镇海中学数学特长生招生考试试题.doc
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2011年镇海中学数学特长生招生考试试题
第一试2011年1月24日15:
00—17:
00满分60分
姓名:
成绩:
一、填空题(共6小题,每小题3分,共计18分)
1.方程的实数解是.
2.已知实数满足,则
=.
3.如图所示,△ABC为等边三角形,CD=AE,∠BQA=100º,
则∠QBE=.
4.如图所示ABCD是一个平行四边形,延长AD至点F.联结
BF分别交线段AC、CD于点E、G.已知BG=60,BF=90,则
BE=.
5.已知是一个478位数,用表示的各位数码之和,用b表示a的各位数码之和,用c表示b的各位数码之和.则c=.
6.已知是一个四位数,而且是一个完全平方数.在十进制表示下的个位数、十位数、百位数、千位数别为、、、.则=.
二、解答题(第7至9题,每题4分;第10至15题,每题5分.共计42分)
7.求方程组的实数解.
8.已知为常数,一元二次方程的一个实根与的一个实根的乘积等于1.求这两个根.
9.已知为整数,二次函数满足:
时,;时,y是一个素数.求证:
方程没有整数根.
10.整数满足.求证:
是完全平方数.
11.正整数满足整除,求证:
与有大于1的公因数.
12.黑板上写着若干个(有限多个)非零实数.求证:
其中必有一数,其它每个数既不等于它的3倍,也不等于它的二分之一.
13.1~100的整数排成圆周(次序任意),算出每三个相继数之和,共得到100个和数.证明:
其中必有两个和数之差不小于3.
14.已知在以AB为直径、S为圆心的半圆上有两点C、D,满足点C在上且∠CSD为直角,点E、F分别为直线AC与BD、AD与BC的交点.证明:
EF=AB.
15.圆O1和圆O2交于点A、B,一条直线过点B,与圆O1、O2的不同于点B的交点分别为C、E(B在C和E之间),另一直线过点B,与圆O1、O2的不同于点B的交点分别为D、F(B在D和F之间),线段CE、DF的中点分别为M、N.
求证:
△ACD∽△AEF∽△AMN.
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