奇偶性和质数问题Word文档格式.docx
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它们是什么颜色的？
10．正方体盒子的每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写的两数之和都相等．若18对面所写的是质数a；
14对面所写的是质数b；
35对面所写的质数是c．试求a+b+c的值．
11．桌上有7只正放着的酒杯，如果一次翻转3只杯子，而且只允许翻3只，那么最少翻转 _________ 次，能将正放着的7只杯都翻成底朝上．
12．一次考试中共有20道题，每题5分，答错或不答每题倒扣3分，小华在这次考试中的得分是奇数还是偶数？
说出理由．
13．如图，甲、乙、丙三个大小相同的杯子在桌面上一次排列，其中甲杯中盛满水，乙和丙是空杯．现把水全部倒入相邻（左或右）的空杯中，那么，经过55次倒水后，有水的是 _________ 杯．
14．现有11块铁，每块的重量都是整数，任取其中10块，都可以分成重量都等的两组，每组有5块铁，试说明：
这11块铁每块的重量都相等．
15．设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数，则这个月的21日可能是星期几？
16．2009只茶杯，杯口朝下，每次翻动4只茶杯，能否经过若干次翻动，使所有茶杯全变为杯口朝上？
每次翻动5只呢？
17．第1个小朋友第1次面对竹竿跑过去，等绕过竹竿后，第2次返回原地；
把接力棒交给下一个小朋友．以此类推，第19次是跑去还是返回？
是第几个小朋友？
18．（2014•台湾模拟）将三个质数的倒数相加，和为
，这三个质数分别是多少？
19．从1999、1989和1979中分别减去同一个四位数，便能得到三个不同的质数．减去的这个四位数是多少？
简要说明理由．
20．（2014•台湾模拟）甲、乙两质数之和为40，那么按序搭配，甲有多少种可能？
21．著名的哥德巴赫猜想是：
“任何不小于6的偶数都可以表示为两个奇质数之和”．自然数100可以写成 _________ 种不同质数之和的形式．
22．将100以内的质数从小到大排成一个数字串依次完成下列五项工作叫一次操作：
（1）将左边第一个数码移到数字串的最右边；
（2）从左到右两位一节组成若干个两位数；
（3）划去这些两位数中的合数；
（4）所剩的两位质数中有相同的，保留左边的一个，划去多余的；
（5）所剩的两位质数保持数码顺序又组成一个新的数字串．
问：
经过1997次操作，所得的数字串是什么？
23．是否存在两个质数，它们的和等于11….1（20个1）？
24．求小于1001且与1001互质的所有自然数的和．
25．一个三位质数，各位数字也是质数且互不相同，个位数字等于前两位数字的和，这个质数是多少？
26．p、q都是质数，5p+7q=29，那么pq+qp﹣p+q等于多少？
27．有2、3、4、5、6、7、8、9、10和11共10个自然数，
①从这10个数中选出7个数，使这7个数中的任何3个数都不会两两互质；
②说明从这10个数中最多可以选出多少个数，这些数两两互质．
28．（2012•长清区模拟）桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”．请说明：
无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下．
29．黑板上有多个5和7．现在进行如下操作：
将黑板上任意两个数的和写在黑板上，问经过若干次操作后，黑板上能否出现23？
30．教室里有一盏灯亮着，突然停电了，李老师拉了一下电灯的开关，如果这个班有36名同学，每人都拉一下开关，最后灯是亮着还是关着？
请说出你的理由．
参考答案与试题解析
b是一个奇数，则称这个两位数为“好数”，两位“好数”共有 25 个．
考点：
奇偶性问题．菁优网版权所有
分析：
由于偶数+奇数=奇数，偶数×
奇数=偶数，所以a+a×
b是一个奇数，则a一定是奇数，b一定是偶数，0～9共有5个奇数，5个偶数，根据乘法原理，两位好数共有5×
5=25个．
解答：
解：
由于a+a×
b是一个奇数，
所以a一定是个奇数，若a是偶数，则a+a×
b一定是个偶数，与题设矛盾；
b一定是个偶数，若b是个奇数，则a+a×
b=奇数+奇数×
奇数=奇数+奇数=偶数，与题设矛盾；
0～9共有5个奇数，5个偶数，
所以，两位“好数”共有：
5×
故答案为：
25．
点评：
根据已知条件及数的奇偶性确定a、b两数的奇偶性是完成本题的关键．
专题：
传统应用题专题．
由题意可知，原来杯口朝上，则翻动一次，杯口朝下．翻动两次，杯口向上，三次向下，四次向上，…．由此可以发现，当翻动奇数次时，杯口向下，偶数次时，杯口向上，据此完成即可．
原来杯口朝上，
由于当翻动奇数次时，杯口向下，偶数次时，杯口向上，
10与100为偶数，则翻动10次与100次时，杯口都向上，
105为奇数，则当翻动105次时，杯口向下．
在此类翻杯与拉开关问题中，当翻动奇数次时，原来状态改变，偶数次时，恢复原来状态．
1次翻动其中1枚，第2次翻动其中2枚，第3次翻动其中3枚…第1999次翻动1999枚，由此可知，翻动1999次后，共翻动了1+2+3+…+1999枚，根据高斯求和分式求出枚数后，即能求出翻动的次数，然后根据翻动次数的奇偶性即能得出正面朝上还是朝下．
根据题意可知，翻动1999次后，共翻动了：
1+2+3+…+1999
=（1+1999）×
1999÷
2，
=2000×
=1999×
1000枚，
即一共要把这1999枚硬币翻1000次，
由于翻动奇数次时，硬币状态改变，翻动偶数次时，硬币状态不变，
1000是偶数，
所以最后硬币的状态不变，依然都是正面朝上的．
首先根据高斯求和分式：
等差数列和=（首项+末项）×
项数÷
2，求出最后翻动的总枚数是完成本题的关键．
根据数的奇偶性可知，如果abc全是偶数，或其中有两奇一偶，或则（a+b+c）、（a﹣b+c）、（a+b﹣c）、（b+c﹣a）全是偶数，如果abc全是奇数，或其中有两偶一奇，则（a+b+c）、（a﹣b+c）、（a+b﹣c）、（b+c﹣a）全是奇数，所以无论a、b、c的奇偶性是什么，（a+b+c）、（a﹣b+c）、（a+b﹣c）、（b+c﹣a）这四个的奇偶性均相同，同奇或同偶，而3388=2×
2×
7×
11×
11，无论如何搭配，组成四个数的乘积，都不可能同奇或同偶．所以不可能找到．
无论a、b、c的奇偶性是什么，
（a+b+c）、（a﹣b+c）、（a+b﹣c）、（b+c﹣a）这四个的奇偶性均相同，
同奇或同偶．
又3388=2×
11，无论如何搭配，组成四个数的乘积，都不可能同奇或同偶．
所以，无法找到．
根据数的奇偶性得出无论a、b、c的奇偶性是什么，（a+b+c）、（a﹣b+c）、（a+b﹣c）、（b+c﹣a）这四个的奇偶性均相同是完成本题的关键．
数性的判断专题．
根据题意，跳奇数次在右边大树上，跳偶数次在左边大树上，根据次数的奇偶性，解答即可．
（1）跳奇数次在右边大树上，跳偶数次在左边大树上，因此，这只小猴跳了21次后，在右边大树上．
（2）60次是偶数次，因此这只小猴跳了60次后，它是在左边大树上．
解答此题的关键是通过探索发现规律：
奇数次改变位置，偶数次回到原位置．
奇偶性问题；
公约数与公倍数问题．菁优网版权所有
原来50盏灯全部关着，由于灯的处理偶数次状态不变，处理奇数次状态改变，因此根据1～50的约数的个数即能确定最后还有哪几盏灯是亮着的：
有奇数个约数的编号灯最后是开着的，有偶数个约数的编号的灯状态不变，最后是关着的．
由于灯处理偶数次状态不变，处理奇数次状态改变，
素数2有1和本身2个约数，则1～50所有质数编号的灯最后是关着的；
合数中，如果是完全平方数象1、4、9、16…49这样的都是奇数个约数，
而不是完全平方数的合数象6、8、10、…50这样的都是偶数个约数，
所以算出1﹣50里面有几个平方数即可知道有多少是亮的则有：
1号、4号、9号、16号、25号、36号、49号共7盏灯亮着．
答：
最后有1号、4号、9号、16号、25号、36号、49号共7盏灯亮着．
明确灯处理偶数次状态不变，处理奇数次状态改变，并由此根据编号的约数的个数进行判断是完成本题的关键．
不能被2整除的数为奇数，且连续的奇数为公差为2的等差数列，所以本题可设共有y项，则最后一项为2y﹣1，那么所有奇数和可表示为：
（1+2y﹣1），化简得y2；
且根据和为1998，可以判断y即为项数的值；
根据y的值可求得不去项时各奇数的和，减去1998即可得擦去的奇数的值．
设共有y项，则最后一项为2y﹣1，那么所有奇数和可表示为：
（1+2y﹣1）=y2；
因为442=1936，452=2025，462=2116，且擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为1998，
可以判断y值小于46，且大于44，即y的值为45；
从1开始的若干个连续的奇数到89共有45项，其和为45×
（1+89）÷
2=2025，擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为1998，
所以擦去的一项为2025﹣1998=37．
故答案填：
21．
本题涉及到等差数列的求和公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
（1）如果小青蛙又回到了左岸，那么这只小青蛙游的次数是双数．因为游一个“来回”即游两次，是双数，游若干个“来回”就是若干个双数相加，所以游的次数是双数．
（2）来回共游101次，说明小青蛙游的次数是单数次，那么小青蛙就应由右岸到了左岸．
（1）如果小青蛙又回到了左岸，那么这只小青蛙游的次数是双数．所以游的次数是双数．
此题属于奇偶性问题，考察了对奇偶性的判定．
（1）根据题意可知，一取一放就相当于每次取两个，放回一个，若取出的两个同色，放进去一个黑色的，若取出的不同色，放进去一个白的，也就是说每经过一轮，甲盒中就会少一个棋子，那么4011次后，甲盒中还剩（2006+2007）﹣4011=2枚棋子；
（2）由于白色棋子只能在两枚棋子同为白的时候离开甲盒，而一黑一白的时候该白棋子会回到甲盒中，那么也就是说最终能够离开甲盒的白色棋子必为偶数，原来白色棋子有2007枚，为奇数，所以4011次后，甲盒中只能剩一枚白色棋子，那么另一枚就是黑色棋子了．
（1）根据题意可知，每经过一轮，甲盒中就会少一个棋子，那么4011次后，甲盒中还剩：
（2006+2007）﹣4011，
=4013﹣4011，
=2（枚）；
（2）由于白色棋子只能在两枚棋子同为白的时候离开甲盒，而一黑一白的时候该白棋子会被放回到甲盒中，那么也就是说最终能够离开甲盒的白色棋子必为偶数，原来白色棋子有2007枚，为奇数，根据“奇数﹣偶数=奇数”这条规律；
所以4011次后，甲盒中只能剩一枚白色棋子，那么另一枚就是黑色棋子了．
经过4011次取放之后，甲盒中还剩下2个棋子，它们是一黑一白两种颜色．
根据两种取放方法能够看出每经过一轮，甲盒中就会少一个棋子，以及拿出白色棋子的个数只能是偶数个，是本题解答的关键．
质数与合数问题．菁优网版权所有
整除性问题．
根据题目已知18+a=14+b=35+c．18和14是偶数，而35是奇数，除2之外所以的质数都是奇数，因为18+a和14+b的和肯定是奇数，所以35+c也只能是奇数，所以a，b肯定是奇质数，不会是唯一的偶质数2，那么c就只能是偶质数2了，知道c=2，也可以知道b=23，a=19．最后a+b+c=44．
已知18+a=14+b=35+c．
a，b肯定是奇质数，不会是唯一的偶质数2，那么c就只能是偶质数2；
35+c=35+2=37；
18+a=37，
a=37﹣18=19；
14+b=37，
b=37﹣14=23；
a+b+c=19+23+2=44．
根据质数的奇偶性的特点，以及奇数+偶数=奇数的特点，找出c是偶数质数2，再进一步求解．
11．桌上有7只正放着的酒杯，如果一次翻转3只杯子，而且只允许翻3只，那么最少翻转 3 次，能将正放着的7只杯都翻成底朝上．
你要想把一个杯子从口朝上翻转为口朝下，要么翻一次，要么翻三次…总之只能翻奇数次才能达到目标要把7只杯子都从口朝上变成口朝上，则必须经过奇数次翻转才能达到目的，实际操作一下，得出结果．
用1表示杯子向上，0表示底朝上，则：
原来为：
1、1、1、1、1、1、1；
第一次：
先翻转从左起3个杯子，即：
0、0、0、1、1、1、1；
第二次：
翻转左起第3、4、5只杯子，即：
0、0、1、0、0、1、1；
第三次：
翻转左起第3、6、7只杯子，即：
0、0、0、0、0、0、0．
所以至少翻转3次就能将正放着的7只杯都翻成底朝上．
3．
解决本题的关键是你要想把一个杯子从口朝上翻转为口朝下，要么翻一次，要么翻三次…总之只能翻奇数次才能达到目标要把7只杯子都从口朝上变成口朝上，则必须经过奇数次翻转才能达到目的．
设答错了x道，不答的有y道，则答对了20﹣x﹣y道，小华在这次考试中的得分可以表示为：
（20﹣x﹣y）﹣3（x+y），然后根据数的奇偶性讨论这个算式即可判断．
设答错了x道，不答的有y道，则答对了20﹣x﹣y道；
小华在这次考试中的得分可以表示为：
（20﹣x﹣y）﹣3（x+y），
=100﹣5x﹣5y﹣3x﹣3y，
=100﹣8x﹣8y；
因为100，8x和8y都是偶数，所以三个数的差也是偶数；
也就是小华在这次考试中的得分是偶数．
小华在这次考试中的得分是偶数．
本题的解答关键把小华在这次考试中的得分用未知数表示出来，据此讨论奇偶性，也可直接分析．
13．如图，甲、乙、丙三个大小相同的杯子在桌面上一次排列，其中甲杯中盛满水，乙和丙是空杯．现把水全部倒入相邻（左或右）的空杯中，那么，经过55次倒水后，有水的是 乙 杯．
奇数偶数问题．
由于乙处于中间，根据操作规则，甲杯中盛满水，乙和丙是空杯．现把水全部倒入相邻（左或右）的空杯中，第一次：
倒入乙中；
此时水在乙中，如向左则第二次倒入甲中，第三次再倒入乙中；
（第二次入向右则坐倒入丙中，第三次只能倒入乙中）如此循环，由此可以发现，当第奇数次倒入时，总是倒入乙中．55是奇数，因此，经过55次倒水，有水的是乙杯．
由于乙处在中间，
根据操作规则可知，
当第奇数次倒入时，总是倒入乙中．
55是奇数，因此，经过55次倒水，有水的是乙杯．
乙．
通过操作，发现其中的规律是完成本题的关键．
任取一块后，其余的可分成两组，重量相等，因此，其余的铁块的重量的和是偶数，换句话说，11块铁的总重量与其中任一块铁的重量，奇偶性相同．这样，11块铁的重量，或者全是奇数，或者全是偶数．然后讨论即可．
任取一块后，其余的可分成两组，重量相等，因此，其余的铁块的重量的和是偶数，换句话说，11块铁的总重量与其中任一块铁的重量，奇偶性相同．这样，11块铁的重量，或者全是奇数，或者全是偶数．
如果全是偶数，将每块铁的重量减少一半，仍然符合题中的条件．
如果全是奇数，将每块铁的重量增加1，仍然符合题中的条件．
不断采取以上两种做法．注意铁的重量增加1后，就应当除以2（即减少一半）．因此铁的总重量将不断减少．除非每块铁的重量都是1．
因为铁的总重量不能无限的地减少下去，所以经过若干次上述的做法后，铁块的重量全变为1，即全都相等．将这一过程反回去，就知道上一步铁块的重量也都相等，于是最初的铁块重量也都相等．
此题解答的关键：
11块铁的总重量与其中任一块铁的重量，奇偶性相同．这样，11块铁的重量，或者全是奇数，或者全是偶数．根据数的奇偶性，通过讨论，解决问题．
日期和时间的推算．菁优网版权所有
质量、时间、人民币单位；
设这个月的第一个星期日是a日（1≤a≤7），则这个月内星期日的日期是7k+a，k是整数，7k+a≤31．要求有三个奇数．然后分当a=1时，当a=2时，当a=3时，4≤a≤7时，进行讨论，作出解答．
设这个月的第一个星期日是a日（1≤a≤7），则这个月内星期日的日期是7k+a，k是整数，7k+a≤31．
当a=1时，要使7k+1是奇数，k为偶数，即k可取0，2，4三个值，此时，7k+a=7k+1，分别为1，15，29，这时21号是星期六．
当a=2时，要使7k+2是奇数，k为奇数，即k可取1，3两个值，7k+2不可能有三个奇数．
当a=3时，要使7k+3是奇数，k为偶数，即k可取0，2，4三个值，此时7k+a=7k+3，分别为3，17，31，这时21号是星期四．
当4≤a≤7时，7k+a不可能有三个奇数．
此题分情况进行讨论，根据数的奇偶性，解答即可．
①一只茶杯，从杯口朝下翻成杯口朝上，需要翻动奇数次．那么200
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