人教版高中物理必修2匀速圆周运动的典型例题文档格式.docx
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根据向心加速度公式a=ω2r,所以a、b、c三轮边缘向心加速度之比
=8∶4∶2=4∶2∶1.
【例2】一圆盘可绕一通过圆盘中心o且垂直于盘面的竖直轴转动.在圆盘上放置一木块,当圆盘匀速转动时,木块随圆盘一起运动(见图),那么
[]
a.木块受到圆盘对它的摩擦力,方向背离圆盘中心
b.木块受到圆盘对它的摩擦力,方向指向圆盘中心
c.因为木块随圆盘一起运动,所以木块受到圆盘对它的摩擦力,方向与木块的运动方向相同
d.因为摩擦力总是阻碍物体运动,所以木块所受圆盘对它的摩擦力的方向与木块的运动方向相反
e.因为二者是相对静止的,圆盘与木块之间无摩擦力
【分析】由于木块随圆盘一起作匀速圆周运动,时刻存在着一个沿半径指向圆心的向心加速度,因此,它必然会受到一个沿半径指向中心、产生向心加速度的力——向心力.
以木块为研究对象进行受力分析:
在竖直方向受到重力和盘面的支持力,它处于力平衡状态.在盘面方向,可能受到的力只有来自盘面的摩擦力(静摩擦力),木块正是依靠盘面的摩擦力作为向心力使它随圆盘一起匀速转动.所以,这个摩擦力的方向必沿半径指向中心
【答】b.
【说明】常有些同学认为,静摩擦力的方向与物体间相对滑动的趋势方向相反,木块随圆盘一起匀速转动时,时时有沿切线方向飞出的趋势,因此静摩擦力的方向应与木块的这种运动趋势方向相反,似乎应该选d.这是一种极普遍的错误认识,其原因是忘记了研究运动时所相对的参照系.通常说做圆运动的物体有沿线速度方向飞出的趋势,是指以地球为参照系而言的.而静摩擦力的方向总是跟相对运动趋势的方向相反,应该是指相互接触的两个相关物体来说的,即是对盘面参照系.也就是说,对站在盘上跟盘一起转动的观察者,木块时刻有沿半径向外滑出的趋势,所以,木块受到盘面的摩擦力方向应该沿半径指向中心
【例3】在一个水平转台上放有a、b、c三个物体,它们跟台面间的摩擦因数相同.a的质量为2m,b、c各为m.a、b离转轴均为r,c为2r.则
a.若a、b、c三物体随转台一起转动未发生滑动,a、c的向心加速度比b大
b.若a、b、c三物体随转台一起转动未发生滑动,b所受的静摩擦力最小
c.当转台转速增加时,c最先发生滑动
d.当转台转速继续增加时,a比b先滑动
【分析】a、b、c三物体随转台一起转动时,它们的角速度都等于转台的角速度,设为ω.根据向心加速度的公式an=ω2r,已知ra=rb<rc,所以三物体向心加速度的大小关系为aa=ab<ac.
a错.
三物体随转台一起转动时,由转台的静摩擦力提供向心力,即f=fn=mω2r,所以三物体受到的静摩擦力的大小分别为
fa=maω2ra=2mω2r,
fb=mbω2rb=mω2r,
fc=mcω2rc=mω2·
2r=2mω2r.
即物体b所受静摩擦力最小.b正确.
由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值,设相互间摩擦因数为μ,静摩擦力的最大值可认为是fm=μmg.由fm=fn,即
得不发生滑动的最大角速度为
即离转台中心越远的物体,使它不发生滑动时转台的最大角速度越小.
由于rc>ra=rb,所以当转台的转速逐渐增加时,物体c最先发生滑动.转速继续增加时,物体a、b将同时发生滑动.c正确,d错.
【答】b、c.
【例4】如图,光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉a、b,相距l0=0.1m.长l=1m的柔软细线一端拴在a上,另一端拴住一个质量为500g的小球.小球的初始位置在ab连线上a的一侧.把细线拉直,给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度,使它做圆周运动.由于钉子b的存在,使细线逐步缠在a、b上.
若细线能承受的最大张力tm=7n,则从开始运动到细线断裂历时多长?
【分析】小球转动时,由于细线逐步绕在a、b两钉上,小球的转动半径会逐渐变小,但小球转动的线速度大小保持不变.
【解】小球交替地绕a、b作匀速圆周运动,因线速度不变,随着转动半径的减小,线中张力t不断增大,每转半圈的时间t不断减小.
令tn=tm=7n,得n=8,所以经历的时间为
【说明】圆周运动的显著特点是它的周期性.通过对运动规律的研究,用递推法则写出解答结果的通式(一般表达式)有很重要的意义.对本题,还应该熟练掌握数列求和方法.
如果题中的细线始终不会断裂,有兴趣的同学还可计算一下,从小球开始运动到细线完全绕在a、b两钉子上,共需多少时间?
【例5】如图(a)所示,在光滑的圆锥顶用长为l的细线悬挂一质量为m的小球,圆锥顶角为2θ,当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时,球压紧锥面.此时绳的张力是多少?
若要小球离开锥面,则小球的角速度至少为多少?
【分析】小球在水平面内做匀速圆周运动,由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向心力,在竖直方向则合外力为零。
由此根据牛顿第二定律列方程,即可求得解答。
【解】对小球进行受力分析如图(b)所示,根据牛顿第二定律,向心方向上有
t·
sinθ-n·
cosθ=mω2r①
y方向上应有
n·
sinθ+t·
cosθ-g=0②
∵r=l·
sinθ③
由①、②、③式可得
t=mgcosθ+mω2lsinθ
当小球刚好离开锥面时n=0(临界条件)
则有tsinθ=mω2r④
cosθ-g=0⑤
【说明】本题是属于二维的牛顿第二定律问题,解题时,一般可以物体为坐标原点,建立xoy直角坐标,然后沿x轴和y轴两个方向,列出牛顿第二定律的方程,其中一个方程是向心力和向心加速度的关系,最后解联立方程即可。
【例6】杂技节目中的“水流星”表演,用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子,演员抡起杯子在竖直面上做圆周运动,在最高点杯口朝下,但水不会流下,如下图所示,这是为什么?
【分析】水和杯子一起在竖直面内做圆周运动,需要提供一个向心力。
当水杯在最低点时,水做圆周运动的向心力由杯底的支持力提供,当水杯在最高点时,水做圆周运动的向心力由重力和杯底的压力共同提供。
只要做圆周运动的速度足够快,所需向心力足够大,水杯在最高点时,水就不会流下来。
【解】以杯中之水为研究对象,进行受力分析,根据牛顿第二定律
【例7】如下图所示,自行车和人的总质量为m,在一水平地面运动.若自行车以速度v转过半径为r的弯道.
(1)求自行车的倾角应多大?
(2)自行车所受的地面的摩擦力多大?
【分析】骑车拐弯时不摔倒必须将身体向内侧倾斜.从图中可知,当骑车人拐弯而使身体偏离竖直方向α角时,从而使静摩擦力f与地面支持力n的合力q通过共同的质心o,合力q与重力的合力f是维持自行车作匀速圆周运动所需要的向心力.
【解】
(1)由图可知,向心力f=mgtgα,由牛顿第二定律有:
(2)由图可知,向心力f可看做合力q在水平方向的分力,而q又是水平方向的静摩擦力f和支持力n的合力,所以静摩擦力f在数值上就等于向心力f,即
f=mgtgα
【例8】用长l1=4m和长为l2=3m的两根细线,拴一质量m=2kg的小球a,l1和l2的另两端点分别系在一竖直杆的o1,o2处,已知o1o2=5m如下图(g=10m·
s-2)
(1)当竖直杆以的角速度ω匀速转动时,o2a线刚好伸直且不受拉力.求此时角速度ω1.
(2)当o1a线所受力为100n时,求此时的角速度ω2.
【分析】小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉力提供,当小球的运动速度不同时,所受拉力就不同。
(1)当o2a线刚伸直而不受力时,受力如图所示。
则f1cosθ=mg①
f1sinθ=mrω12②
由几何知识知
∴r=2.4mθ=37°
代入式③ω1=1.77(rad/s)
(2)当o1a受力为100n时,由
(1)式
f1cosθ=100×
0.8=80(n)>mg
由此知o2a受拉力f2。
则对a受力分析得
f1cosθ-f2sinθ-mg=0④
f1sinθ+f2cosθ=mrω22⑤
由式(4)(5)得
【说明】向心力是一种效果力,在本题中o2a受力与否决定于物体a做圆周运动时角速度的临界值.在这种题目中找好临界值是关键.
[例9]一辆实验小车可沿水平地面(图中纸面)上的长直轨道匀速向右运动,有一台发出细光束的激光器装在小转台m上,到轨道的距离mn为d=10m,如图所示。
转台匀速转动,使激光束在水平面内扫描,扫描一周的时间为t=60s,光束转动方向如图箭头所示。
当光束与mn的夹角为45°
时,光束正好射到小车上,如果再经过△t=2.5s光束又射到小车上,则小车的速度为多少?
(结果保留二位数字)
[分析]激光器扫描一周的时间t=60s,那么光束在△t=2.5s时间内转过的角度
激光束在竖直平面内的匀速转动,但在水平方向上光点的扫描速度是变化的,这个速度是沿经向方向速度与沿切向方向速度的合速度。
当小车正向n点接近时,在△t内光束与mn的夹角由45°
变为30°
随着θ减小,v扫在减小若45°
时,光照在小车上,此时v扫>v车时,此后光点将照到车前但v扫↓v车不变,当v车>v扫时,它们的距离在缩小。
[解]在△t内,光束转过角度
如图,有两种可能
(1)光束照射小车时,小车正在接近n点,△t内光束与mn的夹角从45°
,小车走过l1,速度应为
由图可知
l1=d(tg45°
-tg30°
)③
由②、③两式并代入数值,得
v1=1.7m/s④
(2)光束照到小车时,小车正在远离n点,△t内光束与mn的夹角从45°
为60°
,小车走过l2速度为
l2=d(tg60°
-tg45°
)⑥
由⑤、⑥两代并代入数值,得
v2=2.9m/s
[说明]光点在水平方向的扫描速度是变化的,它是沿经向速度和切向速度的合速度。
很多人把它理解为切向速度的分速度,即
则扫描速度不变化,就谈不上与小车的“追赶”了,将不可能发生经过一段时间,再照射小车的问题。
这一点速度的合成与分解应理解正确。
另外光束与mn的夹角为45°
时,光束正好射到小车上有两种情况(见分析)要考虑周全,不要丢解。
[例10]图所示为测量子弹速度的装置,一根水平转轴的端部焊接一个半径为r的薄壁圆筒(图为其横截面),转轴的转速是每分钟n转,一颗子弹沿圆筒的水平直径由a点射入圆筒,在圆筒转过不到半圆时从b点穿出,假设子弹穿壁时速度大小不变,并在飞行中保持水平方向,测量出a、b两点间的孤长为l,写出子弹速度的表达式。
[分析]子弹穿过筒壁,子弹与筒壁发生相互作用,既影响筒的转速,又影响子弹飞行速度,因为这种影响忽略不讲,所以测出的子弹速度是近似值,子弹穿过圆筒的时间,可从圆筒的转速和转过的角度求了,为了求出子弹从a点穿入到从b点穿出时圆筒转过的角度,必须作出子弹穿筒过程中圆筒转动情景的图示,与孤长l对应的圆心角为θ,θ=l/r(rad)
解:
圆筒转过的角为(π-θ),圆筒的角速为ω,子弹速度为v,穿筒的时间为t,则:
π-θ=ωt,ω=2πn/60rad/s
[说明]
解题过程中,物理过程示意图,是常用的方法,它可以使抽象的物理过程具体形象化,便于从图中找出各物理量之间关系,以帮助建立物理方程,最后求出答案。