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随着如IT（信息技术）、BT（生物技术）、NT（微纳技术）这些新领域的研究对工业的推动，人们对微型工厂系统的兴趣也逐渐增加。
微型工厂系统是一个小型的、灵活的制造系统，它与传统的制造系统相比占用更少的空间和能源，在生产应用于IT、BT、和NT领域的微/中型机械零件有很好的前景。
构成一套微型机械制造系统的主要组成部分包括高速主轴系统、微型高精度进给系统、用于生成合成运动的控制系统、定位与夹紧系统、结构设计与根据高刚度优化的模块分配方案。
研究人员一直在尝试将微纳技术加入到微型工厂系统中，从而满足制造工业对微/中型精密构建的质量要求。
在本文中，我们展示了一台小型三轴铣床和它的专用数控系统。
这台三轴铣床构成是微型工厂系统的一个模块，被设计用于生产高精度微型零件。
它有一个大小为200x300x200mm3的桌面，用于作为测试平台。
通过有限元分析和冲击锤试验，我们验证了它有良好的结构刚度和高固有频率。
沿水平方向z轴的高速气动涡轮主轴最高转速可达16万转/分。
这台三轴铣床在实际加工条件下进行了测试并且成功的展示了其加工能力。
针对这台三轴铣床的使用我们开发了一套数控系统，它包括了一个G代码翻译器，可以实时的处理一套基本的G代码和M代码。
这套数控系统由两部分组成。
其中一部分是运行于微软Windows系统下的图形用户界面，另一部分是负责插入命令和执行实时伺服控制的DSP程序。
两部分通过一个双口RAM（随机存储器）相互传输数据。
两部分的任务分配在本文中有详细的阐述。
为了增强这台三轴铣床的数控系统的性能以超越传统的PID控制，这台三轴铣床中测试使用了一些不同的控制算法如H∞控制，输入整形控制，干扰观测和交叉耦合控制。
本文的后面部分内容如下：
第二部分介绍了这台三轴数控铣床的设计过程。
本部分中也给出了有限元分析的结果和通过空气锤试验得出的固有频率。
第三部分讨论了为这台三轴铣床开发的基于PC的数控系统。
第四部分介绍了一些现代控制方式包括H∞控制，输入整形控制，干扰观测和交叉耦合控制，并通过实验数据展示了它们的优缺点。
第五部分作出了总结性的评论。
2．三轴铣床的设计
微型机床要求具有较高的加工精度，同时提供足够的刚度。
为了评测微型机床的基本加工性能和刚度，我们设计了一台小型三轴铣床作为测试平台。
图1展示了这台数控铣床和其规格。
它有一个尺寸为200x300x200
mm3的小型工作台，切削空间为20x20x20mm2。
垂直安装的xy工作台是由音圈马达驱动的，而z轴是由一个预磁化过的空气轴承和一个直线电机驱动的。
气主轴的最高转速可达16万转/分，可以满足高精度加工的要求。
通过安装一个含空气轴承套的重量平衡块可以消除重力沿y方向对xy平面工作台的影响。
工作台下方还设有一个小型切削力测力计，用于监控切削过程。
图2是这台三轴铣床的图片。
2．1静态与动态分析
利用如图3所示的有限元模型进行有限元分析，我们得出了这台三轴铣床的静态与动态特性。
计算结果表明因其自重引起的挠曲变形是可以忽略的。
当一个10N的力沿z方向加载于加工位置时，数值模拟结果表明，
工作台的变形量为大概0.07μm，背架将承受小于0.02μm的相对于z方向的偏转。
看起来这台三轴铣床因其良好的结构设计和一对分别支承x方向和y方向的一对小型LM导轨而具有良好的刚度。
模态分析展示了这台三轴铣床很多重要的动态特性。
我们通过冲击锤试验去验证计算得到的固有频率。
测得的固有频率与计算结果并不十分精确的相匹配，但是在指定频率范围内进行的有限元模态分析与冲击锤试验得到的结果是相接近的。
可以看出，由于空气轴承导致的低刚度，使得z轴的固有频率分布在250-390Hz的范围内。
xy工作台的固有频率大概分布在400-710Hz，背架则在440-640Hz间。
这台设计的小型三轴铣床的固有频率比传统的机床要高。
表1通过冲击锤试验得到的固有频率
模式
固有频率
XY平台
710（z方向）
Z轴平台
265（绕x轴旋转），385（绕y轴旋转），575（绕z轴旋转）
3.数控系统
3.1图形用户界面程序
针对这台三轴铣床开发了一套基于PC的数控系统。
这套数控系统包括两部分，在PC部分是一个图形界面程序，在DSP部分是一个DSP程序。
PC部分运行在微软的windows系统下并且接受用户的输入，DSP部分每秒钟接受数千个计时器中断，并实时翻译成控制机床各轴的命令，并且执行伺服控制回路。
两部分共用一个双端口RAM，并通过它进行数据交换。
图5展示了开发的数控系统的图形用户界面和它的简要介绍。
图形用户界面系统的一个主要功能是图5右下角的3D绘图窗口。
当图形用户界面程序读取一个G代码文件的时候，它会显示通过G代码表达的刀具轨迹。
当前刀具的位置会通过一个小红点显示在屏幕上，使得用户可以很容易的读出加工程序运行到了G代码文件中的哪一步。
用户还可以使用轮廓功能，将相切或近似相切的线段或圆弧合并为不在每个端点停留的简单光滑的运动。
当程序正在运行时，轮廓功能可以手动开启或关闭，或者通过M代码中的M21和M22命令使程序自己控制该功能的开关。
常用的G代码和M代码包括：
G00（快速移动），G01（直线运动），G02（顺时针圆弧），G03（逆时针圆弧），G04（暂停），G17（XY平面选择），G18（ZX平面选择），G19中（YZ平面选择），M21（轮廓开），M22（轮廓关）、M30（程序结束复位）。
当用户点击G代码打开按钮，一份完整的G代码文件就被读入并保存在内存区域，然后G代码出现在左下角的列表框中。
当点击开始G代码按钮时，用户界面程序从内存中读取一行，检查它的语法并确定有意义的语句。
在预处理一行G代码时，用户界面程序应用来计算运动平面，驱动轴，最大允许速度和加速度，减速的起始位置和方向余弦。
所有预处理过的信息输入到DPRAM并交给DSP程序。
DPRAM中的循环缓冲区中的空间只能存放4行代码，因此用户界面程序需要保持监视循环缓冲区的使用情况。
当用户界面程序发现DSP程序完成了执行一行G代码并且清空了空间，它就会按顺序将一行新的预处理过的G代码填入循环缓冲区中的空白位置。
3．2DSP程序
DSP程序将预处理过的G代码实时进行插补计算并生成多个轴运动应遵循的位移命令。
它也关闭伺服控制回路。
一般来说，采样率被设定为被控制平面的带宽的10倍以上。
开发的数控系统的伺服控制回路采用的采样率为2000Hz。
DSP程序从循环缓冲区中读取一行G代码并计算连续两行G代码画线所成的角度。
如果角度小于一个预设定的值并且轮廓功能是开启的，它会设置一个标志使刀具路径进入到下一个线段时不会减速。
当定时器中断发生时，DSP程序计算每个轴所需的位移和进给速度并产生伺服控制回路的命令。
计算出来的速度应该比用户界面程序计算出来的允许的最大速度小，并且当轮廓功能没有使用时，在运动到减速位置时应当开始减速以保证能在线段终点彻底的停下来。
如果当前的运动是线性的，则所有的计算都是有关驱动轴的，其他轴的命令是通过与驱动轴相关的直线方程计算出的。
如果当前运动是圆弧，则角速度与角加速度的得出与直线运动中相似，并且通过直角坐标系到极坐标系的转换得出最终命令。
在实时生成了控制各轴的命令后，DSP程序开始驱动三轴铣床的伺服控制回路。
命令与实际反馈出来的位置信息的差异导致的错误被送入类似PID的控制算法中，并计算得出驱动电机的控制信号。
4．控制系统设计
为了提高这台三轴铣床的伺服控制性能，我们在这台三轴铣床上测试了一些控制算法。
它们包括PID，H∞控制，输入整形控制，干扰观测和交叉耦合控制。
这些控制算法在Spectrumsignal有限公司的DaytonaDSP板上进行过数字化应用。
这个DSP板有两个TI320C6701芯片，采样率为2000Hz。
每种控制算法的设计过程和实验结果如下所述。
4．1H∞最优控制设计
在有直线电机和空气轴承的z轴使用常规的PID控制器，则高增益PID很容易开始震荡。
作为另一种选择我们针对z轴设计了H∞控制器，并进行了手动调整PID控制和H∞控制的性能比较。
从实验频率响应数据中获得了控制设计的开环对象模型。
通过一个使用正弦扫频方法产生固定振幅不同频率的正弦波的动态信号分析仪测量其频率响应。
通过对不同输入振幅的频率响应计算出平均频率响应，并拟合出标称的连续时间对象模型。
图6展示了平均频率响应和标称的开环对象模型，通过曲线拟合得到了二阶开环对象模型。
确定的z轴开环控制模型为：
我们可以看出z轴的一对复极点大概在4.5Hz的位置。
当一个PID类型控制器以典型的数字形式如
（其中u（k）为控制器输出，e（k）为误差信号，T为采样时间，z为延迟）作用于对象时，高增益的PID很容易激发对象的振荡模式。
为了避免所谓的微分跳跃作用，微分增益Kd必须作用于实际位置的微分环节，而不是位置误差的微分环节，换言之，Kd（1-z-1）/T应乘以位置的负反馈，在方程
（2）中以-y（k）代替e（k）。
对于z轴，对位置进行微分而不是对位置误差进行微分可以允许更多的PID增益。
根据方程
（1）的对象模型，控制回路使用了一个采样频率为2kHz的鲁棒控制器。
为设计一个时间连续的H∞控制器要解决一个混合灵敏度问题，同时时间连续的控制器要转换为一个时间离散的模型。
针对时间连续的H∞控制器设计混合灵敏度规范为：
式中S（s）为灵敏度函数，T（s）为互补灵敏度函数，K（s）是要得到的H∞控制器函数，1/Wp（s）、1/Wr（s）、1/Wu（s）分别为S（s）（性能）、T（s）（噪声衰减）、和G（s）S（s）（高输入信号处理）设置了幅度上限。
解决了问题2就得到了H∞最优控制器。
图7显示了z轴控制设计的其他设计参数以及算得的H∞控制器的最终灵敏度函数。
最终灵敏度函数S（s）清楚地表明，H∞控制在低频率范围内有双重积分功能如预期的1/Wp（s）形状。
设计好的H∞控制器转换为一个采样和保持频率为2kHz的时间离散控制器K（z）并在DSP板进行测试。
最终的H∞控制器K（z）是一个五阶控制器。
典型的反馈灵敏度函数S（s）是参考信号r（t）到控制误差信号e（t）的传递函数，即e（t）=S（s）r（t）。
为了比较所设计的H∞控制器和PID控制器的跟踪性能，输入一个振幅固定频率不定的正弦波作为指令信号，测出相应的误差信号，将振幅与频率之比描点作图于图8。
这是一个经验性的灵敏度函数图，我们可以通过该图估算其跟踪性能。
H∞控制器在1Hz正弦波指令下有0.4%的跟踪误差，而PID控制器则在相同条件下有10%的误差。
这归功于H∞控制设计中的双重积分作用。
同样针对x轴和y轴也设计了H∞控制器，但由于音圈电机和LM导轨的存在使得H∞控制器的跟踪性能与PID控制器相接近。
将位于y-z平面的一个半径为7.5mm的圆形参考轨迹输入y轴、z轴伺服控制系统，其进给速度为25mm/s，它的轮廓误差比较如图9所示。
注意轮廓误差和轨迹跟踪误差是不同的。
跟踪控制器用于最大限度的减少实际轨迹与参考轨迹的差异，这是一个与时间有关的函数，也是被控制对象的输出。
另一方面，轮廓控制器用于最大限度的减少参考空间轨迹与跟踪被控对象的输出的空间轨迹的差异。
两轴伺服运动的轮廓误差只需要考虑空间轨迹，而且跟踪误差大不一定意味着轮廓误差也大。
假如因时间延迟导致很大的跟踪误差，但是一个轴跟另一个轴仍保持很高的同步率，那么最终的轮廓误差可能会很小，从某种意义上说，被控对象的输出和命令的参考轨迹相匹配的很好，两轴有相同的时间延迟。
如果两轴有良好的跟踪性能，就会表现出良好的轮廓误差。
在图9中，以y轴伺服运动作为横坐标，以z轴伺服运动作为纵坐标。
图中间的蓝圈表示0μm误差线，即被控制对象的输出与空间参考轨迹完全重合。
当PID控制器作用于y轴时，在0度左右出现了大概30μm的误差，而同样位置使用H∞控制器则会出现50μm左右的误差。
这个误差是由于y轴的汽缸抵消了重力在y轴的作用而引起的。
为了减少y轴在0度左右的误差，插入了一个前馈控制器。
但是没起到明显的改善作用。
在y轴除去0度和180度区域的其他区域，H∞控制器展现了比PID控制器更为优秀的性能。
在z轴，H∞控制器相比PID控制器具有明显优势。
在z轴的任何角度，H∞控制器的跟踪误差只在±
5μm左右。
前馈控制器如ZPETC（零相位误差跟踪控制）大致对对象的动态特性进行了反转，而且需要一个精确的对象模型。
因气缸对重力的抵消作用改变了y轴的运动方向，故在y轴插入前馈控制器可以减少0度附近的误差峰值。
看起来y轴的对象模型没有很好的考虑到气缸的非线性特性——特别是当y轴运动方向改变时，这就是前馈控制器没有起到明显作用的原因。
4．2输入整形器的作用
输入整形器包括实时整形和对稳定系统的参考命令的时间延迟滤波，目的是尽量减少残余振动。
通常情况给系统一个脉冲会导致它的振动。
如果在系统接受第一个脉冲后发生振动的周期的一半时，给系统一个具有适当振幅的第二个脉冲，系统很有可能停止由第一个脉冲引起的振动，并开始发生由第二个脉冲引起的相位相反的振动。
这就是输入整形器背后的中心思想。
如果我们对系统的固有频率ω和阻尼比ζ有一个合理的估算，那么因一个脉冲序列引起的残余振动可以表述为：
其中：
为了使式（5）等于0成立，必须有（6）的两个算式分别各自等于0。
因此脉冲序列必须满足：
方程组（7）的一组平凡解为：
如果通过方程组（8）得出的脉冲序列与需要的指令信号作卷积，并将卷积的结果作为命令输入给系统，则卷积的结果也不会引起振动。
通过式（8）和（9）得出的卷积结果可以很容易的通过FIR滤波器实现。
针对x轴设计的H∞控制器如之前所述。
通过实验和模拟分别得出的阶跃响应比较如图10所示。
尽管模拟中没有任何的超调量，但是实际系统在接受1mm幅度的阶跃信号时还是产生了9%的超调量。
考虑到了为了从控制系统中得到及时的反应，一些超调量可以是合理的，H∞控制的阶跃响应结果是可以接受的。
当给出的阶跃信号的振幅大于1mm，可以观察到如图11所示的更多的振荡情况。
在高速加速时，为了处理这些振荡，我们考虑在内反馈控制环路中插入一个输入整形器。
在输入一个大振幅的阶跃信号后，估算x轴的阻尼比ζ为0.3035，固有频率ω为43.96rad/s。
从方程（8）和（9）中得出的输入整形器作为FIR滤波器，设计的输入整形器被加入到伺服回路中，在H∞控制器之前对信号进行预整形。
输入一个3mm阶跃信号的实验结果如图11所示。
当x轴输入大振幅阶跃信号时，输入整形器虽不能完全消除振动，但相比只使用H∞控制器的情况大大减少了振动。
通过输入整形器进行卷积计算后的输入信号通常长度会增加，因此当使用输入整形器时，整个操作时间也增加了。
这是为了减少振荡所必须牺牲的。
对于小振幅和微振幅的阶跃输入，有输入整形器的响应结果与没有输入整形器的响应结果相近。
当加速或减速剧烈时，输入整形器可以提高系统的动态性能，但是它可能影响到多轴的矢量协调运动，因为它将本应同步的空间参考轨迹变形了。
因此，当一个轴以高速加速运动时，可以安全的使用输入整形器，但当两个或更多的轴需要产生同步协调的运动路径时，每一个轴的输入整形器应具有相同的时间延迟。
4．3干扰观测器
在直接驱动系统中，由于没有齿轮的减速作用，负载的抗干扰能力不强，因此设置一个干扰观测器可以很方便的增强抗干扰能力。
上述z轴的H∞控制器在低频率范围具有高增益，对参考命令能进行快速响应。
当对象受到干扰时，控制器出现了一些振荡，彻底消除干扰所需要的时间比PID控制器要长。
对于x轴和y轴，简单的PID控制器在抗干扰方面就起到很好的效果。
鉴于复杂的控制结构未必意味着更优的表现，我们只考虑在z轴加入干扰观测器。
为了提高z轴伺服回路的抗干扰特性，我们设计并测试了干扰观测器。
图12展示了时间离散扰动观测的示意图，其中u为控制器输出，d为干扰信号，y为对象输出，d为扰动的估计值，K（z）为反馈控制器，G（z）为对象，Gn（z）为名义对象模型，Q（z）是一个低通滤波器。
显然，如果G（z）≈Gn（z）且Q（z）≈1，则u到y的传递函数为G（z），但是在这种结构中d到y的传递函数为0。
Q（z）要求保证稳定。
在4中有对于干扰观测器的更详细讨论。
名义对象模型的转换，1/Gn（z）通过ZPETC（零相位误差跟踪控制）5得到，实验中我们为Q（z）设计使用了截止频率为50Hz的巴特沃斯低通滤波器。
在图13中比较了在0.1秒内，每隔0.01秒对对象输入一个1V的干扰，H∞控制器在有与没有干扰观测器的条件下恢复所需的时间和位移。
我们可以发现干扰观测器帮助伺服控制回路从被扰动的状态中快速恢复。
在实验中发现，有干扰观测器时，从干扰状态恢复所需要的时间是只使用H∞控制器时的一半。
4．4交叉耦合控制
在实际加工应用中，消除加工误差以确保最终产品的质量是很重要的一点。
最终产品的尺寸精度是考量产品质量的一个重要依据。
轮廓误差可以直接描述尺寸精度。
为降低轮廓误差，我们采取了两个主要途径。
其一为减小轴的跟踪误差可以间接减小轮廓误差。
这一部分包括前馈控制和抗干扰技术的应用。
另一途径为实时的准确的估测轮廓误差并对它们进行控制。
Koren在6中介绍了交叉耦合控制器，在7,8中介绍了其他通过交叉耦合控制进行的工作。
图14展示了在x-y平面的直线和曲线轮廓的误差模型，（xc，yc）为要求的位置，（xp，yp）为实际位置，ex和ey分别是x轴和y轴的跟踪误差，εl和εc分别是直线运动和曲线运动的轮廓误差。
轮廓误差εl和εc根据它们的几何形状确定如下：
交叉耦合控制的框图如图15所示。
交叉耦合增益Cx和Cy根据参考轨迹而变化。
直线运动中，由方程10得Cx=sinθ，Cy=cosθ。
曲线运动中，由方程11得Cx=[sinθ-ex/2R],Cy=[cosθ+ey/2R]。
注意通常情况当R远大于ex和ey时，我们可以令Cx=sinθ，Cy=cosθ。
实验中对Cc（z）应用了一个PID控制器。
在图16中，我们比较了有和没有交叉耦合控制器时的轮廓误差。
图中很明显的体现了假如交叉耦合控制的H∞控制器减小了0度附近的y轴方向气缸的摩擦力引起的轮廓误差的峰值。
轮廓误差的最大峰值从50μm减小到20μm。
在我们的三轴铣床中，前馈控制并未显著减小轮廓误差的最大峰值，而交叉耦合控制则坐到了这一点。
5．总结
本论文介绍了一台三轴桌面式铣床和其配套数控系统。
铣床的xy工作台通过两个音圈电机驱动，z轴通过直线电机驱动，空气涡轮主轴的最高转速可达16万转/分。
通过有限元分析和冲击锤试验，我们验证了这台机床有良好的结构刚度和高固有频率。
同时我们介绍了为这台三轴铣床设计的数控系统。
数控系统由两个程序构成：
基于微软Windows的用户图形界面程序，和运行于DaytonaDSP板的DSP程序。
两部分通过一个双端口RAM交换数据，传输用户输入和G代码命令。
我们介绍并比较了一些能够提高三轴桌面式铣床控制能力的控制技术。
对于装置了直线电机和空气轴承的z轴，采用双积分器设计的H∞控制器在跟踪误差和刚度方面较PID控制有更好地表现。
但对于音圈电机驱动的x轴和y轴，H∞控制与PID控制具有相近的表现。
在需要大加速度时，输入整形器会有明显作用，但当多轴合成运动时要谨慎使用，因为它会破坏各轴协调参考轨迹的同步性。
干扰观测器在抗干扰方面作用显著。
闭环伺服系统在突然收到脉冲信号，如干扰信号时，在反馈控制顶端设置一个干扰观测器可以使系统相对快速的从干扰状态中恢复。
当对工作台的切削力较大时，干扰观测器可以帮助保证加工精度。
在有摩擦的情况下，交叉耦合控制可以有效地减少轮廓误差和跟踪误差。
在测试机床中，在H∞控制伺服回路中加入交叉耦合控制器可以显著的减少轮廓误差，并在减少跟踪误差方面较前馈控制器有更好的表现。
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