第二十届 全国 初中数学联赛含答案.docx

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第二十届全国初中数学联赛含答案

2003第二十届全国初中数学联赛

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1．等于（）

A．B．C．5D．1

2．在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）

　A．0B．1C．3D．5

3．若函数与函数的图象相交于，两点，垂直轴于，则的面积为（）

A．1B．2C．3D．4

4．满足等式的

正整数对的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

5．设的面积为1，是边上一点，且．若在边上取一点，使四边形的面积为，则的值为（）

A．B．C．D．

6．在平行四边形中，过，，三点的圆交于，且与相切．若，，则的长为（）

A．3B．4C．D．

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．若是直角三角形，则_________．

2．设是整数，且方程的两根都大于而小于，则_________．

3．如图，，分别是，的平分线．若，则的度数为________．

4．已知正整数，之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么，中较大的数是________．

第二试（A）

考生注意：

本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．

一、（本题满分20分）

试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数．

二、（本题满分25分）

在中，为的中点，分别延长，到点，，使；过，分别作，的垂线，相交于．设线段，的中点分别为，．

求证：

⑴；⑵．

三、（本题满分25分）

已知实数，，，互不相等，且，试求的值．

第二试（B）

考生注意：

本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．

一、（本题满分20分）

试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数．

二、（本题满分25分）

在中，为的中点，分别延长，到点，，使；过，分别作，的垂线，相交于．

求证：

．

三、（本题满分25分）

已知四边形的面积为32，，，的长都是整数，且它们的和为16．

⑴这样的四边形有几个？

⑵求这样的四边形边长的平方和最小值．

第二试（C）

考生注意：

本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．

一、（本题满分20分）

已知实数，，，互不相等，且，试求的值．

二、（本题满分25分）

在中，为的中点，分别延长，到点，，使；过，分别作，的垂线，相交于．

求证：

．

三、（本题满分25分）

已知四边形的面积为32，，，的长都是整数，且它们

的和为16．

⑴这样的四边形有几个？

⑵求这样的四边形边长的平方和最小值．

2003第二十届全国初中数学联赛

试题

第一试

一、选择题

1．D

【解析】本题应该利用配方法：

原式．

故选择D．

【点评】这是一道比较简单的二次根式的配方，注意去掉根号时要注意符号．

2．C

【解析】凸10边形的外角和是，所以最多有3个钝角，也就是内角最多3个锐角．

故选择C．

【点评】这道题要从外角来考虑，因为对于任何凸多边形外角和都是，这是一个隐含的条件，在很多的四边形的题中都要从这一点出发来考虑．

3．A

【解析】如图，求的面积，可以将当作三角形的底边，而的水平距离就是的高．

，，

所以有：

，，，

故的高为，而当时，，

也就是，所以：

．

所以选A．

【点评】对于函数图像与几何结合的题型，尤其是一元二次方程，二次函数图像以及几何面积等结合的时候，要掌握的重点是两交点之间的水平距离为，可以通过韦达定理即根与系数的关系求出，而不必要去解带字母系数的一元二次方程．

4．B

【解析】将2003移到等号左边并变形得到：

，

所以，即，

又2003是质数，所以共有，；，两组解．

故选择B．

【点评】这道题的考点是恒等变形，需要将原来很复杂的根式变成比较简单的形式，然后再求解．在变换过程中也要注意要解的方程里含两个未知数，一般情况下是无法解的，但是有整数这个条件下的约束，我们可以通过将方程表示成两个多项式的乘积等于零的形式再求解．

5．B

【解析】显然由正弦定理可知：

，

所以，

故：

，

所以，

应该选B．

【点评】应该了解算三角形面积的三种不同的算法，正弦定理、底乘高的公式以及利用三角形内切圆半径和周长算三角形面积的方法．其中对于利用正弦定理来算三角形面积的方法可以直接转化成两对边比例的乘积，在作填空选择的时候可以直接利用．

6．D

【解析】连接，由于四点共圆，所以：

，

在平行四边形中，，

所以有，

同时，平行于，且与圆相切，

可知：

为弧中点，所以，且，

故由可知为等腰三角形，，

由和可知相似于，

所以：

，

故：

，选D．

【点评】注意弦切角的应用，以及圆周角与弧之间的联系．

二、填空题

1．

【解析】由于是直角三角形，所以抛物线与轴的交点必然在轴两边，

所以，再由射影定理得到．

得到，有，所以．

【点评】这是一道几何与代数的综合题，需要利用给出的几何条件得到二次函数的性质，要掌握的重点是两交点之间的水平距离为，可以通过韦达定理即根与系数的关系求出，而要去解方程．

2．4

【解析】解法一：

考虑二次函数与二次函数的两个交点，由于3大于0，图像开口向上．

由于两个交点都在和之间，所以从图像可以看出，，．

得到，所以的值为4．

【点评】直接从已知条件不好下手，而利用二次函数与一元二次方程的关系，从二次函数的图像考虑就比较容易得到结果，利用二次函数的图像是一种很重要的方法．

3．

【解析】本题考察的是角度计算的知识，令，

由于，所以有：

，

对于三角形的一个外角和等于不相邻的的两内角之和，故：

，

又为的角平分线，所以：

，

又由对顶角相等可知：

，

由可知：

，

故：

，

同时为的角平分线，

故：

，

则：

，

解得：

，

．

【点评】对于很多的角的计算时一般设一个最小的角便于计算，同时还应该注意三角形中外角、对顶角等的性质．

4．225

【解析】设两个数的最大公约数为，大数为，小数为，其中，互质，

则最小公倍数为．

由已知得，．

由于，所以只可能是105，35，21，15．

对应的分别为1，3，5，7．

只有在，时为整数，．

所以大数为．

【点评】这道题的考点是最大公约数与最小公倍数的性质，利用其性质列出整数方程就很容易求解了．

第二试（A）

一、

【解析】设这两个两位数分别为，，

则，

即，

为使方程有正整数根要求是正整数．

经试验得到时是完全平方数，解出或30，

即2025或者3025满足题意．

【点评】本题的关键是根据自然数的性质列出方程，再结合一元二次方程求出结果，这种题目在二试中经常出现．

二、

【解析】连接，，，，，，

在直角和中，、分别是它们斜边上的中点，所以：

，，

在中，、、分别为各边的中点，

故，均为的中位线，

所以有，，

同时，由于为边中点，所以，

因此，命题得证：

由可知：

，

又由于，均为三角形的中位线，所以，

则有：

，

即：

，

同时，和为等腰三角形，

所以，，

【点评】对于线段相等通常是围绕线段构造全等的三角形，对于要证明角相等，除了构造三角形全等以外，还可以构造相似．

三、

【解析】由已知有：

；①

；②

；③

．④

由式①解出：

，⑤

将⑤代入②式可得：

，⑥

将⑥代入③式可得：

，

即：

，⑦

由④式得：

，

代入⑦式得：

，

由已知，所以：

，

若，则由式⑥可得，矛盾，

故有，即．

【点评】本道题只能是通过代数式的变换来解题，在代数式的变换中注意到共有四个等式，有，，，四个字母，也就是可以通过消元最后得到和其中一个字母的关系，但是这样我们得到的是一个三次式，不利于解题．实际上不管最后得出的式子含有多少个未知数，只要可以表示成几个多相式的乘积为零，就能得到结果，实际解题中应该从这方面着手．

第二试（B）

一、

【解析】设这两个两位数分别为，，

则，

即，

为使方程有正整数根要求是正整数，

经试验得到时完全平方数，解出或，

即2025或者3025满足题意．

【点评】本题的是根据自然数的性质列出方程，再结合一元二次方程求出结果，这种题目在二试中经常出现．

二、

【解析】连接、、、、、，

在直角三角形和中，、分别是它们斜边上的中点，所以：

，

在中，、、分别为各边的中点，

故，均为的中位线，

所以有，，

同时，由于为边中点，所以，

因此，命题得证：

由可知：

，

又由于，均为三角形的中位线，

所以，

则有：

，

即：

，

同时，和为等腰三角形，

所以，，

【点评】对于线段相等通常是围绕线段构造全等的三角形，对于要证明角相等，除了构造三角形全等以外，还可以构造相似．

三、

【解析】如图，设，，并设的边上的高为，边上的高为，则：

，

仅当，等号成立，即在四边形中，当垂直于，垂直于时等号成立．

由已知可得：

，

又由题设，可得：

，

于是：

，，且这时垂直于，垂直于．

因此，这样的四边形有如下4个：

，，；

，，；

，，；

，，；

它们都是以为高的梯形或平行四边形．

又由，，则，，

因此，这样的四边形的边长的平方和为：

．

故当时，平方和最小，且为192．

【点评】本题是一道综合性很强的题目，其中运用到了面积法，不等式，四边形知识，需要同学们对这些知识掌握得很好，并能够融会贯通．

第二试（C）

一、

【解析】由已知有：

；①

；②

；③

．④

由式①解出：

，⑤

将⑤代入②式可得：

，⑥

将⑥代入③式可得：

，

即：

，⑦

由④式得：

，

代入⑦式得：

，

由已知，所以：

，

若，则由式⑥可得，矛盾，

故有，即．

【点评】本道题只能是通过代数式的变换来解题，在代数式的变换中注意到共有四个等式，有，，，四个字母，也就是可以通过消元最后得到和其中一个字母的关系，但是这样我们得到的是一个三次式，不利于解题．实际上不管最后得出的式子含有多少个未知数，只要可以表示成几个多相式的乘积为零，就能得到结果，实际解题中应该从这方面着手．

二、

【解析】连接、、、、、，

在直角三角形和中，、分别是它们斜边上的中点，所以：

，

在中，、、分别为各边的中点，

故，均为的中位线，

所以有，，

同时，由于为边中点，所以，

因此，命题得证：

由可知：

，

又由于，均为三角形的中位线，

所以，

则有：

，

即：

，

同时，和为等腰三角形，

所以，，

【点评】对于线段相等通常是围绕线段构造全等的三角形，对于要证明角相等，除了构造三角形全等以外，还可以构造相似．

三、

【解析】如图，设，，并设的边上的高为，边上的高为，则：

，

仅当，等号成立，即在四边形中，当垂直于，垂直于时等号成立．

由已知可得：

，

又由题设，可得：

，

于是：

，，且这时垂直于，垂直于．

因此，这样的四边形有如下4个：

，，；

，，；

，，；

，，；

它们都是以为高的梯形或平行四边形．

又由，，则，，

因此，这样的四边形的边长的平方和为：

．

故当时，平方和最小，且为192．

【点评】本题是一道综合性很强的题目，其中运用到了面积法，不等式，四边形知识，需要同学们对这些知识掌握得很好，并能够融会贯通．