8年级上册数学培优讲义北师版(格式完整-).docx

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八年级上册数学培优

八年级上册数学培优

专题一勾股定理的基本应用 2

专题二勾股定理逆定理的应用 8

专题三勾股定理中的翻折和旋转问题 11

专题四勾股定理的实际问题 15

专题五勾股定理中的最值问题 22

专题六实数的相关概念 29

专题七实数的相关运算 35

专题八非负性的应用 42

专题九位置与坐标

（一） 45

专题10位置与坐标

（二） 53

专题11一次函数的基本性质 57

专题12一次函数的应用 64

专题13一次函数中的规律问题 73

专题十四一次函数中的最值问题 77

专题十五一次函数中的（特殊图形）存在性问题 84

专题十六一次函数中的动态问题 89

专题17二元一次方程（组）的概念 96

专题18二元一次方程组的实际问题 103

专题19数据的分析 109

专题20平行线的证明 117

专题一勾股定理的基本应用

考点一求线段的长

【方法点拨】①勾股定理常用来求直角边或斜边；②勾股定理是求线段长度的最主要方法，若缺少直角条件，可以通过作垂线的方法构造直角三角形；③若不能直接用勾股定理求出直角三角形的边，一般设未知数，建立方程求解。

1．等腰三角形的底边长为12，底边上的中线长为8，它的腰长为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．32

2．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（　　）

A．322 B．3105 C．355 D．455

3．Rt△ABC中，斜边BC＝22，则AB2+AC2+BC2的值为（　　）

A．16 B．8 C．8 D．无法计算

4．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：

①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④

5．如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的高，则高AD的长为（　　）

A．.1 B．.2 C．3 D．.2

6．若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（　　）

A．5 B．10 C．125 D．245

7．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为　　．

8．在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为　　．

9．已知a，b是Rt△ABC两边，且满足a2-9=-（b﹣4）2，则第三边长是　　．

10．如图，在△ABC中，CE是AB边上的中线，CD⊥AB于D，且AB＝5，BC＝4，AC＝6，求DE的长．

11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AB＝BC．

（1）当AD＝7，CD＝5时，求BC的长；

（2）当AD=13，BC=2时，求BD的长．

考点二求面积

【方法点拨】①勾股定理间接反映了三个图形面积之间的关系，可利用勾股定理求三角形、四边形、扇形、弓形的面积；②用勾股定理求直角三角形面积时，可将看作一个整体，而不必求出的值，利用，再结合等类似完全平方式的变形等式解决实际问题。

1．如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（　　）

A．12 B．13 C．144 D．194

2．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（　　）

A．90 B．100 C．110 D．121

3．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　）

A．4 B．8 C．16 D．64

4．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　　．

5．如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3＝　　．

6．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，正方形A的面积为9cm2，则正方形A，B，C，D面积之和为　　cm2．

7．如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．

考点三解直角三角形

【方法点拨】①已知两边和两边的夹角为一个特殊角时，可求第三边；②已知两个特殊角和两个特殊角的夹边，可求另外两边；③在直角三角形中，已知两边，可直接用勾股定理求第三边；④不能求第三边时，应先设未知数，再用勾股定理；⑤如果上述方法行不通时，应通过转化把条件集中在同一个三角形中再利用勾股定理。

1．如图，锐角三角形ABC中，∠C＝2∠B，AB=26，BC+CA＝8，则△ABC的面积为　　．

2．善于思考的小鑫同学，在一次数学活动中，将一副直角三角板如图放置，A，B，D在同一直线上，且EF∥AD，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠C＝45°，∠E＝60°，量得DE＝12cm，求BD的长．

考点四利用勾股定理证明平方关系

【方法点拨】通过直接寻找直角三角形或作垂线构造直角三角形解决问题。

1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点P在BC上．若点P为BC的中点，则m＝AP2+BP•PC的值为　　；若BC边上有100个不同的点P1，P2，…，P100，且mi＝APi2+BPi•PiC（i＝1，2，…，100），则m＝m1+m2+…+m100的值为　　．

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，P为BC上任意一点，请用学过的知识说明：

AB2﹣AP2＝PB•PC．

3．已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图

（1）所示）时，易证得结论：

PA2+PC2＝PB2+PD2，请你探究：

当点P分别在图

（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系？

请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图

（2）证明你的结论．

专题二勾股定理逆定理的应用

考点一勾股数的应用

【方法点拨】①熟记常见的勾股数“3,4,5”“6,8,10”“5,12,13”“8,15,17”“7,24,25”“9,40,41”；②勾股数的整数倍仍然是勾股数，分数倍数仍然符合的关系；③构造勾股数的重要方法:

是大于1的奇数，则，，是勾股数；是大于2的偶数，则，，是勾股数。

1．在下列各组数中，是勾股数的是（　　）

A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．

（1）若a：

b＝3：

4，c＝75cm，求a、b；

（2）若a：

c＝15：

17，b＝24，求△ABC的面积；

（3）若c﹣a＝4，b＝16，求a、c；

（4）若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高hc；

（5）若a、b、c为连续整数，求a+b+c．

考点二求面积

【方法点拨】通过比较三角形最长边的平方与另两边的平方和，可以判断三角形的形状，反过来也对，即可以运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状。

1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，在下列条件中：

①a＝5、b＝12、c＝13；②∠A：

∠B：

∠C＝3：

4：

5；③∠A﹣∠B＝∠C；④a=13、b=14、c=15；⑤（b+c）（b﹣c）＝a2，能判断△ABC是直角三角形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．已知三组数据：

①2，3，4；②3，4，5；③1，3，2，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

3．△ABC的三边分别为a，b，c，满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　）

A．c2﹣a2＝b2 B．∠A﹣∠C＝∠B

C．a：

b：

c＝20：

21：

29 D．∠A：

∠B：

∠C＝2：

3：

4

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD＝h，有下列四种说法：

①a•b＝c•h；②a+b＜c+h；③以a+b、h、c+h为边的三角形，是直角三角形；④1a2+1b2=1h2．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（　　）

A．3，4，5 B．4，5，6 C．34，54，1 D．9，12，15

6．若a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，试判断△ABC的形状并说明理由．

7．如图，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的位置如图所示，你能判断△ABC是什么三角形吗？

请说明理由．

8．阅读下列解题过程：

已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．

解：

∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①

∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2），②

∴c2＝a2+b2，③

∴△ABC为直角三角形．④

回答下列问题：

（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？

该步的序号为：

　　；

（2）错误的原因为：

　　；

（3）请你将正确的解答过程写下来．

专题三勾股定理中的翻折和旋转问题

考点一翻折问题

【方法点拨】根据翻折前后两图形全等，借助勾股定理构造方程求线段的长。

1．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（　　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm

2．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD的长BC与宽AB的关系是（　　）

A．BC＝2AB B．BC=3AB C．BC＝1.5AB D．BC=2AB

3．长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边BC上一点，将△ABE沿AE翻折，点B恰好落在对角线AC上的点F处，则AE的长为　　．

4．如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，点B的对应点是点B′，B′C与AD交于点E．若AB＝2，BC＝4，则AE的长是　　．

5．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，AB＝6，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则EF的长为　　．

6．如图，D在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边AD一个动点，将△ABE沿BE对折成△BEF，则线段DF长的最小值为　　．

7．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．

（1）若∠1＝50°，求∠2、∠3的度数；

（2）若AD＝8，AB＝4，求BF．

8．矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E在线段AB上．点F在线段AD上

（1）