中考备战数学专题复习精品资料第十六讲《三角形与全等三角形》含详细参考答案和教师用书Word下载.docx

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注意区分三角形的角平分线与角平分线的区别，前者是线段，后者是射线。

知识点四、全等三角形的概念和性质

1．的两个三角形叫做全等三角形

2．全等三角形的性质：

全等三角形的、分别相等，全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）、周长、面积分别对应。

全等三角形的性质是证明线段、角等之间数量关系的最主要依据。

知识点五、全等三角形的判定

1．一般三角形的全等判定方法：

（1）边边边，简记为；

（2）边角边，简记为；

（3）角边角，简记为；

（4）角角边：

简记为。

2．直角三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的所有方法以外，还可以用来判定。

（2）

（3）

。

★★★中考典例剖析★★★

考点一：

三角形三边关系

例1（2018•陇南）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a-7|+（b-1）2=0，c为奇数，则c=．

【思路分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．

【解答】解：

∵a，b满足|a-7|+（b-1）2=0，

∴a-7=0，b-1=0，

解得a=7，b=1，

∵7-1=6，7+1=8，

∴6＜c＜8，

又∵c为奇数，

∴c=7，

故答案是：

7．

【点评】本题考查非负数的性质：

偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．

●●●触雷警示●●●

忽略三角形三边关系的条件

三条线段能够组成三角形，必须满足：

任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，在解答此类问题时，容易忽略三边是否满足组成三角形的条件。

【跟踪训练】

1．（2018•福建）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（　　）

A．1，1，2B．1，2，4

C．2，3，4D．2，3，5

2．若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足

，第三边c为奇数，则c=．

考点二：

三角形内角和及其推论

例2（2018•巴中）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°

，则∠A=．

【思路分析】先根据角平分线的定义得到∠OBC=

∠ABC，∠OCB=

∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°

，则∠BOC=180°

-

（∠ABC+∠ACB），由于∠ABC+∠ACB=180°

-∠A，所以∠BOC=90°

+

∠A，然后把∠BOC=110°

代入计算可得到∠A的度数．

∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，

∴∠OBC=

∠ACB，

而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°

，

∴∠BOC=180°

-（∠OBC+∠OCB）=180°

（∠ABC+∠ACB），

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°

∴∠ABC+∠ACB=180°

-∠A，

（180°

-∠A）=90°

∠A，

而∠BOC=110°

∴90°

∠A=110°

∴∠A=40°

．

故答案为40°

【点评】本题考查了三角形内角和定理：

三角形内角和是180°

♥♥♥思维升华♥♥♥

三角形内角和定理及推论主要解决以下几种问题：

（1）已知两个内角求第三个内角，根据三个角的大小判定三角形的形状；

（2）三角形的一个外角与其不相邻的两个内角中已知二者求第三者；

（3）比较不同三角形中角的大小。

3．（2018•长春）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°

，∠B=48°

，则∠CDE的大小为（　　）

A．44°

B．40°

C．39°

D．38°

4．（2018•青海）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90°

，∠C=90°

，∠A=45°

，∠D=30°

，则∠1+∠2等于（　　）

A．150°

B．180°

C．210°

D．270°

考点三：

三角形外角的性质

例3（2018•聊城）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'

处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'

=γ，那么下列式子中正确的是（　　）

A．γ=2α+βB．γ=α+2β

C．γ=α+βD．γ=180°

-α-β

【思路分析】根据三角形的外角得：

∠BDA'

=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'

+∠CEA'

，代入已知可得结论．

如图，

由折叠得：

∠A=∠A'

∵∠BDA'

∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'

=γ，

∴∠BDA'

=γ=α+α+β=2α+β，

故选：

A．

【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．

6．（2018•通辽）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．

（1）求证：

△AEF≌△DEB；

（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

考点五：

全等三角形开放性问题

例5（2018•金华）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是．

【思路分析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°

，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．

添加AC=BC，

∵△ABC的两条高AD，BE，

∴∠ADC=∠BEC=90°

∴∠DAC+∠C=90°

，∠EBC+∠C=90°

∴∠EBC=∠DAC，

在△ADC和△BEC中，

，

∴△ADC≌△BEC（AAS），

故答案为：

AC=BC．

【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

跟踪训练

7．（2018•甘孜州）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）

☀☀☀感悟中考☀☀☀

分析课程标准和近五年的中考试题，可以发现中考命题主要集中在：

三角形的内角和及其推论、全等三角形的判定与性质，但都不会单独命题，都是与其他知识综合考查，通过近五年考题的规律，可以预测2019年中考试题中，可能会以综合题的形式考查三角形的性质及全等三角形的判定与性质。

★★★真题达标演练★★★

一、选择题

1．（2018•河北）下列图形具有稳定性的是（　　）

B．

C．

D．

2．（2018•柳州）如图，图中直角三角形共有（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

3．（2018•贵阳）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（　　）

A．线段DEB．线段BE

C．线段EFD．线段FG

4．（2018•广西）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°

，∠B=40°

，则∠ECD等于（　　）

A．40°

B．45°

C．50°

D．55°

5．（2018•宿迁）如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°

，∠C=24°

，则∠D的度数是（　　）

A．24°

B．59°

6．（2018•德阳）如图，直线a∥b，c，d是截线且交于点A，若∠1=60°

，∠2=100°

，则∠A=（　　）

B．50°

C．60°

D．70°

7．（2018•成都）如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　）

A．∠A=∠DB．∠ACB=∠DBC

C．AC=DBD．AB=DC

8．（2018•黑龙江）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°

，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．15B．12.5

C．14.5D．17

9．（2018•黄石）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°

，∠ABC=60°

，则∠EAD+∠ACD=（　　）

A．75°

B．80°

C．85°

D．90°

10．（2018•南京）如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（　　）

A．a+cB．b+c

C．a-b+cD．a+b-c

【分析】只要证明△ABF≌△CDE，可得AF=CE=a，BF=DE=b，推出AD=AF+DF=a+（b-c）=a+b-c。

11．（2018•临沂）如图，∠ACB=90°

，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（　　）

B．2C．2

D．

12．（2018•东营）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°

，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：

①BD=CE；

②∠ABD+∠ECB=45°

；

③BD⊥CE；

④BE2=2（AD2+AB2）-CD2．其中正确的是（　　）

A．①②③④B．②④

C．①②③D．①③④

二、填空题

13．（2018•滨州）在△ABC中，若∠A=30°

，∠B=50°

，则∠C=．

14．（2018•永州）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC=．

15．（2018•牡丹江）如图，AC=BC，请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD=BE．你所添加的条件是．

16．（2018•衢州）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．

17．（2018•绍兴）等腰三角形ABC中，顶角A为40°

，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBC的度数为．

18．（2018•深圳）如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是．

三、解答题

19．（2018•泸州）如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：

∠F=∠C．

20．（2018•宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，∠A=40°

，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．

（1）求∠CBE的度数；

（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

21．（2018•衡阳）如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．

△ABE≌△DCE；

（2）当AB=5时，求CD的长．

22．（2018•聊城）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．

AE=BF．

（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长．

23．（2018•滨州）已知，在△ABC中，∠A=90°

，AB=AC，点D为BC的中点．

（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：

BE=AF；

（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？

请利用图②说明理由．

♦♦♦详细参考答案♦♦♦

由不在同一直线上的三条线段首尾相接组成的图形叫三角形。

三角形有三条边，三个顶点，三个内角，三角形具有稳定性。

（1）三角形任意两边之和大于第三边；

（2）任意两边之差小于第三边。

（1）三角形的内角和是180°

，直角三角形两个内角互余；

（2）三角形的外角和等于360°

；

（3）三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角。

三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点，这点是三角形的内心，它到三角形三边的距离相等。

在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线；

（2）一个三角形有三条中线，都在三角形的内部，且交于一点；

（1）从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的垂线段叫做三角形的高；

（2）不同三角形的三条高线位置不同，锐角三角形三条高都在三角形内部，直角三角形有一条高线在内部，另两条和两直角边重合；

钝角三角形有一条高线在三角形内部，两条在三角形外部。

连接三角形任意两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

1．大小和形状都相等的两个三角形叫做全等三角形

全等三角形的对应边、对应角分别相等，全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）、周长、面积分别对应相等。

（1）边边边，简记为SSS；

（2）边角边，简记为SAS；

（3）角边角，简记为ASA；

简记为AAS。

2．直角三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的所有方法以外，还可以用HL来判定。

1．C

解：

A、1+1=2，不满足三边关系，故错误；

B、1+2＜4，不满足三边关系，故错误；

C、2+3＞4，满足三边关系，故正确；

D、2+3=5，不满足三边关系，故错误．

2．9

∵a、b满足

∴a=9，b=2，

∵a、b、c为三角形的三边，

∴7＜c＜11，

∵第三边c为奇数，

∴c=9，

故答案为9．

3．C

∵∠A=54°

∴∠ACB=180°

-54°

-48°

=78°

∵CD平分∠ACB交AB于点D，

∴∠DCB=

×

78°

=39°

∵DE∥BC，

∴∠CDE=∠DCB=39°

4．C

如图：

∵∠1=∠D+∠DOA，∠2=∠E+∠EPB，

∵∠DOA=∠COP，∠EPB=∠CPO，

∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠COP+∠CPO=∠D+∠E+180°

-∠C=30°

+90°

+180°

-90°

=210°

5．C

∵∠ACD=90°

、∠F=45°

∴∠CGF=∠DGB=45°

则∠α=∠D+∠DGB=30°

+45°

=75°

考点四：

三角形全等的判定和性质

6．证明：

（1）∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，

∴△AEF≌△DEB（AAS）；

（2）如图，连接DF，

∵AF∥CD，AF=CD，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵△AEF≌△DEB，

∴BE=FE，

∵AE=DE，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴DF=AB，

∵AB=AC，

∴DF=AC，

∴四边形ADCF是矩形．

7．∠ABD=∠CBD或AD=CD

答案不唯一．

①∠ABD=∠CBD．

在△ABD和△CBD中，

∵

∴△ABD≌△CBD（SAS）；

②AD=CD．

∴△ABD≌△CBD（SSS）．

∠ABD=∠CBD或AD=CD．

1．A

三角形具有稳定性．

2．C

图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个，

3．B

根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，

B．

∵∠A=60°

∴∠ACD=∠A+∠B=100°

∵CE平分∠ACD，

∴∠ECD=

∠ACD=50°

5．B

∵∠A=35°

∴∠DBC=∠A+∠C=59°

∴∠D=∠DBC=59°

6．A

解法一：

∵∠2是△ABC的外角，

∴∠A=∠2-∠1=100°

-60°

=40°

解法二：

∵a∥b，

∴∠1=∠3=60°

，∠2=∠4=100°

∴∠5=180°

-∠4=80°

∴∠A=180°

-∠3-∠5=180°

-80°

7．C

A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；

B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；

C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；

D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；

8．B

如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，

∵∠DAB=∠DCB=90°

∴∠D+∠ABC=180°

=∠ABE+∠ABC，

∴∠D=∠ABE，

又∵∠DAB=∠CAE=90°

∴∠CAD=∠EAB，

又∵AD=AB，

∴△ACD≌△AEB，

∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，

∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，

∵S△ACE=

5×

5=12.5，

∴四边形ABCD的面积为12.5，

9．A

∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°

∴∠BAD=30°

∵∠BAC=50°

，AE平分∠BAC，

∴∠BAE=25°

∴∠DAE=30°

-25°

=5°

∵△ABC中，∠C=180°

-∠ABC-∠BAC=70°

∴∠EAD+∠ACD=5°

+70°

10．D

∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，

∴∠AFB=∠CED=90°

，∠A+∠D=90°

，∠C+∠D=90°

∴∠A=∠C，∵AB=CD，

∴△ABF≌△CDE，

∴AF=CE=a，BF=DE=b，

∵EF=c，

∴AD=AF+DF=a+（b-c）=a+b-c，

D．

11．B

∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠E=∠ADC=90°

∴∠EBC+∠BCE=90°

∵∠BCE+∠ACD=90°

∴∠EBC=∠DCA．

在△CEB和△ADC中，

∴△CEB≌△ADC（AAS），

∴BE=DC=1，CE=AD=3．

∴DE=EC-CD=3-1=2，

12．A

∵∠DAE=∠BAC=90°

∴∠DAB=∠EAC，

∵AD=AE，AB=AC，

∴△DAB≌△EAC，

∴BD=CE，∠ABD=∠ECA，故①正确，

∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°

，故②正确，

∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°

=