集合与简易逻辑复习与小结Word文档下载推荐.docx
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[f(x)]2<
[g(x)]2
[f(x)+g(x)]·
[f(x)-g(x)]<
0.
④对于含有两个或两个以上的绝对值符号的绝对值不等式,利用“零点分段讨论法”去绝对值.如解不等式:
|x+3|-|2x-1|<
3x+2.
(2)一元二次不等式的解法
任何一个一元二次不等式,经过不等式的同解变形,都能化为ax2+bx+c>
0(a>
0),或ax2+bx+c<0(a>
0)的形式,再根据“大于取两边,小于夹中间”得解集(若判别式△≤0,则利用配方法求解较方便).
详细解集见下表:
判别式
△=b2-4ac
△>
△=0
△<
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>
0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
0)的根
有两相异实根
x1,x2(x1<
x2)
有两相等实根
没有实根
ax2+bx+c>
0)的解集
{x|x<
x1,
或x>
x2}
R
ax2+bx+c<
{x|x1<
(3)分式不等式的解法
①分类讨论去分母法:
②转整式不等式法:
运用时,必须使不等式一边为0,转化为
≤0形式,则:
(4)高次不等式的解法
3、简易逻辑知识
逻辑联结词“或”、“且”、“非”是判断简单合题与复合命题的依据;
真值表是由简单命题和真假判断复合命题真假的依据,理解好四种命题的关系,对判断命题的真假有很大帮助;
掌握好反证法证明问题的步骤.
(1)命题
①简单命题:
不含逻辑联结词的命题
②复合命题:
由简单命题与逻辑联结词构成的命题
(2)复合命题的真值表
非p形式复合命题的真假可以用下表表示.
p
非p
真
假
p且q形式复合命题的真假可以用下表表示.
q
p且q
p或q形式复合命题的真假可以用下表表示.
p或q
(3)四种命题及其相互之间的关系
一个命题与它的逆否命题是等价的.
(4)充分、必要条件的判定
①若p
q且q
p,则p是q的充分不必要条件;
②若p
p,则p是q的必要不充分条件;
③若p
p,则p是q的充要条件;
④若p
p,则p是q的既不充分也不必要条件.
(5)反证法
反证法是“命题与其逆否命题等价”这一理论的具体体现,用反证法证明命题的一般步骤是:
①假设命题的结论不成立.
②经过推理论证,得出矛盾.
③由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
4、运用知识、运用方法过程中应注意的主要问题
(1)正确理解集合的概念必须掌握构成集合的两个必要条件:
研究对象是具体的,其属性是确定的.
(2)在判断给定对象能否构成集合时,特别要注意它的“确定性”,在表示一个集合时,要特别注意它的“互异性”、“无序性”.
(3)在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.
(4)对由条件给出的集合要明白它所表示的意义,即元素指什么,是什么范围.用集合表示不等式(组)的解集时,要注意分辨是交集还是并集,结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断.空集是任何集合的子集,但因为不好用文氏图形表示,容易被忽视,如在关系式
中,易漏掉
的情况.
(5)若集合中的元素是用坐标形式表示的,要注意满足条件的点构成的图形是什么,用数形结合法解之.
(6)若集合中含有参数,须对参数进行分类讨论,讨论时既不重复又不遗漏.
(7)解不等式的基本思想是化归、转化,解含有参数的不等式常需要分类讨论,同解变形是解不等式的理论依据.
(8)学习四种命题,关键是理解命题结构及逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义,掌握四种命题间的关系是学习充要条件的基础.
(9)基本的逻辑知识是认识问题和研究问题不可缺少的工具,是我们进行学习、掌握和使用语言的基础,数学又是逻辑性很强的学科,因此,学习一些逻辑知识是非常必要的,通过学习和训练可以规范和提高推理的技能,发展思维能力.重点是正确使用逻辑联结词“或”、“且”、“非”,是否使用得当的依据是真值表,利用真值表再结合四种命题的充要条件可判定复合命题的真假性.注意区别一些易错的逻辑关系,如“都是”、“都不是”、“不都是”.
5、在学习和运用集合知识的过程中,须注意的几个问题
目前在中学数学教学中,集合知识主要有两方面的应用.
(1)把集合作为一种数学语言,以表达一定范围或具有某些特性的元素.例如,方程(或方程组)的解集,不等式(或不等式组)的解集,具有某种性质或满足某些条件的数集、点集、向量集(以后会学)等,因集合元素的任意性,使得集合语言有着广泛的应用性.
(2)使用集合间的运算法则或运算思想,解决某些逻辑关系较复杂的问题.例如,运用集合法判断真假复合命题和充要条件,运用集合的交集思想、并集思想、补集思想解题等.
三、学法指导
(一)要注意理解、正确运用集合概念
例1、若P={y|y=x2,x∈R},Q={y|y=x2+1,x∈R},则P∩Q等于( )
A.P B.Q C.
D.不知道
分析:
类似上题知P集合是y=x2(x∈R)的值域集合,同样Q集合是y=x2+1(x∈R)的值域集合,这样P∩Q意义就明确了.
解:
事实上,P、Q中的代表元素都是y,它们分别表示函数y=x2,y=x2+1的值域,
由P={y|y≥0},Q={y|y≥1},知Q
P,即P∩Q=Q.
∴应选B.
例2、若P={y|y=x2,x∈R},Q={(x,y)|y=x2,x∈R},则必有( )
A.P∩Q=
B.P
Q
C.P=Q D.P
Q
有的同学一接触此题马上得到结论P=Q,这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同,而没有注意到构成两个集合的元素是不同的,P集合是函数值域集合,Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合,代表元素根本不是同一类事物.
正确解法应为:
P表示函数y=x2的值域,Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集,因此P∩Q=
.
∴应选A.
(二)要充分注意集合元素的互异性
集合元素的互异性,是集合的重要属性,教学实践告诉我们,集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略,从而导致解题的失败,下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识.
例3、若A={2,4,a3-2a2-a+7},B={1,a+1,a2-2a+2,-
(a2-3a-8),a3+a2+3a+7},且A∩B={2,5},试求实数a的值.
解:
∵A∩B={2,5},
∴a3-2a2-a+7=5,
由此求得a=2或a=±
1.
至此不少学生认为大功告成,事实上,这只是保证A={2,4,5},集合B中的元素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步考查.
当a=1时,a2-2a+2=1,与元素的互异性相违背,故应舍去a=1.
当a=-1时,B={1,0,5,2,4},与A∩B={2,5}相矛盾,故又舍去a=-1.
当a=2时,A={2,4,5},B={1,3,2,5,25},此时A∩B={2,5},满足题设.
故a=2为所求.
例4、已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},且A∪B=A,则a的值为________.
由A∪B=A
而推出B有四种可能,进而求出a的值.
∵A∪B=A,
∴
,
∵A={1,2},∴B=
或B={1}或B={2}或B={1,2}.
若B=
,则令△<
0得a∈
;
若B={1},则令△=0得a=2,此时1是方程的根;
若B={2},则令△=0得a=2,此时2不是方程的根,
∴a∈
若B={1,2}则令△>
0得a∈R且a≠2,把x=1代入方程得a∈R,把x=2代入方程得a=3,
综上a的值为2或3.
点评:
本题不能直接写出B={1,a-1},因为a-1可能等于1,与集合元素的互异性矛盾,另外还要考虑到集合B有可能是空集,还有可能是单元素集的情况.
(三)要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法
集合与集合之间的关系问题,是我们解答数学问题过程中经常遇到,并且必须解决的问题,因此应予以重视.
反映集合与集合关系的一系列概念,都是用元素与集合的关系来定义的.因此,在证明(判断)两集合的关系时,应回到元素与集合的关系中去.
例5、设集合A={a|a=n2+1,n∈N*},集合B={b|b=k2-4k+5,k∈N*},试证:
A
B.
证明:
任设a∈A,
则a=n2+1=(n+2)2-4(n+2)+5(n∈N*),
∵n∈N*,∴n+2∈N*
∴a∈B 故
①
显然,
,而由
B={b|b=k2-4k+5,k∈N*}={b|b=(k-2)2+1,k∈N*}
知1∈B,于是A≠B ②
由①、②得A
B.
(1)判定集合间的关系,其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系.
(2)判定两集合相等,主要是根据集合相等的定义.
(3)两个集合A、B相等,之所以不以“A、B所含元素完全相同”来定义,而是用子集来定义,显然比较科学,它具有可操作性,用起来很方便.
(四)要注意空集的特殊性和特殊作用
空集是一个特殊的重要集合,它不含任何元素,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.显然,空集与任何集合的交集为空集,与任何集合的并集仍等于这个集合.当题设中隐含有空集参与的集合关系时,其特殊性很容易被忽视的,从而引发解题失误.
例6、已知集合A={x|x2+(m+2)x+1=0,x∈R},若A∩R+=
,则实数m的取值范围是_________.
从方程观点看,集合A是关于x的实系数一元二次方程x2+(m+2)x+1=0的解集,而x=0不是方程的解,所以由A∩R+=
可知该方程只有两个负根或无实数根,从而分别由判别式转化为关于m的不等式,并解出m的范围.
由A∩R+=
又方程x2+(m+2)x+1=0无零根,
所以该方程只有两个负根或无实数根,
即
或△=(m+2)2-4<
0.
解得m≥0或-4<
m<
0,即m>
-4.
此题容易发生的错误是由A∩R+=
只片面地推出方程只有两个负根(因为两根之积为1,因为方程无零根),而把A=
漏掉,因此要全面准确理解和识别集合语言.
例7、已知集合A={x|x2-3x-10≤0},集合B={x|p+1≤x≤2p-1}.若B
A,求实数p的取值范围.
由x2-3x-10≤0得-2≤x≤5.
欲使B
A,只须
∴p的取值范围是-3≤p≤3.
上述解答忽略了“空集是任何集合的子集”这一结论,即B=
时,符合题设.
应有:
①当B≠
时,即p+1≤2p-1
p≥2.
由B
A得:
-2≤p+1且2p-1≤5.
由-3≤p≤3.
∴2≤p≤3
②当B=
时,即p+1>
2p-1
p<2.
由①、②得:
p≤3.
从以上解答应看到:
解决有关A∩B=
、A∪B=
,A
B等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解,这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.
(五)要注意集合语言与其它数学语言互译的准确性
事实上,各种数学语言形态间的互译,可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题的解决途径,因而这种互译是我们在解题过程中常常必须做的事情.
对于用集合语言叙述的问题,求解时往往需要转译成一般的代数语言或几何语言.
例8、已知集合
有唯一元素,用列举法表示a的值构成的集合A.
集合B表示方程
①
即方程x2-x-a-2=0 ②
有等根时a的取值集合.
方程②有等根的条件是△=(-1)2-4(-a-2)=0,
解得a=-
因此A={-
}.
以上解法对吗?
不难看出,将A译为方程②有等根时a的取值集合是不准确的.
转译时忽视了x2-2≠0,即
这一隐含条件.
可见,与方程①等价的应是混合组:
(Ⅰ)
因此,在讨论方程②有唯一实根时,须照顾到③:
由于方程①为分式方程,可能有增根,
当条件②的二实根中有一个是方程①的增根
或
时,方程①也只有一个实根,正确解法是:
方程①等价于混合组(Ⅰ).
(1)当②有等根时,同上解得a=-
,此时
,适合③;
(2)当②有两个不等的实根时,由△>
0可得a>
-
当
为①的增根时,由②得
∴由
(1)、
(2)得
(1)集合语言转译成其它语言,转译的准确与否直接关系到解题的成功与失败.
(2)集合语言与其它语言转译过程中,根据问题的需要也可能转译成图形语言,利用数形结合解题.根据解题需要,有时也可能将其它语言转译为集合语言.
(六)要注意数形结合解集合问题
集合问题大都比较抽象,解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化,然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解.
例9、设A={x|-2<
-1,或x>
1},B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>
-2},A∩B={x|1<
x≤3},试求a、b的值.
可在数轴上画出图形,利用图形分析解答.
如图所示,设想集合B所表示的范围在数轴上移动,
显然当且仅当B覆盖住集合{x|-1<
3},
才能使A∪B={x|x>
-2},且A∩B={x|1<
x≤3}.
根据二次不等式与二次方程的关系,
可知-1与3是方程x2+ax+b=0的两根,
∴a=-(-1+3)=-2,b=(-1)×
3=-3.
类似本题多个集合问题,借助于数轴上的区间图形表示进行处理,采用数形结合的方法,会得到直观、明了的解题效果.
例10、若关于x的不等式|x+2|-|1-x|<
a有解,求实数a的取值范围.
可利用补集思想解题,先求不等式|x+2|+|1-x|<
a无解的a的取值范围.
即对任意实数x,总有|x+1|+|x-2|≥a.
∴a≤|x+2|+|1-x|的最小值.
由
知:
-3≤|x+2|+|1-x|≤3.
∴|x+2|-|1-x|<
a无解时,a≤-3.
故|x+2|-|1-x|<
a有解时,a>
-3.
(七)要注意交集思想、并集思想、补集思想的运用
对于一些比较复杂、比较抽象,条件和结论之间关系不明朗,难于从正面入手的数学问题,在解题时,可调整思路,从问题的反面入手,探求已知与未知的关系,这样能起到反难为易,化隐为显,从而将问题得以解决,这就是“正难则反”的解题策略,是补集思想的具体应用.
有的问题,根据问题具体情况,也可采用交集思想、并集思想去处理.
例11、已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0,x∈R},若A∩R-≠
,求实数m的取值范围.
集合A是方程x2-4mx+2m+6=0 ①的实数解组成的非空集合,
A∩R-≠
意味着方程①的根有:
(1)两负根,
(2)一负根一零根,
(3)一负根一正根三种情况,分别求解较麻烦,上述三种情况虽可概括为方程①的较小根
但在目前的知识范围内求解存在困难,
如果考虑题设A∩R-≠
的反面:
A∩R-=
则可先求方程①的两根x1、x2均非负时m的取值范围.用补集思想求解尤为简便.
设全集U={m|△=(-4m)2-4(2m+6)≥0}
={m|m≤-1或m≥
若方程x2-4mx+2m+6=0的二根为x1、x2均非负,
则
因此,{m|m≥
}关于U补集{m|m≤-1}即为所求.
采用“正难则反”的解题策略.具体地说,就是将所研究对象的全体视为全集,求出使问题反面成立的集合A,即
便为所求.
例12、命题甲:
方程x2+mx+1=0有两个相异负根;
命题乙:
方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,这两个命题有且只有一个成立,求m的取值范围.
使命题甲成立的m的集合为A,使命题乙成立的m的集合为B,有且只有一个命题成立是求A∩
与
∩B的并集.
使命题甲成立的条件是:
∴集合A={m|m>
2}.
使命题乙成立的条件是:
△2=16(m-2)2-16<
0,∴1<m<3.
∴集合B={m|1<
3}.
若命题甲、乙有且只有一个成立,则有:
(1)m∈A∩
,
(2)m∈
∩B.
若为
(1),则有:
A∩
={m|m>
2}∩{m|m≤1或m≥3}={m|m≥3};
若为
(2),则有:
B∩
={m|1<
3}∩{m|m≤2}={m|1<
m≤2},
综合
(1)、
(2)可知所求m的取值范围是{m|1<
m≤2,或m≥3}.
(1)本题体现了集合语言、集合思想的重要作用;
(2)用集合语言来表示m的范围既准确又简明;
(3)今后注意结合问题具体情况,运用交集思想、并集思想、补集思想.
高考解析
1、(上海)设a1、b1、c1、a2、b2、c2、均为非零实数,不等式a1x2+b1x+c1>
0和a2x2+b2x+c2>
0的解集分别为集合M和N,那么“
”是“M=N”的什么条件?
利用二次函数与一元二次不等式的关系.
∵如果
,则“M=N”,
如果
则“M≠N”,
∴“
”
“M=N”;
反之若M=N=
,即说明二次不等式的解集为空集,与它们的系数比无任何关系,只要求判别式小于零.因此,“M=N”
“
”,因此既非充分也非必要条件.
答案:
即非充分又非必要条件
2、(高考试题)设a,b是两个实数,集合A={(x,y)|x=n,y=na+b,n∈Z},B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m∈Z},C={(x,y)|x2+y2≤144}是xoy平面内的点集,讨论是否存在a与b,使是A∩B≠
和(a,b)∈C同时成立?
解决此题的关键是集合语言向非集合数学语言转化,将隐晦的数学含义显露出来.
解法:
假设存在实数a与b,同时满足题设中的两个条件,即有:
从中消去b得a2+(3n2+15-na)2≤144,
即:
(1+n2)a2-2n(3n2+15)a+(3n2+15)2-144≤0.
此时判别式△=4n2(3n2+15)2-4(1+n2)[(3n2+15)2-144]
=36(-n4+6n2-9)
=-36(n2-3)2
∵n∈Z,∴△<
0,又二次项系数1+n2>
0,
∴上述关于a的二次不等式无解,因此同时满足题意中两个条件的实数a与b是不存在的.