傅里叶变换及应用Word格式.docx
《傅里叶变换及应用Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《傅里叶变换及应用Word格式.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
定理设齐（”是以HOCvs）为周期的实函数⑵、且在I2d丿上满足狄利克雷条件、即齐（-
在一个周期上满足：
（1）连续或只有有限个第一类间断点；
（2）只有有限个极值点.则在连续
点处J有
cosncot+b/j
1-
%二不住方CCOS讪d©
=12…）
r單（用吨*…）
在间断点4处，
（1）式右端级数收敛于
2/
inCXf・biCiX
cosoS"
s2y
…于
島exT€<
ur
e・e
+0—
C-"
nf“心*+“人［-斶
~2~~2-
处）晋+E
e+e
厶W=1
「旦厂_5—叽「_©
+也
0叩”
T,2,3,…,则
■X
aW二工c严
“■•X
・42CtX・
+・・・丿+（J0
-inCX,\
+c”+・・
Q6XdlCX・
=Co+（qg+C2W
•+代
JnCX9
+•••+%
+…丿⑵
（2）式称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义.
容易证明5可以合写成一个式子，即
q冷直齐（W〃ga±
i,±
2,...）
傅里叶积分
任何一个非周期函数/”）•都可看成是由某个周期函数齐（’）当T-+8时转化而来的.
即
]imx/T（/）=/（r）
■
由公式
（2）、（3）得
T'
R了耐吨严
9
可知
/（r）=71iml£
心（少叫卜
/w=・xT
令马二gg=©
_（DI则T或A®
于是
f（t）=lim八）T卄T
JArY^dt
/?
=-xufw=-x0
■4
rt
令
0（©
）=2吐％CH©
dr]e（,H
故
（4）
03”）T女『）二土〔匚/（少叫
（1）严
注意到当即TTS时
从而按照积分的定义，（4）可以写为:
或者
/（/）=2匚〔匚/（少叫咔叫0
公式（5）称为函数/（‘）的傅氏积分公式.
定理若/（*）在（揺，+8）上满足条件：
仃）/（”在任一有限区间上满足狄氏条件；
（2）/C）在无限区间（-8,+8）上绝对可积，即收敛，则⑸在几）的连续点成里；
而在/（“的间断点匚处
/（/。
+0）+/亿一0）
应以来代替.
上述定理称为傅氏积分定理•可以证明，当/”）满足傅氏积分定理条件时，公式（5）
可以写为三角形式，即
一x/（r）cos<
y（/-
f&
\在儿琏续点处，
=7（,+0）+/（/・0）其它
••-（6）
周期傅里叶变换
描述周期现象的最简单的周期函数是物理学上所说的谐波函数，它由正弦或余弦函
数来表示
y（t）=Acos（vvr+«
）
而所有函数都可以看做是不同频率的正弦或余弦函数的叠加。
下面介绍周期函数的
傅里叶变换叫
将一个周期为T的函数分解为Fourier级数，其三角形式展幵为:
（）
f（7上务）+工（⑷cosncot+bnsinncot}
离散傅里叶变换
但我们在数字资料处理中经常的不是一个函数，而是一个离散的序列。
与连续时间信号的分析类似，对于连续时间信号进行离散Fourier变换，一般可概括为时域采样，时域截断，频域采样三个步骤，最终导岀离散傅立叶变换
（2）对为：
18
*（心丹伙）％丄2,…心（）
八;
-0
它通过连续傅立叶变换，将N个时域采样点与N个频域采样点联系起来。
3、傅立叶变换的应用
傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f（x,y）来表示。
由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的尖系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应尖系。
为什么要提梯度因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的尖系，即使在不移频的情况下也是没有。
傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。
一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。
这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。
对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。
将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。
冲激信号
冲激函数是最基本的函数，其傅里叶变换是系统函数，只要知道系统函数，那么
通过这个系统的输出函数并可以确定。
在Mat1ab中产生冲激函数和其傅里叶变换的程序如下:
M二10；
T=10；
N二2』；
dt=T/N；
n=0:
N-1；
t=n*dt；
w=zeros（size（t））*
w（100:
105）=100；
subplot（211）；
p]ot（t,\vrbc,*LineWidth'
；
titleC冲激函数’）；
xlabelCt/s>
'
）；
ylabel（*y/m）；
Subplot（212）»
W=fft（w）；
W=fftshift（W）；
plot（t,abs（W）/br,1LineWidth'
;
title（'
冲激函数的傅里叶变换’）；
xlabel（；
ylabel（A/m*）;
其时域图像和频域图像如图1所示
倔1
■4C
-
图1冲激函数的时域和频谱
图像分析:
从图中可以看出，冲激信号的频率为0处的分量最大，然后向两端快速衰减，表明脉冲信号中实际占主导地位的其实是直流分量。
余弦信号
我们已经知道，任何信号都可以分解成为不同频率的正或余弦信号的叠加，那么现在研究余弦信号的时域和频域特性（3）。
用Matlab可以产生余弦信号并分析其频谱的特性。
Matlab程序：
M=10；
N=2^；
t=linspace（-10,10,N）»
xcos=cos（3*t）J
subplot（211）
plot（t,xcos）；
titleC余弦信号的时域图像’）；
xlabel（t/sr）;
ylabel（'
y/m*）subplot（212）
plot（t,abs（fftshift（fft（xcos））））；
ti11eC余弦信号的频域图像’）xlabel（'
w/（rad/s）'
）»
余弦信号的时域图像与频域图像如图2所示
•M鼻£
j・202A&
910
图2余弦函数的时域和频谱
频率突变信号
频率突变信号在现实生活总很常见，下面用Matlab来产生频率突变信号⑵和分析其傅里叶变换。
%
Matlab程序:
t=linspace（-10,10,N）:
sl=find（t<
.0）；
x（sl）=cos（2*pi*6*t（si））»
s2=find（t>
=0）；
x（s2）=cos（2*pi*3*t（s2））»
subplot（211）；
plot（l.x）；
titleC频率突变信号’）；
xlabel（rt/s*）；
ylabel（?
y/m1）
subplot（212）>
X=fft（x）；
plot（trabs（X）I
titled频率突变信号的傅里叶变换图像*）；
xlabel（rf/hz*）;
ylabeKy/m*）
其图像如图3所示
图3频率突变信号的时域和频谱
图象分析：
频率突变信号的频率在3和5的位置对应的幅值特别高。
因此标记出这两个频谱峰值对应的频率分量，正好可以验证信号的频率成份。
高斯信号
在信号中，常会伴随着来声，而高斯噪声⑶是常见的棗声，研究它的特性对于消除噪声有很大的意义。
Matlab程序如下:
M二10；
N=2AM；
t=linspace（-10,10,N）；
a=l/4；
g=exp（-a*t.*2）;
plot（t,g）
titleC高斯信号的时域图像’）；
xlabelCt/s1）;
y/m'
）；
subplot（212）
G=fft（g）:
G=fftshift（G）:
plot（t.abs（G））»
titleC高斯信号的频域图像Jxlabel（*f/HzJ；
ylabel（*y/m*）；
高斯信号的时域和频域图像如图4所示
-5420246S10
高廟馆号隔嶽tEBd
»
^44a46dx«
图4高斯信号的时域和频域图像，WX
图像分析：
这是一个正态分布函数，具有单峰性，归一性。
其傅立叶变换函数的图象中，只有频率为0的地方有极大的峰值，说明小概率时间发生的机会是极小的，越向原点，时间发生的可能性越大。
随机序列
研究随机序列住有很大的意义，在数字信号的传输过程中，往往会产生噪声，而噪声并是随机序列'
研究其特性对消除棗声有很大的意义
利用MATLAB很容易产生两类随机信号:
Rand（hN）在区间〔0.1〕上产生N点均匀分布的随机序列
Randn（hN）r生均值为0,方差为1的高斯随机序列，也就是白噪声序列
例如下图表示点数为32点的均匀分布的随机序列与高斯随机序列，其血tlab仿真结果如图下所示，其中图和图分别表示序列一和序列二的时域和频域图像。
用Mat1ab产生的随即序列和其傅里叶变换的程序如下图所示
clearal1；
N二32；
xrand=rand（1,N）:
xrandn=randn（1,N）；
xn=0:
figured）
subplot（2,1,1）;
stem（xn,xrand）；
titleC系列1的时域图像'
subplot（2.1,2）；
stem（xniabs（fftshift（fft（xrand））））:
title（!
系列1的频域图像J
figure
（2）
stem（xn,x_randn）:
title（1系列2的时域图像’）
subplot（2.1,2）；
stem（xn（abs（fftshift（fft（xrandn））））:
title（*系列2的频域
图像J
系列1的时域羽惊
1
0$
0.6
01
02
C
<
>
j>
J
（
V
c
?
7
:
T
）5101520253035
系列1的腹域图像
15
111
—
10
5
510
20
25
30
图序列一的时域和频域图像
系列啲时域图像
系列2的顿域囱像
$厂
6
4<
：
¥
2•
r
O
G>
o
TI
G
<
?
IT
QO
06101520263036
图序列二的时域和频域图像
男女声音的辨别
男女声音有什么区别，怎么样区别男女声音，下面用傅里叶变换分析一段男女芦音，观察结果，并分析。
首先用录音器分别录两段男女声音音频，分别保存为和。
在Matlab中用[Y,Fs]=wavread（'
fi1ename'
）即可直接读取°
Mat1ab程序
N=5000；
aAwavreadC'
N）；
bAwavreacK*'
.N）；
A=fftshift（fft（a））；
B二fftshift（fft（b））；
subplot（223）»
plot（abs（A））；
titleC女生清唱傅里叶变换’）
subplot（224）:
plot（abs（B））；
titie（・男生清唱傅里叶变换’）subplot（221）；
plot（a）；
ti11eC女声'
subplot（222）»
plot（b）*title（'
男声’）
运行结果如图6所示
由于男女声音音高不同，其频谱属于不同频段范围。
因此可以用上述方法才辨别男
女声音。
如图所示，将直流分量至于中间，明显可以看出女声的高频分量多，男声的低频分量
少。
由此可以得出，此分析结果正确。
女声
60
40
A
女生清唱傅里叶变挽
U
2000
40006000
图6男女声频谱分析
°
0200040006000
参考文献:
[1]李红著・复变函数与积分变换・北京：
高等教育出版杜，1999
[2]张元林・积分变换[M]•北京：
高等教育出版社,2003.
[3]胡广书•数字信号处理一一理论.算法与实现[M]•清华大学出版社，1997.
[4]飞思科技产品研发中心.Matlab7辅助信号处理技术与应用[M].2005.
升级会员 