第十五章整式的乘除与因式分解Word文档下载推荐.docx
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3，这样就可以得到指数方程．
解∵22n+1+4n=2×
22n+（22）n=2×
22n+22n=22n×
3，
又∵48=16×
3=24×
∴22n=24．
∴2n=4，即n=2．
例5求证：
对于任意自然数n，代数式n（n+7）-（n-3）（n-2）的值能被6整除．
首先应对代数式n（n+7）-（n-3）（n-2）进行化简，从中寻找有没有约数6．
证明n（n+7）-（n-3）（n-2）=n2+7n-（n2-5n+6）=12n-6=6（2n-1）．
∵n为自然数，∴2n-1为整数，
∴6（2n-1）为6的倍数，原命题得证．
例6若a=2555，b=3444，c=5333，试比较a、b、c的大小．
本题要比较a、b、c的大小，显然直接比较相当困难，由指数的特征可知它们都是111的倍数，故可运用幂的乘方运算性质把a、b、c化为底数可以比较大小而指数相同的形式．
解∵a=2555=（25）111=32111，b=3444=（34）111=81111，c=5333=（53）111=125111，
而125>
81>
32，
∴125111>
81111>
32111．
∴c>
b>
a
例7已知am=2，an=5，求am+n的值．
本题逆用同底数幂的乘法法则，将幂am+n分成两个同底数幂的积，即am+n=am·
an，然后把已知条件代入求值即可。
解am+n=am+n=am·
an=2×
5=10．
例8计算：
（-2）2005+（-2）2006．
本题若直接计算，则相当繁琐，巧妙地利用同底数幂的逆运算，则化繁为简．
解（-2）2005+（-2）2006
=（-2）2005+（-2）2005×
（-2）
=（-2）2005×
（1-2）=-（-2）2005=22005.
例9已知a2n=3，求a4n-a6n的值．
本题逆用幂的乘方法则，将a4n-a6n化为（a2n）2-（a2n）3，从而顺利求解。
解a4n-a6n=（a2n）2-（a2n）3=32-33=-18．
例10计算：
（-7）5×
（-
）5．
由于两个幂的底数之积是1，可以逆用积的乘方法则求解．
解（-7）5×
）5=[（-7）×
）]5=15=1.
例11计算：
（0.04）2009×
[（-5）2009]2．
观察题中特点，发现各因式的指数可以经过变形化成相同，根据积的乘方（ab）n=anbn的逆向运算anbn=（ab）n即可简便地求出结果。
解（0.04）2009×
[（-5）2009]2=[（0.2）2]2009×
52009×
2
=0.24018×
54018=（0.2×
5）4018=1．
例12计算：
（-0.25）2005×
42006．
逆用幂的三个运算性质简化计算．
解（-0.25）2005×
42006=（-0.25）2005×
42005×
4
=（-0.25×
4）2005×
=（-1）2005×
4=-4．
例13若2x+5y-3=0，则4x·
32y=＿＿＿＿．
已知的条件是2x+5y-3=0，无法求出x、y的值，因此可以先把4x·
32y化简，把2x+5y看作一个整体来解．
∵2x+5y-3=0，∴2x+5=3，
∴4x·
32y=22x·
25y=22x+5y=23=8．
8
例14计算：
（
+
+…+
）·
（1+
）-（1+
）．
本题若要直接乘开运算，过程是相当繁杂的，也是不现实的，但运用整体的思想，结合题目的特点，设a=
，b=
，则原式可转化为a（1+b）-（1+a）b，则问题变得十分容易．
解设a=
，
原式=a（1+b）-（1+a）b=a+ab-b-ab=a-b=
例15已知25x=2000，80y=2000，则x+y-xy=__________.
本题有点难度，根据条件中的两个式子没有办法直接求出x、y的值．因此可以把结论中的x+y和xy看作一个整体，想办法求出x+y和xy整体的值．
∵25x=2000，80y=2000，
∴25xy=2000y．80y=2000x
两式相乘得25xy·
80xy=2000y·
2000x，
∴（25×
80）xy=2000y+x，即2000xy=2000y+x.
∴y+x=xy，∴x+y-xy=0.
例16小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天，他在解方程时，突然产生了这样的想法：
x2=-1这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=-1，那么方程x2=-1可以变成x2=i2，则x=±
i，从而x=±
i是方程x2=-1的两个根，小明还发现i具有如下性质：
i1=i，12=-1，i3=i2·
i=（-1）i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1；
I5=i4·
i=i；
i6=（i2）3=i;
i6=（i2）3=（-1）3=-1；
i7=i6·
i=-i;
i8=（i4）2=1；
…
请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：
i4n+1=___________，i4n+2=___________，i4n+3=___________.
本题是一道学习新概念、新知识、考查数学能力的阅读理解题，应根据题目提供的条件认真观察规律，从而得出结论．
i-1-i
例17现规定一种运算a*b=ab+a-b，其中a、b为有理数，则a*b+（b-a）*（b+a）应等于多少?
请写出求解过程．
本题要理解运算a*b，根据新的运算规定的计算办法来解题．还要注意（b
-a）与（b+a）作为一个整体来代入计算．
解a*b+（b-a）*（b+a）=ab+a-b+（b-a）（b+a）+（b-a）-（b+a）
=ab+a-b+b2-ab++ab-a2+b-a-b-a=a2+ab-a-b-a2．
例18计算：
（-x）2n+1·
（-x）n+1（n为正整数）．
（-x）n+1=（-x）3n+2，底数中所含的符号要去掉，为此要判断3n+2是奇数，还是偶数．事实上3n+2的奇偶性是不确定的，应加以讨论．
解（-x）2n+1·
（-x）n+1=（-x）2n+1+n+1=（-x）3n+2.
当n为奇数时，原式=-x3n+2；
当n为偶数时，原式=x3n+2．
例19观察下列等式：
13=1；
13+23=32；
13+23+33=62；
13+23+33+43=102；
…
想一想，等式的左边各项的底数与右边的底数有什么关系?
猜一猜，可以引出什么规律?
根据题目所给等式的特点，从特殊情形入手，观察、分析、归纳、总结出一般结论；
从幂的底数入手，对左右两边幂的底数的特点逐行观察．
解第一行，左边1=右边1；
第二行，左边1、2，1+2=右边3；
第三行，左边1、2、3，1+2+3=右边6；
…；
可以看出每一行左边的数字之和等于右边的数字．因此，我们可以猜测规律：
13+23+33+4+…+n3=（1+2+3+4+…+n）2，而1+2+3+4+…+n=
n（n+1）．
左边右边
第1行：
1；
1=1；
第2行：
1，2；
3=1+2；
第3行：
1，2，3；
6=1+2+3；
第4行：
1，2，3，4；
10=1+2+3+4；
……
第n行：
1，2，3，4，…，n=
n（n+1）=1+2+3+4+…+n．
∴13+23+33+…+n3=[
n（n+1）]2.
例20甲、乙二人共同计算一道整式乘法：
（2x+a）·
（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x-10；
由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2-9x+10．
（1）你能知道式子中a、b的值各是多少吗?
（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果．
甲抄错了a的符号，即甲的计算式为（2x-a）（3x+b）=6x2-（3a-2b）x-ab．对比得到的结果可得-（3a-2b）=11；
乙漏抄了第二个多项式中x的系数，即乙的计算式为（2x+a）（x+b）=2x2+（a+2b）x+ab．对比得到的结果可得出a、b的值．
解
（1）（2x-a）（3x+b）=6x2-（3a-2b）x-ab=6x2+11x-10，
（2x+a）（x+b）=2x2+（a+2b）x+ab=2x2-9x+10，
∴
解得
（2）原式=（2x-5）（3x-2）=6x2-19x+10．
15．2乘法公式
知识点1平方差公式
例2下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（）
A．（-a-b）（a+b）B．（-a-b）（a-b）
C．（a+b-c）（-a-b+c）D．（-a+b）（a-b）
A、C、D都是一个数与它的相反数的乘积，不能用平方差公式，B中是-b与a这两个数的和与这两个数的差的积，符合平方差公式．故选B．
B
知识点2完全平方公式
例4下列各式能称为完全平方式的有（）
①x2-
x+
；
②25x2+1；
③y2-2y+1；
④
x2-
xy+
y2；
⑤a2-2a+4.
A．5个B．4个C．3个D．2个
①中的不是平方项；
②中只有两项；
⑤中两数积的2倍应该是4a；
③、④均符合要求，故选D．
例6运用乘法公式计算：
（a-b+c）2．
本题中的字母不是两数和（或差）形式，但可以把其中任何两项看成一个数，然后运用两数和（或差）的完全平方公式进行计算．
解（a-b+c）2=[（a-b）+c]2=（a-b）2+2（a-b）c+c2
=a2-2ab+b2+2ac-2bc+c2=a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc.
例1计算：
（1）99×
101；
（2）59.7×
60.3．
（1）将99写成100-1，101写成100+1，便能用平方差公式计算；
（2）将59.7写成60-0.3，60.3写成60+0.3也可用平方差公式计算．
解
（1）99×
101=（100-1）（100+1）=1002-1=9999．
（2）59.7×
60.3=（60-0.3）（60+0.3）=602-（0.3）2=3600-0.09=3599.91．
例2计算：
（1）20022-20002；
（2）（a+b-c）2-（a-b+c）2．
由于2002与2000的差是一个很小的数，（a+b-c）与（a-b+c）的和为一个单项式，因此此类问题可逆用平方差公式．
解
（1）20022-20002=（2002+2000）（2002-2000）=4002×
2=8004．
（2）（a+b-c）2-（a-b+c）2=[（a+b-c）+（a-b+c）][（a+b-c）-（a-b+c）]=2a·
（2b-2c）=4ab-4ac．
例3S=12-22+32-42+…+992-1002，求S的值．
若按有理数乘方方法计算，计算量相当大，仔细观察算式，不难发现，可以逆用平方差公式．
解S=（1+2）（1-2）+（3+4）（3-4）+…+（99+100）（99-100）
=-（3+7+11+…+199）=-（3+199）×
25=-5050．
例4计算：
（a+b）（a-b）（a2+b2）（a4+b4）．
本题可反复运用平方差公式，得出结果．
解（a+b）（a-b）（a2+b2）（a4+b4）=（a2-b2）（a2+b2）（a4+b4）
=（a4-b4）（a4+b4）=a8-b8.
例5算：
（1）1012；
（2）972．
把1012化为（100+1）2，972化为（100-3）2，然后用完全平方公式计算．
解
（1）1012=（100+1）2=1002+2×
100×
1+12=10201．
（2）972=（100-3）2=1002-2×
3+32=9409．
例6已知a+b=5，ab=-6．求下列各式的值．
（1）a2+b2；
（2）a2-ab+b2．
要得到a2+b2的值，可由（a+b）2得到，即（a+b）2=a2+2ab+b2，可变形为a2+b2=（a+b）2-2ab，则a2-ab+b2=（a+b）2-3ab．
解
（1）∵（a+b）2=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×
（-6）=25+12=37．
（2）a2-ab+b2=（a+b）2-3ab=25+18=43．
例7如果x2+ax+25是一个完全平方式，那么a的值是（）
A．10B．5C．±
10D．±
5
找出式子中的平方项，一项是x的平方，另一项是5的平方，中间一项是两数积的2倍，同时中间一项前面的符号可正可负，故应有两个答案．即ax=（±
2）×
x×
5，∴a=±
10．
篊
例8求证：
无论a、b为何值，多项式a2+b2-2a-6b+10的值恒为非负数．
本题就是要证明a2+b2-2a-6b+10≥0，把式子变形，用完全平方公式便可达到目的．
证明∵a2+b2－2a－6b+10
=a2-2a+1+b2-6b+9
=（a-1）2+（b-3）2，
∵（a-1）2≥0，（b-3）2≥0，
∴a2+b2-2a-6b+10≥0．
即a、b无论为何值，多项式a2+b2-2a-6b+10的值恒为非负数。
（2x-3y-1）（-2x-3y+5）．
初看两个因式不符合平方差公式的结构特征，难以运用公式求解．但若把“-1”拆成“-3+2”，把“5”拆成“3+2”，则运用公式的前景清晰可见．
解（2x-3y-1）（-2x-3y+5）=[（2-3y）+（2x-3）][（2-3y）-（2x-3）]
=（2-3y）2-（2x-3）2=9y2-4x2-12y+12x-5．
例11如图所示的长方形ABCD被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小
正方形的面积为4，求长方形ABCD中最大正方形与最小正方形的面积之差．
小正方形的面积为4，则它的边长为2，观察图形便知其余正方形的边长分别为a，b=a+2，c=b+2=a+4，d=c+2=a+6．可见，边长为d的正方形在长方形ABCD中最大，从而可写出最大正方形与最小正方形的面积之差的代数式（含a），再设法列方程求a（利用AB=CD列方程，或利用AD=BC列方程）。
解图中最大的正方形边长为d=a+6，最小的正方形边长为2，
∴它们的面积之差为（a+6）2-4=a2+12a+36-4=a2+12a+32，
在长方形ABCD中，AB=CD，
又AB=c+d=a+4+a+6=2a+10，CD=b+2a=a+2+2a=3a+2，
∴2a+10=3a+2，解得a=8，
故面积之差为a2+12a+32=82+12×
8+32=192．
例12观察下面各式：
12+（1×
2）2+22=（1×
2+1）2；
22+（2×
3）2+32=（2×
3+1）2；
32+（3×
4）2+42=（3×
4+1）2；
（1）写出第2006个式子；
（2）写出第n个式子，并证明你的结论．
通过观察找出规律。
解
（1）第2006个式子为：
20062+（2006×
2007）2+20072
=（2006×
2007+1）2．
（2）第n个式子为n2+[n（n+1）]2+（n+1）2=[n（n+1）+1]2．
证明如下：
左边=n2+（n2+n）2+（n+1）2=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1
=n4+2n3+3n2+2n+1.
右边=（n2+n+1）2=[n2+（n+1）]2=（n2）2+2n2（n+1）+（n+1）2
=n4+2n3+2n2+n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1．
∴左边=右边，即以上结论成立．
15．3整式的除法
例2先化简，再求值：
[（-
x3y4）3+（-
xy2）2·
3xy2]÷
xy2）3，其中x=-2，y=
.
先按各自的法则和运算顺序化简，再代入求值．
解[（-
xy2）3
=（-
x9y12+
x2y4·
x3y6）
x3y6）÷
x3y6）=x6y6-
当x=-2，y=
时，原式=（xy）6-
=（-2×
）6-
=
例3已知a2m+nbn÷
（a2b2·
anb=a4b，求，m、n的值．
观察条件，等式的左边是整式的除法与乘法运算，因此首先应将左边化简，然后可根据等式得出方程．
解∵a2m+nbn÷
anb=a4b，
∴a2m+n-2+nbn-2+1=a4b，即a2m+2n-2bn-1=a4b．
∴
解得
例4当细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂n次后，数量变为2n个，有一种分裂速度很快的细菌，它每15分钟分裂一次，如果现在有1000个这样的细菌，那么1h后有多少个细菌?
2h后的数量是1h后的多少倍?
这种细菌每15分钟分裂一次，30min就分裂两次，1h后就会分裂4次．从1h到2h之间的1h内又分裂了4次，也就是2h后共分裂了8次．
解1h后细菌的个数为1000×
24=1.6×
104（个）．
2h后细菌的个数为1000×
28=2.56×
105（个），
∴2.56×
105÷
（1.6×
104）=16（倍），2h后的数量是1h后的16倍．
例5当m、n为何值时，多项式x3+mx-2能被x2+nx+1整除?
由于x3+mx-2能被x2+nx+1整除，故可设商式为x+a，利用待定系数法列方程组求解．
解设x3+mx-2=（x2+nx+1）（x+a），
即x3+mx-2=x3+（a+n）x2+（an+1）x+a，
比较两边同次项的系数得
∴当m=-3，n=2时，多项式x3+mx-2能被x2+nx+1整除．
例6已知x3-16x2+mx-n除以x2-2x+3，所得余式为-18x+15，试求m、n的值．
依据被除式=除式×
商式+余式，然后设出商式为x+a，用待定系数法求解．
解设商式为x+a，则由题意可得
x3-16x2+mx-n=（x2-2x+3）（x+a）-18x+15，
即x3-16x2+mx-n=x3-（a-2）x2-（2a+15）x+3a+15，
比较两边同次项的系数得
∴m=13．n=27．
例7计算：
（a-b）3n（b-a）2n÷
（b-a）5n（a≠b）．
由于当n为奇数或偶数时，（b-a）5n变为-（a-b）5n或（a-b）5n两种不同情况，故应对n的奇偶性进行分类讨论．
解当n为奇数时，
原式=（a-b）3n·
（a-b）2n÷
[-（a-b）5n]
=（a-b）5n÷
=-（a-b）5n-5n=-（a-b）0=-1；
当n为偶数时，
原式==（a-b）3n·
（a-b）5n
=（a-b）0=1．
例8已知ax=3，ay=9，求a2x-y的值．
对两个已知等式均无法进行变换、化简，故应从要求的幂入手．这个幂的指数为2x-y，是两数差的形式．应该联想到只有同底数幂相除时才有，即所要求的代数式为a2x÷
ay，又a2x=（ax）2这样就可以利用已知条件了．
解∵ax=3，∴（ax）2=a2x=9，
∵ay=9，∴a2x÷
ay=a2x-y=1．
例9已知3m=6，9n=2，求32m-4n+1的值．
运用幂的有关性质建立已知与未知的联系，将结论中的代数式转化为含有已知条件的代数式，即可求值．
解∵3m=6，9n=32n=2，
∴32m-4n+1=32m÷
34n×
3=（3m）2÷
（32n）2×
3=62÷
22×
3=27．
例10已知am·
an=a4，am÷
an=a6，求m、n的值．
利用幂的运算法则可得到有关的方程组，从而求解．
解∵am·
an=a6，
∴am+n=a4，am-n=a6，∴
15．4因式分解
知识点1因式分解的意义
例1下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（）
A．x2-x-2=x（x-1）-2B．（a+b）（a-b）=a2-b2
C．x2-4=（x+2）（x-2）D．x-1=x（1-
）
A中的结果是积与和的混合形式；
B属于整式的乘法运算；
C满足因式分解的定义；
D中的右边不是整式的积的形式．故选C．
知识点2公因式的概念
例2多项式6x3y2-3x2y2+12x2y3的公因式为（）
A．3xyB．-3x2yC．3xy2D．3x2y2
从系数来看，6，-3，12的最大公约数是3；
从字母来看各项都含有的字母是x、y，从指数来看，x的最低次数是2，y的最低次数是2，故公因式为3x2y2.∴选D。
例3多项式2（
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