线段、射线、直线(基础)知识讲解.doc

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线段、射线、直线（基础）知识讲解

【学习目标】

1．在现实情境中进一步理解线段、射线、直线，并会用不同的方法表示；

2.通过操作活动，了解“两点确定一条直线”的几何事实，积累数学活动经验，并初步掌握用尺规作图法作出相关线段；

3.能够运用几何事实解释和解决具体情境中的实际问题；

4.通过从事观察、比较、概括等活动，发展抽象思维能力和有条理的数学表达能力.

【要点梳理】

要点一、线段、射线、直线的概念及表示

1.概念：

绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看作线段，如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下：

（1）将线段向一个方向无限延长就形成了射线.

（2）将线段向两个方向无限延长就形成了直线．

要点诠释：

（1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短．

（2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小.

（3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小.

（4）线段、射线、直线都没有粗细．

2.表示方法：

如图1、图2、图3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：

它们都可以用两个大写字母表示，也可以一个小写字母表示.

要点诠释：

（1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示，但直线取的是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如下图4中射线OA，射线OB是不同的射线；端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如下图5中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．

图4

图5

（2）表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．

3.线段、射线、直线的区别与联系

线段

射线

直线

图示

表示方法

线段AB或线段a

射线OA或射线a

直线AB或直线a

端点

两个

一个

无

长度

可度量

不可度量

不可度量

延伸性

不向两方延伸　

向一方无限延伸

向两方无限延伸

要点二、基本事实

1.直线：

过两点有且只有一条直线．简单说成：

两点确定一条直线．

要点诠释：

（1）点和直线的位置关系有两种：

①点在直线上，或者说直线经过这个点.如图6中，点O在直线l上，也可以说成是直线l经过点O；

②点在直线外，或者说直线不经过这个点.如图6中，点P在直线l外，也可以说直线l不经过点P.

（2）两条不同直线相交：

当两条不同的直线只有一个公共点时，称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点.

2.线段：

两点之间的所有连线中，线段最短．简记为：

两点之间，线段最短．

如图7所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．

图7

要点诠释：

（1）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．

（2）两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点.

要点三、比较线段的长短

1.尺规作图的定义：

仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图．

要点诠释：

（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．

（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．

（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．

2.线段的中点：

如下图，若点B在线段AC上，且把线段AC分成相等的两条线段AB与BC，这时点B叫做线段AC的中点．

要点诠释：

（1）若点B是线段AC的中点，则点B一定在线段AC上且，或AC＝2AB＝2BC．

（2）类似地，还有线段的三等分点、四等分点等．

3.用尺规作线段或比较线段

（1）作一条线段等于已知线段：

用圆规作一条线段等于已知线段．例如：

下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．

要点诠释：

几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段.

（2）线段的比较：

叠合比较法：

利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：

要点诠释：

线段的比较方法除了叠合比较法外，还可以用度量比较法．

【典型例题】

类型一、相关概念

1.下列说法中，正确的是（）.

A．射线OA与射线AO是同一条射线.

B．线段AB与线段BA是同一条线段.

C．过一点只能画一条直线.

D．三条直线两两相交，必有三个交点.

【答案】B

【解析】射线OA的端点是O，射线AO的端点是A，所以射线OA与射线AO不是同一条射线，故A错误；过一点能画无数条直线，所以C错误；三条直线两两相交，有三个交点或一个交点（三条直线相交于一点时），所以D错误；线段AB与线段BA是同一条线段，所以B正确．

【总结升华】直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是表示端点的字母写在前面，不能互换．

举一反三：

【变式1】以下说法中正确的是  （）.

A．延长线段AB到CB．延长射线AB

C．直线AB的端点之一是AD．延长射线OA到C

【答案】A

【变式2】如图所示，请分别指出图中的线段、射线和直线的条数，并把它们分别表示出来.

【答案】

解：

如下图所示，在直线上点A左侧和点C右侧分别任取点X和Y.

图中有6条射线：

射线AX、射线AY、射线BX、射线BY、射线CX、射线CY.

有3条线段：

线段AB（或BA）、线段BC（或CB）、线段AC（或CA）

有1条直线：

直线AC（或AB，BC）.

类型二、有关作图

2．如图所示，线段a，b，且a＞b．

用圆规和直尺画线段：

（1）a+b；

（2）a-b．

【答案与解析】

解：

（1）画法如图

（1），画直线AF，在直线AF上画线段AB＝a，再在AB的延长线上画线段BC＝b，线段AC就是a与b的和，记作AC＝a+b．

（2）画法如图

（2），画直线AF，在直线AF上画线段AB＝a，再在线段AB上画线段BD＝b，线段AD就是a与b的差，记作AD＝a-b．

【总结升华】在画线段时，为使结果更准确，一般用直尺画直线，用圆规量取线段的长度．

举一反三：

【变式1】下列语句正确的是（　　）.

A．画直线AB＝10cm.　　　B．画直线AB的垂直平分线.

C．画射线OB＝3cm.　　　D．延长线段AB到C使BC＝AB.

【答案】D

【变式2】用直尺作图：

P是直线a外一点，过点P有一条线段b与直线a不相交.

【答案】

解：

类型三、有关条数及长度的计算

3.如图，A、B、C、D为平面内任意三点都不在同一条直线上的四点，那么过其中两点，可画出条直线.

【思路点拨】根据两点确定一条直线即可计算出直线的条数．

【答案】6条直线

【解析】由两点确定一条直线知，点A与B,C,D三点各确定一条直线，同理点B与C、D各确定一条直线，C与D确定一条直线，综上：

共有直线：

3+2+1=6（条）.

【总结升华】平面上有个点，其中任意三点不在一条直线上，则最多确定的直线条数为：

．

举一反三：

【变式1】如图所示，已知线段AB上有三个定点C、D、E．

（1）图中共有几条线段？

（2）如果在线段CD上增加一点，则增加了几条线段？

你能从中发现什么规律吗？

【答案】

解：

（1）线段的条数：

4＋3＋2＋1＝10（条）；

（2）如果在线段CD上增加一点P，则P与其它五个点各组成一条线段，因此，增加了5条线段.

（注解：

若在线段AB上增加一点，则增加2条线段，此时线段总条数为1＋2；若再增加一点，则又增加了3条线段，此时线段总条数为1＋2＋3；…；当线段AB上增加到n个点（即增加n－2个点）时，线段的总条数为1＋2＋……＋（n－1）＝n（n－1）.）

【变式2】如图直线m上有4个点A、B、C、D，则图中共有________条射线．

【答案】8

4.如图所示，AB＝40，点C为AB的中点，点D为CB上的一点，点E是BD的中点，且EB＝5，求CD的长．

【思路点拨】显然CD＝CB－BD，要求CD的长，应先确定CB和BD的长．

【答案与解析】

解：

因为AB＝40，点C为AB的中点，

所以．

因为点E为BD的中点，EB＝5，

所以BD＝2EB＝10．所以CD＝CB-BD＝20-10＝10．

【总结升华】求线段的长度，注意围绕线段的和、差、倍、分展开，若每一条线段长度均已确定，所求问题便可迎刃而解．

举一反三：

【变式】在直线l上按指定方向依次取点A、B、C、D，且使AB：

BC：

CD=2：

3：

4，如图所示，若AB的中点M与CD的中点N的距离是15cm，求AB的长.

【答案】

解：

依题意，设AB＝2xcm，那么BC＝3xcm，CD＝4xcm．则有：

MN=BM+BC+CN=x+3x+2x=15

解得：

所以AB=2x=cm.

类型四、最短问题

5.如图所示，在一条笔直公路a的两侧，分别有A、B两个村庄，现要在公路a上建一个汽车站C，使汽车站到A、B两村的距离之和最小，问汽车站C的位置应如何确定?

【答案与解析】

解：

如图，连接AB与直线a交于点C，这个点C的位置就是符合条件的汽车站的位置．

【总结升华】“两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用，此类问题要与线段的性质联系起来，这里线段最短是指线段的长度最短，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，线段是图形，线段长度是数值．

举一反三：

【变式】

（1）如图1所示，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化?

（2）如图2，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响?

与修一座直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程?

说出上述问题中的道理．

【答案】

解：

（1）河道的长度变小了．

（2）由于“两点之间，线段最短”，这样做增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏湖面风光，起到“休闲”的作用．