完整版2质点运动定律习题思考题Word文件下载.docx
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⑵求路程x随时间t的变化规律；
kx
（3）证明速度v与路程x之间的关系为vV°
e，其中k
k/m。
解：
（1）由牛顿运动定律Fma得:
kv2
m竺，分离变量有—dt
dt
两边积分得：
速率随时间变化的规律为
'
（2）由位移和速度的积分关系:
dt，
积分有:
t1
x
01kx
t
V0m
kln（丄
mV0
-t）
k1
kln丄•••路程随时间变化的规律为:
V0
x上ln（1—V0t）；
mm
（3）由kv2
dvdxm
dxdt
kdxm
dx
Vdv
V0V
积分有：
vv0e
kx
2-3•质量为m的子弹以速度V。
水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例
（2）子弹进入沙土的最
系数为k，忽略子弹的重力，求：
（1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式;
大深度。
（1）由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为:
fmdv，则kv
k
dt,两边同时积分,
又由牛顿第二定律可得:
dv
m—
kv
分离变量，可得：
vv°
em
有:
0dv
所以：
（2）子弹进入沙土的最大深度也就是v0的时候子弹的位移,
考虑到dv
dvdx
dxdt
不，可推出：
则:
max
0m,m
vomdvmv°
。
^dt，m
-dv，而这个式子两边积分就可以得到位移：
2-4•—条质量分布均匀的绳子，质量为M、长度为L,一端拴在竖直转轴00'
.
上，并以恒定角速度在水平面上旋转.设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且'
忽略重力，求距转轴为r处绳中的张力T（r）.['
:
在绳子L上距离转轴为r处取一小段微元绳子，假设其质量为dm,可知：
|
MV/Z/Z
dmdr，因为它做的是圆周运动，所以微元绳的所受合力提供向心力：
dT（r）2rdm2r。
L
距转轴为r处绳中的张力T（r）将提供的是r以外的绳子转动的向心力，所以两边积分：
lM222
T（r）dT（r）M—（L2r2）。
r2L
2-5.已知一质量为m的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比，即fk/x2,k是比例常数.设质点在xA时的速度为零，求质点在xA/4
处的速度的大小。
0时，它的初
vv2v
2-6.一质量为2kg的质点，在xy平面上运动，受到外力F4i24tj（SI）的作用，t
vvv
速度为v。
3i4j（SI），求t1s时质点的速度及受到的法向力Fn。
由于是在平面运动，所以考虑矢量。
vv
vdvv2vdv
由：
Fm「，有：
4i24t2j2匚，两边积分有:
dtdt
vv11v2vvvv3v
dv—（4i24t2j）dt，二vv。
2ti4t3j,
v°
02
vvvvv
考虑到v。
3i4j,t1s，有v5i
由于在自然坐标系中，vv首，而v-i5v（t1s时），表明在t1s时，切向速度方向就是i方向，所
vvv2vvvvvv
以，此时法向的力是j方向的，则利用F4i24t2j，将t1s代入有F4i24j4首24en,•••Fn24N。
2-7•如图，用质量为的板车运载一质量为m2的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为，车与路面间的
滚动摩擦可不计，计算拉车的力F为多少才能保证木箱不致滑动？
解法一：
根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，且上限车板与箱底间为
最大摩擦。
Fffmax
即：
a
叶m2m2
可得：
F（gm2）g
解法二：
设木箱不致于滑动的最大拉力为
Fmaxm2gga
m2g|m2a
联立得：
Fmax（m1m2）g,
有：
Fgm2）g。
2-8•如图所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，
两者间摩擦系数为（tg）。
为使木块相对斜面静止，求斜面加速
度a的范围。
在斜面具有不同的加速度的时候，木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，
由题意，可得：
可计算得到：
此时的a2
tan
1tan
g,所以:
tan
考虑物体m放在与斜面固连的非惯性系中，将物体m受力沿x'
和y'
方向分解，如图示，同时考虑非惯性力，隔离物块和斜面体，列出木块平衡式：
x'
方向：
mgsinmacosf0
y'
Nmgcosmasin0
考虑到fN，有：
mgsinmacos（mgcosmasin
Nsin
mgN
cos
Ncos
ma2
分离变量，有：
vdv
则两边积分,
得:
1gl
22
（221）gl
（2）
J_妲来看，棒可以全部浸入液体的条件为
即:
寸，假若有条件
1，则棒不能全部浸入液体;
1v
亍，设棒进入液体的最大深度为h，由积分°
vdv
h2gl
可得:
】v2gh，考虑到棒在最大深度时速度为零，有:
2221
22丨
1
（3）由牛顿运动定律GFn
ma知，当GFn时，a0，速度最大（设为vm）
2glS
1gxS，即
Xn
由积分vdv
—2gl
2l
虫dx，有:
21
o
1g2l2”），
2-10.圆柱形容器内装有一定量的液体，若它们一起绕圆柱轴以角速度的形状如何？
取容器内稳定旋转液面某处一小块液体微元
面，受力分析如图示。
列式：
Nsin
—,又由导数几何意义，
g
①/②有:
匀速转动，试问稳定旋转时液面
dz
—dy，积分有：
z
0时zz0所以
yc
2g
Cz0
z—y2z0，表明yoz剖面上，形成液面的抛物线;
2g
①,
m受重力mg和支持力N的作用，考虑yoz剖
同理，在xoz剖面上，可得：
zx2z0，稳定旋转时液面是一个抛物面，综上，在立体的三维坐
标xyz上，抛物面的方程为：
z（x2y2）z0。
2-11•质量为m2的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动,劈形物质量为m1，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。
利用隔离体方法，设方形物m2相对于劈形物叶沿斜面下滑的加速度为a2'
，劈形物m1水平向左的加速度为a1，分析受力有：
方形物m2受力：
m2孑，N1,m2aV1（惯性力）;
劈形物m1受力：
m^,N1,N2，如图；
对于m2，有沿斜面平行和垂直的方程为：
.m2a1cosm2gsinmba2'
①
N1m2a1sinm2gcos②
对于叶，有：
N1sin叶印③
将③代入有②：
mb®
sinm2gcos,
sin
m2sincos
・2
mm2sin
g，代入①，有:
a2
（m1m2）sin
~2g
m1m2sin
再将a2'
在水平和竖直两方向上分解，有:
a2x
a2y
（m,m2）sincos
.2g
mm2sin
（mhm2）sin2
~ga2y
…a2xaa2x
msincos
m1
m2sin2
而相互作用力：
N1
m1a1
m1m2cos
:
~2
2-12•一小环套在光滑细杆上，细杆以倾角杆端点O的距离r。
根据题意，当小环能平衡时，其运动为绕
Z轴的圆周运动，所以可列式：
绕竖直轴作匀角速度转动，角速度为
，求：
小环平衡时距
所以，可得:
mg
rsin
tansin
Z
O
2-13.设质量为m的带电微粒受到沿x方向的电力F（bcx）V假定t0时，v00,沧0。
其中b,c为与时间无关的常数，
Vo
，计算粒子在任
m,F,x,
-时刻t的速度和位置，t的单位分别为kg,N,
根据题意和牛顿第二定律，可列式:
V
F（b
Vcx）i
d2x
m—2,
dt2
整理可得二阶微分方程:
F面分c为正负做讨论:
c
—xm
（1）当c0时，令
c，方程为:
.2/b.d（x2）
可以写成：
m
2（x
【考虑到高等数学中，对于
d2y
dx2
其通解为:
Acos（x）]
Acos（
），即:
再对上式求一次导,
得到:
Asin（
由初始条件:
0时，v0
0，X0
•••有x
bcos
b.
vsin
（2）当
0时，令
可以写成:
d2（x
七）mdt2
y0,其通解为：
y
C,ex
C?
ex】
）
C1et
C2e
t,1
得到：
dx
由初始条件：
0时，
Vo0
X。
•••有x-
—
（et
et）,
C2
C1etC2et
0,可知:
C1
A（ete
2c
t）;
2-14•在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为R,一小球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为，在t0
时，球的速率为v0，求任一时刻球的速率和运动路程。
Nm，而：
R
VoR
利用自然坐标系，法向:
切向:
v1.
2dv
vov2
Svdt
dvnt
m—，则:
dt,
oR
VoRo
dvdt
RVot
RVo应
-ln（1苛
Vot
2-15设飞机降落时的着地速度大小
Vo，方向与地面平行，飞机与地面间的摩擦系数
，如果飞机受到
的迎面空气阻力与速率平方成正比为
KxV2,升力为KyV2（Kx和Ky均为常量），已知飞机的升阻比为
C，求从着地到停止这段时间所滑行的距离（设飞机刚着地时对地面无压力）
Kx
（1）由牛顿运动定律F
ma，考虑到飞机刚着地时对地面无压力，有:
KxV：
mg
则（KxV：
Kxv2）
KyV2
Kxldv，又...dv
dv
Vdx，
1dv2
•有：
2gdx
（1
W）
V2，即:
vo
dv2
（C）v2
2g（C
v2
C
V2
•••路程为：
In
）lnC。
思考题
2-1.质量为m的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并保持平衡，如图所示•设木板和墙壁之间的夹角为，当逐渐增大时，小球对木板的压力将怎样变化？
以小球为研究对象，设墙壁对小球的压力为Ni,
方向水平向右，木板对小球的压力为N2,方向垂直于木板，小球受重力为mg,建立平衡方程：
N2sinmg,N|N2cos
所以当增大，小球对木板的压力N2将减小；
小球对墙壁的压力N1也减小。
2-2.质量分别为mi和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦
系数均为仏系统在水平拉力F作用下匀速运动，如图所示.如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的
加速度aA和aB分别为多少？
由于系统在拉力F作用下做匀速运动，对A进行受力分析，知：
Fkxm1g，对B进行受力分析，知：
kxm2g
突然撤消拉力时，对A有：
miaAkxgg，所以aA
m1m2
对B有：
m2aBkxm2g，所以aB0。
2-3.如图所示，用一斜向上的力F（与水平成30°
角），将一重为G的木块压靠在竖
直壁面上，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明木块与壁面间的
静摩擦系数的大小为多少？
假设墙壁对木块的压力为N，由受力分析图可知：
/Fsin30°
GN
NFcos30°
整理上式，并且根据题意，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明：
iFG
3F即:
^F
F（此式中F无论为多大，总成立）
，则可得:
2-4.
质量分别为m和M的滑块A和B，叠放在光滑水平桌面上,
如图所示.A、B间静摩擦系数为
滑动摩擦系数为k，系统原处于静止.今有一水平力作用于A上，要使A、B不发生相对滑动，则F应
取什么范围？
IFmaxsmgm
IsmgMa
解得:
二F
Fmax
smg，
smg
度，所以列式:
2-5.如图，物体A、B质量相同，B在光滑水平桌面上.滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计.系统无初速地释放，则物体A下落的加速度是多少？
分别对A，B进行受力分析，可知：
mAgTm^A
2TmBaB
aBaA
则可计算得到：
aA4g
5
2-6.如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从
法不对;
速率的增加由重力沿切线方向的分力提供，由于切线方向始终在改变，所以速率增加不均匀，B的说
法不对；
夕卜力有重力和支持力，后者的大小和方向都在变化，所以合力的大小方向也在变化。
C，D的说法都不对。
2下滑过程中的B和v都在增大，所以N也在增大，Nmgsinm^
则E的说法正确。
2-7•—小珠可在半径为R的竖直圆环上无摩擦地滑动，且圆环能以其竖直直径为轴转动•当圆环以一适
当的恒定角速度转动，小珠偏离圆环转轴而且相对圆环静止时，小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为多大？
根据题意，当小珠能相对于圆环平衡时，
其运动为绕Z轴的圆周运动，假设小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为0,可列式：
Ncosmg
Nsinm2Rsin
所以，可得：
cos—g,arccos—
2r2r
•为使一物体（视为
2-8•几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一竖直面上（如图所示）质点）从斜面上端由静止滑到下端的时间最短，则斜面的倾角应选
（A）60°
（B）45°
（C）30°
（D）15°
根据题意,
假设底边长为s,斜面的倾角为0
可列式：
1.
丄2
s
gsin
2
4s
gsin2
•••当0=45°
时，时间最短。
2-9.如图所示，小球A用轻弹簧0,A与轻绳O2A系住；
小球B用轻绳O1B与02B系住，今剪断02A绳和O?
B绳，在刚剪断的瞬间，A、B球的加速度量值和方向是否相同？
不同。
对于a图，在剪断绳子的瞬间，和弹簧的拉力提供的合力T,
”FsinTma
Fcosmg
所以加速度大小为：
对于b图，在剪断绳子的瞬间，
弹簧的伸长没有变化，所以弹簧的拉力所以：
F不变，A的加速度应该是由重力
gtan，方向为水平方向。
绳子拉力F变化，它将提供物体做圆周
运动，其加速度应该有切向加速度和法向加速度。
所以:
切向：
mgsinmat，法向：
Fmgcosman，
an
虑到此时v0,有：
an0，所以此时加速度大小为:
R，考
atgsin
0/
，方向为与绳垂直的切线方向。
2-10.两质量均为m的小球穿在一光滑圆环上，并由一轻绳相连，
放，试问释放瞬间绳上张力为多少？
在释放瞬间上面的小球作水平运动，下面小球作竖直运动，两者加速度大小相等，方向互相垂直。
环竖直固定放置，在图中位置由静止释
上面小球：
Tsin45°
ma下面小球：
mgTsin45°
ma两式联立消去a，
Tmg
2sin45°
2mg
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