蚌埠市四校联盟高一自主招生考试数学试题.doc
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2012年蚌埠四校联盟自主招生考试
科学素养(数学)测试题
◆注意事项:
1.本卷满分150分,考试时间120分钟;
2.所有题目必须在答题卷上作答,否则不予计分.
P6
P5
P4
P3
P222222
P1
O
A
B
第1题图
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.每小题均给出了A、B、C、D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,不填、多填或错填均得0分)
1、如图,∠AOB是直角,(=1,2,3,4,5,6)是射线,则图中共有锐角:
A、28个 B、27个 C、24个 D、22个
2、在2012个正整数1,2,3,…,2012的每一个数前面,任意添加上符号“+”或“-”,则它们的代数和一定是:
A、奇数B、偶数C、负整数D、非负整数
3、已知为实数,且则的值是:
A、-3 B、3 C、-1 D、1
4、在中,,D在AB上,是的平分线,则的面积与的面积之比是:
y
Q
A、B、C、D、
第6题图
x
O
B
A
5、正实数满足设,则:
A、p>2012 B、p=2012 C、p<2012D、p≤2012
6、二次函数的图象如图所示,是图象上的一点,且,则的值为:
A.-2B.-1C.D.
二、填空题(本大题共8小题,每小题6分,共48分)
7、已知,则=.
8、设则的最大值与最小值之差为.
9、已知那么.
第10题图
第11题图
B
C
E
D
F
A
O
X
A
y
B
第13题图
10、有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2,且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39,则该塔形中正方体的个数至少是___________.
P
11、如图,△ABC是边长为12的等边三角形,点P是三角形内的一点,过P分别作边BC,CA,AB的垂线,垂足分别为D,E,F.已知PD:
PE:
PF=1:
2:
3,那么四边形BDPF的面积是.
12.有3张不透明的卡片,除正面分别写有不同的数字-1、-2、3外,其它均相同.将这三张卡片背面朝上洗匀后,第一次从中随机抽取一张,并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的,第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张,上面标有的数字记作一次函数表达式中的则一次函数的图象经过二、三、四象限的概率是.
13、如图,在平面直角坐标系中,直线AB交x、y轴于点,一圆心位于(0,3),半径为3的动圆沿x轴向右滚动,动圆每6秒滚动一圈,则动圆与直线AB第一次相切时所用的时间为秒.
14、已知整数满足:
①,②③则的值是.
三、解答题(本大题共5小题,)
15、下面图像反映的是甲、乙两人以每分钟80米的速度从公司出发步行到火车站乘车的过程.在去火车站的途中,甲突然发现忘带预购的火车票,于是立刻以同样的速度返回公司,然后乘出租车赶往火车站,途中与乙相遇后,带上乙一同到火车站(忽略停顿所需时间),结果到火车站的时间比预计步行到火车站的时间早到了3分钟.
⑴甲、乙离开公司分钟时发现忘记带火车票;图中甲、乙预计步行到火车站时路程s与时
间t的函数解析式为(不要求写自变量的取值范围)
⑵求出图中出租车行驶时路程s与时间t的函数解析式(不要求写自变量的取值范围);
⑶求公司到火车站的距离.
16、已知:
如图,在Rt△ABC中,斜边AB=5厘米,BC=a厘米,AC=b厘米,a>b,且a、b是方程的两根,
⑴求a和b的值;
⑵△与△ABC开始时完全重合,然后让△ABC固定不动,将
△以1厘米/秒的速度沿BC所在的直线向左移动.
ⅰ)设x秒后△与△ABC的重叠部分的面积为y平方厘米,求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;
a
b
C
A
B
E
D
ⅱ)几秒后重叠部分的面积等于平方厘米?
17、如图,在中,CD,CE分别是斜边AB上的高和中线,
若t,求的值.
18、已知抛物线
(1)若求该抛物线与轴公共点的坐标;
(2)若且当时,抛物线与轴有且只有一个公共点,求c的取值范围;
(3)若且时,时,试判断当时,抛物线与轴是否有公共点?
若有,请证明你的结论;若没有,说明理由.
19、如图1,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OABC的顶点B在轴的正半轴上,O为坐标原点.现将正方形OABC绕O点按顺时针方向旋转.
(1)当点A第一次落到轴正半轴上时,求边BC在旋转过程中所扫过的面积;
(2)若线段AB与轴的交点为M(如图2),线段BC与直线的交点为N.设的周长为,在正方形OABC旋转的过程中值是否有改变?
并说明你的结论;
(3)设旋转角为,当为何值时,的面积最小?
求出这个最小值,并求出此时△BMN的内切圆半径.
M
C
N
O
y
x
A
C
B
O
x
y
A
B
Y=x
θ
图2
图1
2012年蚌埠市普通高中自主招生考试
科学素养(数学)测试题参考答案和评分标准
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1、B2、B3、D4、C5、A6、D
二、填空题(本大题共8小题,每小题6分,共48分)
7、648、19、10、611、1112、13、,14、2010或2016
三、解答题(本大题共5小题,)
15、
(1)6,S=80t…………………4分
(2)S=320t-3840………………..8分
(3)1600米………………………..12分
16、解:
(1)∵△ABC是Rt△且BC=a,AC=b,AB=5(a>b)
又a、b是方程的两根
∴∴(a+b)2-2ab=25
(m-1)2-2(m+4)=25推出(m-8)(m+4)=0
得m1=8m2=-4经检验m=-4(不合舍去)∴m=8
∴x2-7x+12=0x1=3x2=4∴a=4,b=3…………6分
(2)∵△以1厘米/秒的速度沿BC所在直线向左移动。
∴x秒后BB′=x则BC′=4-x
∵C′M∥AC∴△BC′M∽△BCA∴∴
∴即
∴y=(0x4)当y=时=
解得:
x1=3x2=5(不合舍去)
∴经过3秒后重叠部分的面积等于平方厘米。
…………12分
17、解:
在中,因为所以
即:
…..3分
由等面积法知:
所以……6分
又CE是中线,则….9分
在中,得:
….12分
解得,(舍负值).……14分
18、解:
(1)当抛物线为
令解得,
所以,抛物线与轴的公共点的坐标为和……2分
(2)当时,抛物线为.
令,解之,得.
①若抛物线与轴只有一个公共点,由题意,
可得解之,得
②若抛物线与轴有两个公共点,由题意,可得
或
所以,或故.
综上所述,当或时,
抛物线在时与轴有且只有一个公共点.……..8分
(3)由题意可得,当时,即当时,
结合可得,
因为,所以
又,所以……10分
令即所以,此方程的判别式为
因为所以所以
因为所以故
所以抛物线与轴有且只有两个不同的交点.……….13分
因为,所以抛物线的顶点的纵坐标小于零。
因为所以
因为抛物线的对称轴为所以
又当时,时,所以当时,
抛物线与轴有两个公共点.……16分
19、解:
(1)设旋转后C在、B在、A在.
S=………….4分
(2)延长BA交直线于E点,在与中,
所以所以
又所以
所以故的周长为定值2.…..10分
(3)因为,
设由
(2)知,在中,
因为,所以,得:
因为,所以(舍去)或
所以的最小值为.…….13分
C
E
N
M
x
y
A
B
Y=x
O
θ
此时△=0∴∴A为ME的中点.
又因为所以OA是的平分线,所以.……15分
在中,设的内切圆半径为r,所以.……18分
2012年蚌埠四校联盟自主招生(数学)试题第8页共8页