长郡中学实验班招生数学试卷卷复赛卷.doc
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2011年长郡中学实验班招生学校姓名性别联系电话
数学试题学校姓名性别联系电话
欢迎你参加考试!
做题时要认真审题,积极思考,细心答题,充分发挥你的水平
(时量:
60分钟;满分:
100分注意合理分配时间)
一、选择题:
(每个题目只有一个正确答案,每题6分,共36分)
1、计算的结果是()
A. B. C.1 D.
2、如图,在Rt中,的值为()
A. B. C. D.
3、初三
(1)班在今年的植树节领有平均每人植树6棵的任务,如果只由女同学完成,每人应植树15棵,如果只由男同学完成,每人应植树()棵
A.9 B.10 C.12 D.14
4、如图是一个正方体盒的平面展开图,如果在其中的在三个正方形A、B、C中分别填入适当的数,使得它们折成正方体后,相对的面上的两个数互为相反数,那么填入A、B、C的三个数依次是 ( )
A.1,-2,0 B.-1,2,0C.-2,0,1 D.-2,1,0
5、根据下列表格的对应值,判断方程(≠0,,,为常数)一个解的范围是()
3.23
3.24
3.25
3.26
-0.06
-0.02
0.03
0.07
A.3<<3.23;B.3.23<<3.24;C.3.24<<3.25;D.3.25<<3.26
6.、已知实数,且满足,.则的值为().
A.23B.C.D.
二.填空题:
(每题5分,共30分)
7、一个西瓜,横切两刀,再竖切两刀(刀刃足够长,都不靠边切),吃完瓜瓤,剩下块西瓜皮.
A
B
D
C
O
x
y
图2
8、如图,点A,B,C,D,E均在⊙O上,∠A=30°,∠O=48°,则∠E=°
第1层
第2层
第3层
第4层
图3
第n层
…
B
O
C
A
D
E
第8题图
9、如图2,正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点,AB⊥轴于B,
CD⊥轴于D,则四边形ABCD的面积为
10、如图3是由棱长为的小正方体堆积成的图形.若按照这样的规律继续摆放,第n层需要块小正方体(用含n的代数式表示)=
H
11、如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CG∥AB,BG分别交AD,AC于E,F.
若,那么等于____________.
12、如图,在两个直角三角形中,∠ACB=∠ADC=90º,AC=,AD=2,
那么当AB的长等于_____时,使得两个三角形相似.
三、解答题(本大题共3题,13、14题11分,15每题12分,共34分)
13、已知:
如图,BC为半圆的半径,O为圆心,D是的中点,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E.
(1)试判断:
△ABE∽△DBC成立吗?
说明理由;
(2)已知BC=,CD=,求sin∠AEB的值;
O
(3)在
(2)的条件下,求弦AB的长.
14、推理能力都很强的甲、乙、丙站成一列,丙可以看见甲、乙,乙可以看见甲但看不见丙,甲看不见乙、丙.现有5顶帽子,3顶白色,2顶黑色.老师分别给每人戴上一顶帽子(在各自不知道的情况下).老师先问丙是否知道头上的帽子颜色,丙回答说不知道;老师再问乙是否知道头上的帽子颜色,乙也回答说不知道;老师最后问甲是否知道头上的帽子颜色,甲回答说知道.请你说出甲戴了什么颜色的帽子,并写出推理过程.
解:
15、如图9,在平面直角坐标系中,二次函数的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),OB=OC,tan∠ACO=.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长度.
(4)如图10,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?
求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
参考答案及评分标准:
一.选择题:
(每题6分,共36分)
1-6:
ADB,ACB
二.填空题:
(每题5分,共30分)
7.108.549.2
10.11.12.3或(只填一个得2分)
三、解答题:
(13、14每题11分,15题12分,共34分)
13
(1)△ABE∽△DBC成立.∵=,∴∠1=∠2.又BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=∠BDC=.∴△ABE∽△DBC.……………………………………3分
(2)∵△ABE∽△DBC,∴∠AEB=∠DCB.
在Rt△BCD中,BC=,CD=,∴BD==.
∴==.………………7分
(3)∵∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3.又∠ADE是公共角,∴△AED∽△BAD.
∴,即.
又CD=AD=,∴,BE=.……9分
在Rt△ABE中,AB=BE·=·=.……11分
14、甲戴的是白帽子。
(4分)
理由如下:
因为丙说不知道,说明甲、乙中至少有一个人戴白帽子(如果甲、乙都戴黑帽子,丙马上知道自己戴的是白帽子).(8分)
因为乙也说不知道,说明甲戴的是白帽子(如果甲戴黑帽子,甲、乙中至少有一个人戴白帽子,则乙马上知道自己戴的是白帽子).(11分)
15、1)方法一:
由已知得:
C(0,-3),A(-1,0)…1分
将A、B、C三点的坐标代入得…………………………2分
解得:
所以这个二次函数的表达式为:
…………………………3分
方法二:
由已知得:
C(0,-3),A(-1,0)…………………………1分
设该表达式为:
…………………………2分
将C点的坐标代入得:
所以这个二次函数的表达式为:
…………………………3分
(注:
表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分)
(2)方法一:
存在,F点的坐标为(2,-3)…………………………4分
理由:
易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为:
∴E点的坐标为(-3,0)…………………………5分
由A、C、E、F四点的坐标得:
AE=CF=2,AE∥CF
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F,坐标为(2,-3)…………………………6分
方法二:
易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为:
∴E点的坐标为(-3,0)…………………………4分
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴F点的坐标为(2,-3)或(―2,―3)或(-4,3)
代入抛物线的表达式检验,只有(2,-3)符合
∴存在点F,坐标为(2,-3)…………………………6分
(3)如图,①当直线MN在x轴上方时,设圆的半径为R(R>0),则N(R+1,R),
代入抛物线的表达式,解得…………7分
②当直线MN在x轴下方时,设圆的半径为r(r>0),
则N(r+1,-r),
代入抛物线的表达式,解得分
∴圆的半径为或.……………9分
(4)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,
易得G(2,-3),直线AG为.……………10分
设P(x,),则Q(x,-x-1),PQ.
…………………………11分
当时,△APG的面积最大
此时P点的坐标为,.…………………………12分