复变函数积分的计算方法文档格式.docx
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n
f（z）dz,lim,f（,）,z（（1.1）kk,c,,0k,1
例1.1计算积分1）;
2），其中积分路径表示连接点及点b的任dzzdza,,cc
一曲线（
C解对进行分割，并近似求和，以下符号与上述复积分的定义一致（
S,,（z,z）,b,adz,0Cf（z）,1
（1）当为闭曲线时，（因为，，nkk1,Ck,1所以
S,b,a，limnm,,max|,|,0Sk
即
（dz,b,a,c
dz,0f（z）,zCC
（2）当为闭曲线时，（，沿连续，则积分存在，zdz,,CC
3
设，则,,zkk,1
,,z（z,z），1k,1kk,1k,1
又可设，则,,zkk
,,z（z,z），2kkk,1k,1
,因为的极限存在，且应与及极限相等，所以S12n
n1112222，S,（,，,）,,z（z,z）,（b,a）nkkk,121k,1222所以
122（zdz,（b,a）,C2
说明当积分曲线C分为小段时，可以考虑用定义法计算复积分（但这种n
方法并不简便，所以不常用（
1.2化复积分计算为实曲线积分的计算方法
Df（z）C假定复变函数定义在区域上，是上可求长曲线（或逐段光滑曲D
f（z）,u（x,y），iv（x,y）线），并设存在（设，沿曲线C连续，则f（z）dz,c
f（z）dz,udx,vdy，iudy，vdx（（1.2）,,,ccc
C按曲线的参数方程特点，式（1.2）可化为下面三种具体计算公式:
1.2.1形式1
x,x（t）,y,y（t）（,,t,,,或,,t,,）当光滑曲线的参数方程为且
C（分别对应的起点和终点，则式（1.2）可化为t,,,,
,,=[（（）,（））（）（（）,（））（）]uxtytxtvxtytytdtf（z）dz,,,c,
,,+（（1.3）iuxtytytvxtytxtdt[（（）,（））（）（（）,（））（）]，,,
2C1，i例1.2求（为（），方向从指向（00,t,1x,t,y,t（x,y，ix）dz,c
2解，由式（1.3）有u,x,y,v,x
222（x,y，ix）dz=+（x,y）dx,xdyi（x,y）dy，xdx,,,cc
4
1122=[（t,x）,1,t,1]dt，i[（t,x）,1，t]dt,,00
1122=,tdt，itdt,,00
1,（1,i）=（3
1.2.2形式2
C当光滑曲线方程为，（则式（1.2）可化为y,y（x）a,x,b
b,=[（,（））（,（））（）]uxyxvxyxyxdx,f（z）dz,,ca
b,+（（1.4）iuxyxyxvxyxdx[（,（））（）（,（））]，,a
2（xy，yi）dzC例1.3求，为抛物线（y,x（0,x,1）,
112222解（xy，yi）dz,[x,x,x,2x]dx，i[x,x,2x，x]dx,,,c00
11342=,xdx，i（2x，x）dx,,00
111,,，i=（fzdzfztztdt（）（（））（）,,,c,415
1.2.3形式3
CCz,z（t）（,,t,,,或,,t,,），t,,,,当光滑曲线方程为分别对应于的
起点，终点（则式（1.4）可表示为
,（（1.5）fzdzfztztdt（）（（））（）,,,c,
i说明利用式（1.5）计算复积分，只需将看作一般常数，按定积分计算式
（1.5）右端（在方法上常常来的更简单（
1C1，i例1.4求（为连接到再到的折线（0Rezdz,c
1z,t（0,t,1）1，i解从到的直线段方程为（从到的直线段方程为01
z,1，it（0,t,1）（即（故由式（1.5）z,（1,t），（1，i）t（0,t,1）
11Rezdz,Retdt，[Re（1，it）]idt,,,c00
111tdt，idt，i==（,,002
5
i,,,argz,,z,Re（,,,,,）说明当C为圆弧，时，C可表示为，|z|,R1212则
2i,i,f（z）dz,f（Re）ied,（（1.6）,,c,1
C.5求（为单位圆上的上半圆周，方向为从到（例11,1zzdz,c
i,2z,e,0,,,,C解:
（由（故|z|,zz,1
i,,i,0i,e,e,e,,2=（zzdz,1,ied,0,,0c
1.3利用牛顿-莱布尼茨公式计算复积分
,2Df（z）z,z,DF（z）牛顿-莱布尼茨公式设在单连通域内解析（，为12f（z）的原函数（则
z1f（z）dz,F（z）,F（z）（（1.7）21,z2
，2iz例1.6计算积分cos（dz,02
，2iz,,,，2i解（cosdz,zsin,2sin（，i）,2cosi0,0222
Df（z）说明利用牛顿-莱布尼茨公式需要的条件:
（1）须是单连通的;
（2）
F（z）积分值仅与起点、终点有关，与具体的路径无关;
（3）式（1.7）适合于原函数是初等函数（
1.4利用柯西积分定理及其推论计算积分
C假定复积分路径恒为可求长（或逐段光滑）的简单闭曲线，方向为正方向（1.4.1单连通区域上的柯西积分定理
,6DDf（z）C柯西积分定理设在单连通区域内解析，为任一条周线，则
（（1.8）f（z）dz,0,C
dz|z|,1例1.7计算，为单位圆周（C2,Cz，2z，2
1f（z）,|z|,1解是的解析区域内的一条闭曲线，由柯西积分定2z，2z，2
理有
dz（,02,Cz，2z，2
6
说明此题可用化复积分计算为实曲线积分的计算方法，但计算要复杂的多，而用柯西积分定理很简单（
f（z）CC柯西积分定理的等价形式设是一条周线，为之内部，在闭域D,D，C上解析，则
（（1.9）f（z）dz,0,C
coszdzC例1.8求，其中为圆周|z，3i|,1（,cz，i
coszCC解圆周为|z,（,3z）|,1，被积函数的奇点为，在的外部，于是,iz，iC以为边界的闭圆|z，3i|,1上解析，故由柯西积分定理的等价形式得
coszdz,0（,cz，i
1.4.2多连通区域上的柯西积分定理
DD为多连通区域，有如下定理设是由复周线如果C,C，C，C，...C012n
Df（z）D,D，C所构成的连通区域，在内解析，在上连续，则
（f（z）dz,0,C
dz例1.9计算积分（1,z,z（3z，1）6
113解函数在积分路径的内部上共有两个奇点Fz（）,,,Czzzz（31）31，，
111和（在内分别作以与以为心，充分小半径的圆z,,z,0z,,z,0r,C336
1,:
|z|,r周及,:
|z,（,）|,r，将二奇点挖去，新边界构成复周线123
C，,，,（|z|,1）（12
dzdzdzdz,，=,,,,,,z,1,，,1212z（3z，1）z（3z，1）（3z，1）z（3z，1）
dz3dzdz3dz,,，,,,,,,,,,1122z3z，1z3z，1
dzdzdzdz,d,，,=0（,,,,,,,,111122zzz,（,）z,（,）33
7
说明在积分与路径无关的条件下也可直接按实积分中的牛顿-莱布尼茨公
式计算（
1.5利用柯西积分公式计算复积分
DDCf（z）柯西积分公式设区域的边界是周线或复周线，函数在内解析，
1f（）D,D，C在上连续，则有f（z）,d,（z,D），即,C2i（,z）,,
f（）（（1.10）d,,2,if（z）,C（,z）,
22,，1zz例1.10计算积分dz的值，其中（C:
|z|,2,C,1z
2zzz,,,1:
||2,,|z|,2解因为在上解析，（由柯西积分f（z）,2z,z，1
公式得
22z,z，12dz,2,i（2z,z，1）（,z,|2z,1
1dzC例1.11计算的值，为包含圆周|z,i|,2的任何正向简单闭23,C（,）zzi
曲线（
11C|z|,解在内部有两个奇点，，，取C为，C为z,0z,i1212233z（z,i）
1由复围线柯西积分定理|z,i|,3
111，dzdzdz=（232323,,,CCC12（,）（,1）（,1）zzizzzz又有
1
21z,dzdz233,,CC1（,）（,）zzizi
1,,2,i[],,6,i（z,03（z,i）
8
21z,dzdz233,,CC2（,）（,）zzizi
2i1,,（,（）,6,iz,022!
z故
1dz=0（23,C（,）zzi1.6利用解析函数的高阶导数公式计算复积分
,4DDf（z）DC高阶导数公式设在内解析，在上连续，为的边界，，z,D0
有
f（z）2i,（）n（1.11）dz,f（z）,n,1,2,？
0，1n,（z,z）n!
zcos,z,0C例1.13求，为包含圆周|z|,1的任何正向简单闭曲线，，dz13,Cz
11zi,|z|,|z,i|,（取为，为（CC21233
解在内部，由式（1.11）f（z）,cos,z,z,0C0
zcos,2i,,dz（cos,z）,z,03,C2!
z
23=（,i（,,cos,z）,,,iz,0
1dz1.7利用的结果计算复积分n,C（,）zz0
2i,n,1,,,1zC,
（1）当属于内部时，（1.12）,0n,C0,n,1.（z,z）,0
1zCdz,0
（2）当属于外部时，（（1.13）0n,C（z,z）0
2,，5,51zzC|z,1|,例1.14求，为（dz2,C2（,2）（,1）zz
9
2,，,zz5511,,解，在C内部，不在内部，由式（1.13）1222
（1）
（1）
（2）1zzzz,,,,
2,，5,511zz,dz,dz,0,2,i,,2,i（dz22,,,CCC（z,1）z,1（,2）（,1）zz
1.8利用留数定理计算复积分
,6Da,a,？
af（z）C留数定理在复周线或周线所围的区域内，除外解12n
D,D，C析，在闭域上除外连续，则aa？
a1,2,n
（（1.14）f（z）dz,2,i,Resf（z）,C1k,z,ak
（z）,f（z）,（z）,（a）,0设为的阶极点，f（z）,，其中在点解析，，anan（z,a）
（n,1）（a）,（0）（n,1）（n,1）Resf（z）,,（a）则（这里符号代表，且有（,（a）,（a）,lim,（z）z,az,a（n,1）!
52z,dz例1.15计算积分（2,z,||2zz
（1）,
5z,2解被积函数f（z）,在圆周的内部只有一阶极点及二|z|,2z,02z（z,1）
阶级点（z,1
z5,2sfzRe（）,,,2，z,02z,0z（,1）
z5,22,sfzRe（）,（）,,2z,1z,12z,1zz
因此，由留数定理可得
5z,2dz,2,i（,2，2）,0（2,|z|,2z（z,1）
zcos例1.16计算积分（dz3,|z|,1z
coszf（z）,解只以为三阶极点，z,03z
11，,,sfzz,,,Re（）（cos）z,0z,02!
2
10
故由留数定理得
cosz1（dz,2,i（,）,,,i3,|z|,1z2
说明
（1）柯西积分定理、柯西积分公式和解析函数的高阶导数公式都是留数定理的特殊情况;
（2）凡是能用柯西积分定理、柯西积分公式和解析函数的高阶导数公式计算的复积分都能用留数定理来计算（
2（运用级数法计算复积分
，,,,8CC逐项积分定理设在曲线上连续（n,1,2,3,,,），在上f（z）f（z）n,nn1,
f（z）f（z）CC一致收敛于，则在曲线上连续，并且沿可逐项积分:
，,
f（z）dz,f（z）dz（（2.1）,n,,cc1n,
将函数展开成泰勒级数或洛朗级数就解决了该类复积分的有关问题（
1n（）zdzC:
|z|,例2.1计算积分，（,,C21n,,
111n|z|,z,，解在内，，则,2z1,zn1,,
11n（z）dz,（，）dz,2,i，0,2,i（,,,CCz1,z1n,,
3（利用洛朗展式计算复积分
zzsin,Idz例3.1计算积分（z3,,||1z,
（1）e
fz（）解若在圆环HrzaRrR:
||（0,）,,,,,，,内可展成洛朗展式
，,nfzCza（）（）,,，,nn,,,
则
1（）f,,Cd，,,,,,:
||（）,,,ark，,n，1n,,2（）ia,,
11
从而
（fdiC（）2,,,,,1,,
令
zzsinfz（）,，z3
（1）,e
在内的洛朗展式为则fz（）Hz:
0||,,，,
2435zzzz2z
（1）,，,zz（）,，，3!
5!
3!
fz（）,2z33z3,，，z
（1）,，，（）z2!
2!
24zz1,，,113!
,,,,，
（1）zz3z
（1），，2!
1（,,，z
故
IiCi,,,22,,（,1
4（运用拉普拉斯变换法计算复积分
,8拉普拉斯变换法设是定义在[0,，,]上的实值函数或复值函数，如果f（t）
，,,pt含复变量在p的某个区域内存在，则由P,,，is（,,s为实数）的积分f（t）edt,0
，,,ptF（p）,f（t）edt此积分定义的复函数成为函数的拉普拉斯变换（简称拉f（t）,0
氏变换），简记为
F（p）,L[f（t）]（
计算该类复积分时，可运用拉普拉斯变换的基本运算法则，将该类复积分化
F（p）为的形式，再参照拉普拉斯变换表，得出相应的复积分结果（
11,pzcos例4.1计算积分（edz,02az,az
11f（az）cos解令，则,2aza,z
12
11,pz，L[f（az）],cosedz,02az,az
由于
1pL[f（az）],F（），aa
由拉普拉斯变换表得
p,pp1a,Fe（）cosaap，
a
所以
p,,1111pp,pza,,cos（）cosedzFe,02azaaa,azp（aa
5（利用对数留数与辐角原理计算复积分
fz1（）f（z）f（z）Cdz如果在简单曲线上解析且不为零，则积分称为关,C,ifz2（）
C于曲线的对数留数（由它推出的辐角原理提供了计算解析函数零点个数的一个有效方法（特别是，可以借此讨论在一个指定区域内多项式零点的个数问题（5.1利用对数留数定理计算复积分
f（z）CC如果在简单曲线上解析且不为零，在的内部除去有限个极点外也处处解析，则
1（）fzdz,N,P（（4.1）,C2,（）ifz
f（z）f（z）PCCNC其中为在内零点的总个数，为在内极点的总个数，且取正
9,,向（在计算零点与极点的个数时，级的零点或极点算作个零点或极点（mm
5.2利用辐角原理计算复积分
f（z）CCC辐角原理如果在简单闭曲线上与内解析，且在上不等于零，
1f（z）f（z）zCC则在内零点的个数等于乘以当沿的正向绕行一周时辐角的2,
改变量，即
13
1（（4.2）Nargfz,,，（）c,2
结合对数留数定理与辐角原理，通过例题来说明该方法在复积分计算中是如何使得计算变得简单的（
9z例5.1计算积分（10,|z|,4z,1
f（z）解在|z|,4的内部解析，有10个零点，没有极点，即（由N,10,P,0
1（）fzdz,N,P，有,C2,（）ifz
9910,1101（,1）zzz,,dzdzdz101010,,,|z|,4|z|,4|z|,4,110,110,1zzz
1（,，2,i（10,0）,2,i10
2,sinz（z,1）1（）fzdzf（z）,例5.2计算积分，其中（,2z5|z|,52,（）ifzz（1,e）
在|z|,5上解析且不等于零（又f（z）在|z|,5的内部解析，零点个数
，极点个数（N,1，2,3P,5，2,7
由对数留数定理有
1（）fzdz=（N,P,3,7,,4,|z|,52,（）ifz
此题无法用柯西积分公式，但可以用留数定理和对数留数定理来解，而两者相比，显然前者繁琐，后者简捷，故用对数留数定理来解（
小结
本文共介绍了四大类计算复积分的方法，各种方法各有利弊，在做题的过程中分析好积分路径与被积函数的特点，可更快地解决问题（
将积分曲线分为小段时，可以直接计算复积分（不常用）;
当被积函数在简单光滑曲线上连续时，计算积分时常用参数方程法，参数方程法是计算复积分的基本方法;
如果被积函数在包含积分曲线的某一单连通域内处处解析，则可用牛顿-莱布尼茨公式进行计算;
涉及到围线积分，想到利用Cauchy积分定理、Cauchy积分公式、留数定理，其中留数定理应用最广;
高阶导数公式也可以计算某种特
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定形式的复积分（在以上各种方法中，用高阶导数公式计算积分时，如果被积函数的阶数过高，会太过繁琐，这时运用留数定理及其计算规则来计算复积分，就简便的多，在此不再赘述（
级数法、拉普拉斯变换法及运用对数留数与辐角原理进行复积分计算，是对复积分常用计算方法的补充，具有一定的技巧性，文中以例题说明了其具体运用的巧妙之处，灵活运用这些计算技巧，可以使复杂的积分过程得以简化（
总之，在解有关复变函数积分的问题时，对方法的选择要因题而异（首先从积分路径和被积函数入手，确定积分路径是封闭曲线还是不封闭曲线，然后再对
D被积函数在已给区域内的解析性加以分析判断后，再决定采取什么方式方法来解决你所面对的积分问题（按照这样一个基本步骤来寻找
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