用基本不等式解决应用题.docx

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用基本不等式解决应用题

用基本不等式解决应用题

例1.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为：

，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设为建造宿舍与修路费用之和．

（1）求的表达式；

（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．

变式：

某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为（m），三块种植植物的矩形区域的总面积为（m2）．

（1）求关于的函数关系式；

（2）求的最大值．

17．解：

（1）由题设，得

，．………………………6分

（2）因为，所以，……………………8分

当且仅当时等号成立．………………………10分

从而．………………………12分

答：

当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为m2．………………………14分

例2．某小区想利用一矩形空地建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中，，且中，，经测量得到．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点作一直线交于，从而得到五边形的市民健身广场，设．

（1）将五边形的面积表示为的函数；

（2）当为何值时，市民健身广场的面积最大？

并求出最大面积．

变式.某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．

（1）求θ关于x的函数关系式；

（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？

18、（本题满分16分）

如图所示，把一些长度均为4米（PA＋PB＝4米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：

人在帐蓬里“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为x，AB边上的高PH为y，则，若k越大，则“舒适感”越好。

（I）求“舒适感”k的取值范围；

（II）已知M是线段AB的中点，H在线段AB上，设MH＝t，当人在帐蓬里的“舒适感”k达到最大值时，求y关于自变量t的函数解析式；并求出y的最大值（请说明详细理由）。

17.（本小题满分14分）

某公司生产的某批产品的销售量万件（生产量与销售量相等）与促销费用万元满足（其中为正常数）.已知生产该批产品还要投入成本万元（不包含促销费用），产品的销售价格定为元/件.

（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；

（2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？

17.如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.

（1）若围墙AP,AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？

（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？

18．（16分）某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．

（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；

（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围．

【考点】根据实际问题选择函数类型．

【专题】应用题；函数的性质及应用．

【分析】

（1）利用前4个月，区域外的需求量为20万吨，求出p，可得y=10（1≤x≤16，x∈N*），即可求出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；

（2）由题意0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），分离参数求最值，即可得出结论．

【解答】解：

（1）由题意，20=，∴2p=100，

∴y=10（1≤x≤16，x∈N*），

∴油库内储油量M=mx﹣x﹣10+10（1≤x≤16，x∈N*）；

（2）∴0≤M≤30，

∴0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），

∴（1≤x≤16，x∈N*）恒成立．；

设=t，则≤t≤1，．

由≤（x=4时取等号），可得m≥，

由20t2+10t+1=≥（x﹣16时取等号），可得m≤，

∴≤m≤．

17．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．

（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

（2）在

（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

考点：

基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．

专题：

计算题；应用题．

分析：

（1）根据题意可列出10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，进而解不等式求得x的范围，确定问题的答案．

（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a的范围．

解答：

解：

（1）由题意得：

10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，

即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．

即最多调整500名员工从事第三产业．

（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，

从事原来产业的员工的年总利润为万元，

则（1+0.2x%）

所以，

所以ax≤，

即a≤恒成立，

因为，

当且仅当，即x=500时等号成立．

所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5，

即a的取值范围为（0，5]．