高考数学概率大题专项题型Word下载.docx

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方案一：

每满200元减50元：

方案二：

每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的

甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：

（注：

所有小球仅颜色有区别）

红球个数

3

2

1

实际付款

半价

7折

8折

原价

（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；

（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？

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7．为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中

学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当（即取胜对手的概率彼此相等）

（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率．

（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望Eξ．

8．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，

这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：

分），公司规定：

成绩在180分以上者到“甲部门”工作；

180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．

（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？

（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．

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9．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：

指标大于或等于82为正品，

小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]

元件A81240328

元件B71840296

（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；

（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；

生产一

件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，

（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分

布列和数学期望；

（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．

10．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取

50个作为样本，称出它们的重量（单位：

克），重量分组区间为[5，15]，（15，

25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），

（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；

（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X

的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

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11．某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业

技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多

于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为；

（1）求该小组中女生的人数；

（2）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，

每个男生通过的概率均为；

现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行

测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

12．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本

校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：

学院机械工程学海洋学院医学院经济学院

院

人数4646

（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不

属于同一学院的概率；

（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，

求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．

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13．甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5

次测试的成绩（单位：

分）如下表：

第1次第2次第3次第4次第5次

甲

58

55

76

92

88

乙

65

82

87

85

95

（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？

说明理由（不用计算）；

（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．

14．某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：

一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别

为，，；

如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两

种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．

（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及Eξ；

（2）若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α

的取值范围．

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15．袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，，

取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．

（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；

（2）求甲取到白球的概率．

16．小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）．健步走步数（千卡）16171819

消耗能量（卡路里）40044480520

（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；

（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．

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17．某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数

学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，

其中成绩分组间是：

[80，90），[90，100），[100，110），[110，120]

（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：

（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；

（2）成绩在[90，100）内至多1名学生；

（2）在成绩是[80，100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在[90，100）内的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX．

18．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：

先从这批产品中任取5件作检验，

这5件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取2件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；

如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；

如果n=5，则这批产品通过检验；

其他

情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．

（1）求这批产品通过检验的概率；

（2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为x（单位：

元），求x的分布列．

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概率大题专项题型参考答案

【解答】解：

（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．（4分）

（

2）

由

题

意

得

，

．（6分）

所以X的概率分布表为：

X

4

5

P

（8分）

所以，X的数学期望为．（10分）

（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲

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猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，

故概率

P=++=++=，

（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：

0，1，2，3，4，6，

则P（X=0）==，

P（X=1）=2×

[+]=，

P（X=2）

=++

+=，

P（X=3）=2×

=，

P（X=4）=2×

[+]=

P（X=6）==

故X的分布列如下图所示：

6

∴数学期望E（X）=0×

+1×

+2×

+3×

+4×

+6×

==

（1）从10人中选出2人的选法共有

=45种，

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事件A：

参加次数的和为4，情况有：

①1人参加1次，另1人参加3次，②2

人都参加2次；

共有+=15种，

∴事件A发生概率：

P==．

（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．

P（X=0）==

P（X=1）==，

P（X=2）==，

∴X的分布列为：

∴EX=0×

=1．

（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：

（Ⅰ）设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A，（1分）

由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是，（3分）

则．（6分）

（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，（7分）

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由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，

所以，

．（9分）

（11分）

．（13分）

（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）

=，P（B）=，P（C）=．

依题意，集成电路E需要维修有两种情形：

①3个元件都不能正常工作，概率为

P1（

）

（）（）（）

=

×

=P

=

．

②3个元件中的

2个不能正常工作，概率为

P2

A

B

+P

C

+

+×

所以，集成电路E需要维修的概率为P12

+P=

（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），而X=100ξ，

P（X=100ξ）=P（ξ=k）=?

?

，k=0，1，2．

X的分布列为：

X0100200

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∴EX=0×

+100×

+200×

=．

每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：

红球个数3210

实际付款半价7折8折原价

（Ⅰ）记顾客获得半价优惠为事件A，则P（A）==，两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率：

P=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣）2=

．（5分）

（Ⅱ）若选择方案一，则付款金额为

320﹣50=270元．

若选择方案二，记付款金额为

X元，则X可取160，224，256，320．

P（X=160）=，

P（X=224）=

P（X=256）=

P（X=320）=

=，

则E（X）=160×

+224×

+256×

+320×

=240．

∵270＞240，

∴第二种方案比较划算．（12分）

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（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，相当于乙校还有3名选手，

而甲校还剩2名选手，甲校要想取胜，需要连胜3场，或者比赛四场要胜三场，

且最后一场获胜，所以甲校获胜的概率是

（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，则ξ=3，4，5

所以ξ的分布列为

ξ

数学期望

成绩在180

分以上者到“甲部门”工作；

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（I）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为=，

根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，

所以选中的“甲部门”人选有10×

=4人，“乙部门”人选有10×

=4人，

用事件A表示“至少有一名甲部门人被选中”，则它的对立事件表示“没有一名甲

部门人被选中”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=1﹣=．

因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是；

（Ⅱ）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，

P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．

因此，X的分布列如下：

所以X的数学期望EX=0×

指标大于或等于

82为正品，

小于82为次品．现随机抽取这两种元件各

100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标

[70，76）

[76，82）

[82，88）

[88，94）

[94，100]

元件A

8

12

40

32

元件B

7

18

29

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（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损

5元；

件元件B，若是正品可盈利

50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，

（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量

X的分

（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于

140元