋转模型
(1)相似三角形(等腰直角)360°旋转模型---倍长中线法
【条件】:
①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形;②EF=CF;
【结论】:
①DF=BF;②DF⊥BF
辅助线:
延长DF到点G,使FG=DF,连接CG、BG、BD,证明△BDG为等腰直角三角形;
突破点:
△ABD≌△CBG;
难点:
证明∠BAO=∠BCG
(2)相似三角形(等腰直角)360°旋转模型---补全法
【条件】:
①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形;②EF=CF;
【结论】:
①DF=BF;②DF⊥BF
辅助线:
构造等腰直角△AEG、△AHC;
辅助线思路:
将DF与BF转化到CG与EF。
(3)任意相似直角三角形360°旋转模型---补全法
【条件】:
①△OAB∽△ODC;②∠OAB=∠ODC=90°;③BE=CE;
【结论】:
①AE=DE;②∠AED=2∠ABO
辅助线:
延长BA到G,使AG=AB,延长CD到点H使DH=CD,补全△OGB、△OCH构造旋转模型。
转化AE与DE到CG与BH,难点在转化∠AED。
(4)任意相似直角三角形360°旋转模型---倍长法
【条件】:
①△OAB∽△ODC;②∠OAB=∠ODC=90°;③BE=CE;
【结论】:
①AE=DE;②∠AED=2∠ABO
辅助线:
延长DE至M,使ME=DE,将结论的两个条件转化为证明△AMD∽△ABO,此为难点,
将△AMD∽△ABC继续转化为证明△ABM∽△AOD,使用两边成比例且夹角相等,此处难点在证明∠ABM=∠AOD
模型七:
最短路程模型
(1)最短路程模型一(将军饮马类)
总结:
右四图为常见的轴对称类最短路程问题,
最后都转化到:
“两点之间,线段最短:
解决;
特点:
①动点在直线上;②起点,终点固定
(2)最短路程模型二(点到直线类1)
【条件】:
①OC平分∠AOB;②M为OB上一定点;③P为OC上一动点;④Q为OB上一动点;
【问题】:
求MP+PQ最小时,P、Q的位置?
辅助线:
将作Q关于OC对称点Q’,转化PQ’=PQ,过点M作MH⊥OA,
则MP+PQ=MP+PQ’
MH(垂线段最短)
(3)最短路程模型二(点到直线类2)
【条件】:
A(0,4),B(-2,0),P(0,n)
【问题】:
n为何值时,
最小?
求解方法:
①x轴上取C(2,0),使sin∠OAC=
;②过B作BD⊥AC,交y轴于点E,即为所求;③tan∠EBO=tan∠OAC=
,即E(0,1)
(4)最短路程模型三(旋转类最值模型)
【条件】:
①线段OA=4,OB=2;②OB绕点O在平面内360°旋转;
【问题】:
AB的最大值,最小值分别为多少?
【结论】:
以点O为圆心,OB为半径作圆,如图所示,将问题转化为
“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”。
最大值:
OA+OB;最小值:
OA-OB
【条件】:
①线段OA=4,OB=2;②以点O为圆心,OB,OC为半径作圆;
③点P是两圆所组成圆环内部(含边界)一点;
【结论】:
若PA的最大值为10,则OC=6;若PA的最小值为1,则OC=3;
若PA的最小值为2,则PC的取值范围是0【条件】:
①Rt△OBC,∠OBC=30°;
②OC=2;③OA=1;④点P为BC上动点(可与端点重合);
⑤△OBC绕点O旋转
【结论】:
PA最大值为OA+OB=
;PA的最小值为
如下图,圆的最小半径为O到BC垂线段长。
模型八:
二倍角模型
【条件】:
在△ABC中,∠B=2∠C;
辅助线:
以BC的垂直平分线为对称轴,作点A的对称点A’,连接AA’、BA’、CA’、
则BA=AA’=CA’(注意这个结论)
此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一,不是唯一作法。
模型九:
相似三角形模型
(1)相似三角形模型--基本型
平行类:
DE∥BC;
A字型8字型A字型
结论:
(注意对应边要对应)
(2)相似三角形模型---斜交型
【条件】:
如右图,∠AED=∠ACB=90°;
【结论】:
AE×AB=AC×AD
【条件】:
如右图,∠ACE=∠ABC;
【结论】:
AC2=AE×AB
第四个图还存在射影定理:
AE×EC=BC×AC;BC2=BE×BA;CE2=AE×BE;
(3)
相似三角形模型---一线三等角型
【条件】:
(1)图:
∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°;
(2)图:
∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°;
(3)图:
∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°;
【结论】:
①△ABC∽△CDE;②AB×DE=BC×CD;
一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。
(4)相似三角形模型---圆幂定理型
【条件】:
(2)图:
PA为圆的切线;
【结论】:
(1)图:
PA×PB=PC×PD;
(2)图:
PA2=PC×PB;
(3)图:
PA×PB=PC×PD;
以上结论均可以通过相似三角形进行证明。
时间:
2021.03.04
创作:
欧阳地