集合与简易逻辑复习与小结Word文档下载推荐.docx
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[f（x）]2<
[g（x）]2
[f（x）＋g（x）]·
[f（x）－g（x）]<
0.
④对于含有两个或两个以上的绝对值符号的绝对值不等式，利用“零点分段讨论法”去绝对值.如解不等式：
|x＋3|－|2x－1|<
3x＋2.
（2）一元二次不等式的解法
任何一个一元二次不等式，经过不等式的同解变形，都能化为ax2＋bx＋c>
0（a>
0），或ax2＋bx＋c＜0（a>
0）的形式，再根据“大于取两边，小于夹中间”得解集（若判别式△≤0，则利用配方法求解较方便）．
详细解集见下表：
判别式
△=b2－4ac
△>
△=0
△<
二次函数
y=ax2＋bx＋c
（a>
0）的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c=0
0）的根
有两相异实根
x1,x2（x1<
x2）
有两相等实根
没有实根
ax2＋bx＋c>
0）的解集
{x|x<
x1，
或x>
x2}
R
ax2＋bx＋c<
{x|x1<
（3）分式不等式的解法
①分类讨论去分母法：
②转整式不等式法：
运用时，必须使不等式一边为0，转化为
≤0形式，则：
（4）高次不等式的解法
3、简易逻辑知识
逻辑联结词“或”、“且”、“非”是判断简单合题与复合命题的依据；
真值表是由简单命题和真假判断复合命题真假的依据，理解好四种命题的关系，对判断命题的真假有很大帮助；
掌握好反证法证明问题的步骤．
（1）命题
①简单命题：
不含逻辑联结词的命题
②复合命题：
由简单命题与逻辑联结词构成的命题
（2）复合命题的真值表
非p形式复合命题的真假可以用下表表示.
p
非p
真
假
p且q形式复合命题的真假可以用下表表示.
q
p且q
p或q形式复合命题的真假可以用下表表示.
p或q
（3）四种命题及其相互之间的关系
一个命题与它的逆否命题是等价的．
（4）充分、必要条件的判定
①若p
q且q
p，则p是q的充分不必要条件；
②若p
p，则p是q的必要不充分条件；
③若p
p，则p是q的充要条件；
④若p
p，则p是q的既不充分也不必要条件.
（5）反证法
反证法是“命题与其逆否命题等价”这一理论的具体体现，用反证法证明命题的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立.
②经过推理论证，得出矛盾.
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
4、运用知识、运用方法过程中应注意的主要问题
（1）正确理解集合的概念必须掌握构成集合的两个必要条件：
研究对象是具体的，其属性是确定的．
（2）在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”．
（3）在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质．
（4）对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式
中，易漏掉
的情况．
（5）若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之．
（6）若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏．
（7）解不等式的基本思想是化归、转化，解含有参数的不等式常需要分类讨论，同解变形是解不等式的理论依据．
（8）学习四种命题，关键是理解命题结构及逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，掌握四种命题间的关系是学习充要条件的基础．
（9）基本的逻辑知识是认识问题和研究问题不可缺少的工具，是我们进行学习、掌握和使用语言的基础，数学又是逻辑性很强的学科，因此，学习一些逻辑知识是非常必要的，通过学习和训练可以规范和提高推理的技能，发展思维能力．重点是正确使用逻辑联结词“或”、“且”、“非”，是否使用得当的依据是真值表，利用真值表再结合四种命题的充要条件可判定复合命题的真假性．注意区别一些易错的逻辑关系，如“都是”、“都不是”、“不都是”．
5、在学习和运用集合知识的过程中，须注意的几个问题
目前在中学数学教学中，集合知识主要有两方面的应用．
（1）把集合作为一种数学语言，以表达一定范围或具有某些特性的元素．例如，方程（或方程组）的解集，不等式（或不等式组）的解集，具有某种性质或满足某些条件的数集、点集、向量集（以后会学）等，因集合元素的任意性，使得集合语言有着广泛的应用性．
（2）使用集合间的运算法则或运算思想，解决某些逻辑关系较复杂的问题．例如，运用集合法判断真假复合命题和充要条件，运用集合的交集思想、并集思想、补集思想解题等．
三、学法指导
（一）要注意理解、正确运用集合概念
例1、若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ）
A．P B．Q C．
D．不知道
分析：
类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y=x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了．
解：
事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y=x2＋1的值域，
由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知Q
P，即P∩Q=Q．
∴应选B．
例2、若P={y|y=x2,x∈R}，Q={（x，y）|y=x2,x∈R}，则必有（ ）
A．P∩Q=
B．P
Q
C．P=Q D．P
Q
有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物．
正确解法应为：
P表示函数y=x2的值域，Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因此P∩Q=
．
∴应选A．
（二）要充分注意集合元素的互异性
集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．
例3、若A={2，4,a3－2a2－a＋7},B={1,a＋1,a2－2a＋2,－
（a2－3a－8）,a3＋a2＋3a＋7}，且A∩B={2，5}，试求实数a的值．
解：
∵A∩B={2，5}，
∴a3－2a2－a＋7=5,
由此求得a=2或a=±
1．
至此不少学生认为大功告成，事实上，这只是保证A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．
当a=1时，a2－2a＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a=1．
当a=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a=－1．
当a=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．
故a=2为所求．
例4、已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－ax＋a－1=0}，且A∪B=A，则a的值为________．
由A∪B=A
而推出B有四种可能，进而求出a的值．
∵A∪B=A，
∴
，
∵A={1，2}，∴B=
或B={1}或B={2}或B={1，2}．
若B=
，则令△<
0得a∈
；
若B={1}，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；
若B={2}，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根，
∴a∈
若B={1，2}则令△>
0得a∈R且a≠2，把x=1代入方程得a∈R，把x=2代入方程得a=3，
综上a的值为2或3．
点评：
本题不能直接写出B={1，a－1}，因为a－1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．
（三）要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法
集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．
反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．
例5、设集合A={a|a=n2＋1,n∈N*}，集合B={b|b=k2－4k＋5,k∈N*}，试证：
A
B．
证明：
任设a∈A，
则a=n2＋1=（n＋2）2－4（n＋2）＋5（n∈N*）,
∵n∈N*，∴n＋2∈N*
∴a∈B 故
①
显然，
，而由
B={b|b=k2－4k＋5,k∈N*}={b|b=（k－2）2＋1,k∈N*}
知1∈B，于是A≠B ②
由①、②得A
B．
（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．
（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．
（3）两个集合A、B相等，之所以不以“A、B所含元素完全相同”来定义，而是用子集来定义，显然比较科学，它具有可操作性，用起来很方便．
（四）要注意空集的特殊性和特殊作用
空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．
例6、已知集合A={x|x2＋（m＋2）x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=
，则实数m的取值范围是_________．
从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋（m＋2）x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩R＋=
可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围．
由A∩R＋=
又方程x2＋（m＋2）x＋1=0无零根，
所以该方程只有两个负根或无实数根，
即
或△=（m＋2）2－4<
0．
解得m≥0或－4<
m<
0，即m>
－4．
此题容易发生的错误是由A∩R＋=
只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=
漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言．
例7、已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若B
A，求实数p的取值范围．
由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．
欲使B
A，只须
∴p的取值范围是－3≤p≤3．
上述解答忽略了“空集是任何集合的子集”这一结论，即B=
时，符合题设．
应有：
①当B≠
时，即p＋1≤2p－1
p≥2．
由B
A得：
－2≤p＋1且2p－1≤5．
由－3≤p≤3．
∴2≤p≤3
②当B=
时，即p＋1>
2p－1
p＜2．
由①、②得：
p≤3．
从以上解答应看到：
解决有关A∩B=
、A∪B=
，A
B等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
（五）要注意集合语言与其它数学语言互译的准确性
事实上，各种数学语言形态间的互译，可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题的解决途径，因而这种互译是我们在解题过程中常常必须做的事情．
对于用集合语言叙述的问题，求解时往往需要转译成一般的代数语言或几何语言．
例8、已知集合
有唯一元素，用列举法表示a的值构成的集合A．
集合B表示方程
①
即方程x2－x－a－2=0 ②
有等根时a的取值集合．
方程②有等根的条件是△=（－1）2－4（－a－2）=0,
解得a=－
因此A={－
}．
以上解法对吗？
不难看出，将A译为方程②有等根时a的取值集合是不准确的．
转译时忽视了x2－2≠0，即
这一隐含条件．
可见，与方程①等价的应是混合组：
（Ⅰ）
因此，在讨论方程②有唯一实根时，须照顾到③：
由于方程①为分式方程，可能有增根，
当条件②的二实根中有一个是方程①的增根
或
时，方程①也只有一个实根，正确解法是：
方程①等价于混合组（Ⅰ）．
（1）当②有等根时，同上解得a=－
，此时
，适合③；
（2）当②有两个不等的实根时，由△>
0可得a>
－
当
为①的增根时，由②得
∴由
（1）、
（2）得
（1）集合语言转译成其它语言，转译的准确与否直接关系到解题的成功与失败．
（2）集合语言与其它语言转译过程中，根据问题的需要也可能转译成图形语言，利用数形结合解题．根据解题需要，有时也可能将其它语言转译为集合语言．
（六）要注意数形结合解集合问题
集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．
例9、设A={x|－2<
－1，或x>
1}，B={x|x2＋ax＋b≤0}，已知A∪B={x|x>
－2}，A∩B={x|1<
x≤3}，试求a、b的值．
可在数轴上画出图形，利用图形分析解答．
如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，
显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1<
3}，
才能使A∪B={x|x>
－2}，且A∩B={x|1<
x≤3}．
根据二次不等式与二次方程的关系，
可知－1与3是方程x2＋ax＋b=0的两根，
∴a=－（－1＋3）=－2，b=（－1）×
3=－3．
类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果．
例10、若关于x的不等式|x＋2|－|1－x|<
a有解，求实数a的取值范围.
可利用补集思想解题，先求不等式|x＋2|＋|1-x|<
a无解的a的取值范围.
即对任意实数x，总有|x＋1|＋|x－2|≥a.
∴a≤|x＋2|＋|1-x|的最小值.
由
知：
－3≤|x＋2|＋|1-x|≤3.
∴|x＋2|－|1－x|<
a无解时，a≤－3.
故|x＋2|－|1－x|<
a有解时，a>
－3.
（七）要注意交集思想、并集思想、补集思想的运用
对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，这样能起到反难为易，化隐为显，从而将问题得以解决，这就是“正难则反”的解题策略，是补集思想的具体应用．
有的问题，根据问题具体情况，也可采用交集思想、并集思想去处理．
例11、已知集合A={x|x2－4mx＋2m＋6=0,x∈R}，若A∩R－≠
，求实数m的取值范围．
集合A是方程x2－4mx＋2m＋6=0 ①的实数解组成的非空集合，
A∩R－≠
意味着方程①的根有：
（1）两负根，
（2）一负根一零根，
（3）一负根一正根三种情况，分别求解较麻烦，上述三种情况虽可概括为方程①的较小根
但在目前的知识范围内求解存在困难，
如果考虑题设A∩R－≠
的反面：
A∩R－=
则可先求方程①的两根x1、x2均非负时m的取值范围．用补集思想求解尤为简便．
设全集U={m|△=（－4m）2－4（2m＋6）≥0}
={m|m≤－1或m≥
若方程x2－4mx＋2m＋6=0的二根为x1、x2均非负，
则
因此，{m|m≥
}关于U补集{m|m≤－1}即为所求．
采用“正难则反”的解题策略．具体地说，就是将所研究对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合A，即
便为所求．
例12、命题甲：
方程x2＋mx＋1=0有两个相异负根；
命题乙：
方程4x2＋4（m－2）x＋1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m的取值范围．
使命题甲成立的m的集合为A，使命题乙成立的m的集合为B，有且只有一个命题成立是求A∩
与
∩B的并集．
使命题甲成立的条件是：
∴集合A={m|m>
2}．
使命题乙成立的条件是：
△2=16（m－2）2－16<
0，∴1＜m＜3．
∴集合B={m|1<
3}．
若命题甲、乙有且只有一个成立，则有：
（1）m∈A∩
，
（2）m∈
∩B．
若为
（1），则有：
A∩
={m|m>
2}∩{m|m≤1或m≥3}={m|m≥3}；
若为
（2），则有：
B∩
={m|1<
3}∩{m|m≤2}={m|1<
m≤2},
综合
（1）、
（2）可知所求m的取值范围是{m|1<
m≤2，或m≥3}．
（1）本题体现了集合语言、集合思想的重要作用；
（2）用集合语言来表示m的范围既准确又简明；
（3）今后注意结合问题具体情况，运用交集思想、并集思想、补集思想．
高考解析
1、（上海）设a1、b1、c1、a2、b2、c2、均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1>
0和a2x2＋b2x＋c2>
0的解集分别为集合M和N，那么“
”是“M=N”的什么条件？
利用二次函数与一元二次不等式的关系.
∵如果
，则“M=N”，
如果
则“M≠N”，
∴“
”
“M=N”；
反之若M=N=
，即说明二次不等式的解集为空集，与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，“M=N”
“
”，因此既非充分也非必要条件．
答案：
即非充分又非必要条件
2、（高考试题）设a,b是两个实数，集合A={（x,y）|x=n,y=na＋b,n∈Z},B={（x,y）|x=m,y=3m2＋15,m∈Z},C={（x,y）|x2＋y2≤144}是xoy平面内的点集，讨论是否存在a与b，使是A∩B≠
和（a,b）∈C同时成立？
解决此题的关键是集合语言向非集合数学语言转化，将隐晦的数学含义显露出来．
解法：
假设存在实数a与b，同时满足题设中的两个条件，即有：
从中消去b得a2＋（3n2＋15－na）2≤144,
即：
（1＋n2）a2－2n（3n2＋15）a＋（3n2＋15）2－144≤0.
此时判别式△=4n2（3n2＋15）2－4（1＋n2）[（3n2＋15）2－144]
=36（－n4＋6n2－9）
=－36（n2－3）2
∵n∈Z,∴△<
0,又二次项系数1＋n2>
0,
∴上述关于a的二次不等式无解，因此同时满足题意中两个条件的实数a与b是不存在的.
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