行程问题之间隔发车.doc
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行程问题之间隔发车问题
2、小明放学回家,他沿一路电车的路线步行,他发现每搁六分钟，有一辆一路电车迎面开来，每搁12分钟，有一辆一路电车从背后开来，已知每辆一路电车速度相同，从终点站与起点站的发车间隔时间也相同，那么一路电车每多少分钟发车一辆？
同向时
电车12分钟走的路程-小明12分钟走的路程=发车间隔时间*车速
反向时
电车6分钟走的路程+小明6分钟走的路程=发车间隔时间*车速
则:
电车6分钟走的路程=小明18分钟走的路程
小明12分钟走的路程=电车4分钟走的路程
电车12分钟走的路程-小明12分钟走的路程
电车12分钟走的路程-电车4分钟走的路
=电车8分钟走的路程
=发车间隔时间*车速
所以,发车间隔时间为8分钟
3、一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？
分析：
要求汽车的发车时间间隔，只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了，但题目没有直接告诉我们这两个条件，如何求出这两个量呢？
由题可知：
相邻两汽车之间的距离（以下简称间隔距离）是不变的，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离，每隔6分钟就有一辆汽车超过步行人，这就是说：
当一辆汽车超过步行人时，下一辆汽车要用6分钟才能追上步行人，汽车与行人的路程差就是相邻两汽车的间隔距离。
对于骑车人可作同样的分析.因此，如果我们把汽车的速度记作V汽，骑车人的速度为V自，步行人的速度为V人（单位都是米/分钟），则：
间隔距离=（V汽-V人）×6（米），
间隔距离=（V汽-V自）×10（米），
V自=3V人。
综合上面的三个式子，可得：
V汽=6V人，即V人=1/6V汽，则：
间隔距离=（V汽-1/6V汽）×6=5V汽（米）
所以，汽车的发车时间间隔就等于：
间隔距离÷V汽=5V汽（米）÷V汽（米/分钟）=5（分钟）。
小峰沿公交车的路线从终点站往起点站走，他出发时恰好有一辆公交车到达终点，在路上，他又遇到了14辆迎面开来的公交车，并于1小时18分后到达起点站，这时候恰好又有一辆公交车从起点开出。
已知起点站与终点站相距6000米，公交车的速度为500米/分钟，且每两辆车之间的发车间隔是一定的。
求这个发车间隔是几分钟?
解析：
发车间隔为6分钟。
6000÷500=12（分）.
（78+12）=90（分）.
90÷（16-1）=6（分）.
公交车走完全程的时间为6000÷500=12（分）。
小峰前后一共看见了16辆车，并且第16辆车是他走了1小时18分
即78分钟后在起点站遇上的。
如果我们让小峰站在终点站不动，
他可以在（78+12）=90（分钟）后看见第16辆车恰好到达终点。
第1辆车和第16辆车中间有（16-1）=15（个）发车间隔，
所以一个发车间隔为90÷15=6（分）.
列车每天18：
00由上海站出发，驶往乌鲁木齐，经过50小时到达，每天10：
00从乌鲁木齐站有一列火车返回上海，所用时间也为50小时，为保证在上海与乌鲁木齐乘车区间内每天各有一辆火车发往对方站，至少需要准备这种列车多少列？
在原题的前提下，正常运行后，每天18：
00从上海站开往乌鲁木齐的火车在途中，将会遇到几趟回程车从对面开来？
在车速不变的前提下，为了实现有五列车完成这一区段的营运任务，每天两站互发车辆时间间隔至少需要相差多长时间？
（假定乘客上下车及火车检修时间为一小时）
解：
（1）设上海到乌鲁木齐的车第一天晚18：
00出发，到乌鲁木齐为第三天晚20：
00，
该车可于第四日早10：
00从乌鲁木齐出发，于第六日中午12：
00到上海，当日晚18：
00可出发往乌鲁木齐。
因此，第六日开始重复是同一辆车，所以至少需要5辆列车。
（2）正常运行后，每天都会有一趟车从乌鲁木齐出发开往上海，在18：
00从上海站开往乌鲁木齐的火车到达乌鲁木齐这段时间，
从乌鲁木齐出发的车它都会遇到，共是2辆。
（3）在车速不变的前提下，为了实现有五列车完成这一区段的营运任务，则第一日从乌鲁木齐发出的车需在第六日再从同一个站开出，
设每天上海发车时间比乌鲁木齐晚x（x〉2，
若x<2则来不及在第六天开出前回去）小时，则该车最快回到乌鲁木齐为48+x+50小时后，即至少为第六天的开车前1小时。
列方程如下：
24*5-1-（48+（24-x）+50）>0
解得：
x>3
为便于叙述，现将“发车问题”进行一般化处理：
某人以匀速行走在一条公交车线路上，线路的起点站和终点站均每隔相等的时间发一次车。
他发现从背后每隔a分钟驶过一辆公交车，而从迎面每隔b分钟就有一辆公交车驶来。
问：
公交车站每隔多少时间发一辆车？
（假如公交车的速度不变，而且中间站停车的时间也忽略不计。
）
一、把“发车问题”化归为“和差问题”
因为车站每隔相等的时间发一次车，所以同向的、前后的两辆公交车间的距离相等。
这个相等的距离也是公交车在发车间隔时间内行驶的路程。
我们把这个相等的距离假设为“1”。
根据“同向追及”，我们知道：
公交车与行人a分钟所走的路程差是1，即公交车比行人每分钟多走1/a，1/a就是公交车与行人的速度差。
根据“相向相遇”，我们知道：
公交车与行人b分钟所走的路程和是1，即公交车与行人每分钟一共走1/b，1/b就是公交车和行人的速度和。
这样，我们把“发车问题”化归成了“和差问题”。
根据“和差问题”的解法：
大数=（和+差）÷2，小数=（和-差）÷2，可以很容易地求出公交车的速度是（1/a+1/b）÷2。
又因为公交车在这个“间隔相等的时间”内行驶的路程是1，所以再用“路程÷速度=时间”，我们可以求出问题的答案，即公交车站发车的间隔时间是1÷【（1/a+1/b）÷2】=2÷（1/a+1/b）。
二、把“发车问题”优化为“往返问题”
如果这个行人在起点站停留m分钟，恰好发现车站发n辆车，那么我们就可以求出车站发车的间隔时间是m÷n分钟。
但是，如果行人在这段时间内做个“往返运动”也未尝不可，那么他的“往返”决不会影响答案的准确性。
因为从起点站走到终点站，行人用的时间不一定被a和b都整除，所以他见到的公交车辆数也不一定是整数。
故此，我们不让他从起点站走到终点站再返回。
那么让他走到哪再立即返回呢？
或者说让他走多长时间再立即返回呢？
取a和b的公倍数（如果是具体的数据，最好取最小公倍数），我们这里取ab。
假如刚刚有一辆公交车在起点站发出，我们让行人从起点站开始行走，先走ab分钟，然后马上返回；这时恰好是从行人背后驶过第b辆车。
当行人再用ab分钟回到起点站时，恰好又是从迎面驶来第a辆车。
也就是说行人返回起点站时第（a+b）辆公交车正好从车站开出，即起点站2ab分钟开出了（a+b）辆公交车。
这样，就相当于在2ab分钟的时间内，行人在起点站原地不动看见车站发出了（a+b）辆车。
于是我们求出车站发车的间隔时间也是2ab÷（a+b）=2÷（1/a+1/b）。
这样的往返假设也许更符合“发车问题”的情景，更简明、更严谨，也更易于学生理解和接受。
如果用具体的时间代入，则会更加形象，更便于说明问题。
三、请用上述两种方法，试一试，解答下面两题：
1、小红在环形公路上行走，每隔6分钟就可以看见一辆公共汽车迎面开来，每隔9分钟就有一辆公共汽车从背后超过她。
如果小红步行的速度和公共汽车的速度各自都保持一定，而汽车站每隔相等的时间向相反的方向各发一辆公共汽车，那么汽车站发车的间隔时间是多少？
2、小明从东城到西城去，一共用了24分钟。
两城之间同时并且每隔相等的时间对发一辆公共汽车。
他出发时恰好有一辆公共汽车从东城发出，之后他每隔4分钟看见一辆公共汽车迎面开来，每隔6分钟有一辆公共汽车从背后超过。
问小明从东城出发与到达西城这段时间内，一共有多少辆公共汽车从东城发出？
四、下面三题也是发车问题，试一试，揭示问题实质。
3、从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。
甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82千米，每隔10分钟遇上一辆迎面而来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。
电车总站每隔__分钟开出一辆电车。
[题说]1997年小学数学奥林匹克决赛A卷第12题
答案：
11（分钟）
4、有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。
每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站。
全程要走15分钟。
有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。
他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。
在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站。
这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。
问他从乙站到甲站用了多少分钟？
[题说]第一届“华杯赛”初赛第16题
答案：
40（分钟）
5、一条双向铁路上有11个车站。
相邻两站都相距7公里。
从早晨7点开始，有18列货车由第十一站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第一站，速度都是每小时60公里。
早晨8点，由第一站发出一列客车，向第十一站驶去，时速是100公里，在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一站，问：
在哪两个相邻站之间，客车能与3列货车先后相遇？
[题说]第三届“华杯赛”决赛二试第6题
答案：
在第5个站与第6个站之间，客车与三列货车相遇。
从几个不变来找方法，比如人步行的速度不变．比如车的速度和发车时间间隔不变等等．就会比较容易找到已知数量与问题之间的关系．从而找到解题方法。
甲班与乙班同学同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。
学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。
为了使这两班学生在最短的时间内到达，求甲班学生与乙班学生步行的距离之比
设：
甲班步行时间为T1，乘车时间为T2。
通过题目可以看出甲班步行时间＝乙班乘车时间，甲班乘车时间＝乙班步行时间。
又根据距离相同可以得出：
T1*4+T2*48＝T2*3+T1*48
则T1：
T2＝45：
44
步行距离比为：
T1*4：
T2*3＝15：
11
甲班步行时间＝乙班乘车时间，这个结论是错误的！
！
！
因为汽车有空载之时间！
！
！
设甲班步行了xkm，乙班步行了ykm，从学校到公园的距离为zkm。
当两班同时到达时最快到达，即两班用时相同：
x/4+（z-x）/48=y/3+（z-y）/48；
化简得：
15y=11x
即x：
y=15：
11。
***********************************************************************************************************************************
总时间相等
乙步行的时间-车行的时间=甲步行的时间-车行的时间
（时间差相等）
速度比：
甲：
车=4：
48=1：
12
乙：
车=3：
48=1：
16
（时间差相等）
时间比：
甲：
车=12：
1=180：
15
乙：
车=16：
1=176：
11
路程比：
甲：
车=15：
180
乙：
车=11：
176
甲班学生与乙班学生步行的距离之比：
15：
11.
速度比：
甲：
车=4:
48
速度比：
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