数学与应用数学专业毕业论文文档格式.docx
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摘要:
多项式理论是高等代数的主要内容之一,它与初等数学有着密切的联系，它解决了初等数学中关于多项式的很多遗留问题.本文将从因式分解、一元高次方程、多项式的恒等、证明一类数是无理数等方面来探究多项式理论在初等数学中的应用，并给出了若干应用方法，彻底解决了一元多项式的理论问题，促使师范专业的学生了解到高等代数对初等数学的指导作用，体会初等数学与高等代数之间的联系，加强学生对多项式理论的学习，以便将来为从事中学数学的教师提供帮助.
关键词:
因式分解;
一元高次方程;
多项式的恒等;
艾森斯坦判断法
Polynomialtheoryintheapplication
ofelementarymathematics
Abstract:
Polynomialtheoryisoneofthemaincontentofadvancedalgebra,itiscloselyrelatedwithelementarymathematics,itsolvesmanylegacyofpolynomialinelementarymathematics.Thispaperwillexploretheapplicationofpolynomialtheoryinelementarymathematicsfromfactorization,ahighdegreeunivariateequation,polynomialidentity,toprovethataclassisanirrationalnumberetc,andintroducesomeapplicablemethods,thoroughlysolvetheproblemofpolynomialtheory,promptingnormalprofessionalstudentstounderstandtheguidancefunctionofadvancedalgebratoelementarymathematics,tounderstandthelinkbetweenelementarymathematicsandadvancedalgebra,tostrengthenthestudenttothestudyofpolynomialtheory,inordertohelpthemiddleschoolmathematicsteacherinthefuture.Keywords:
Factorization;
Ahighdegreeunivariateequation;
Polynomialidentity;
Eisensteinjudgmentmethod
0引言
多项式不仅是中学代数的主要内容之一，也是代数学的一个基本概念，在数学本身和实际应用中都常遇见它•但因为高等代数与初等数学在研究对象、方法上出现了不同，加之它的抽象性，造成许多数学专业的大学生认为，“教中学用不上高等代数”，因此许多数学师范生对学习高等代数这门课程不够重视.那么如何运用高等代数来指导中学数学便成了值得探讨的问题.本文将运用高等代数中的多项式理论方面的知识来处理初等数学中的一些遗留问题.通过一些实例，使师范院校的学生充分了解到高等代数对初等数学的指导作用•
1判断能否分解因式
多项式的因式分解是指在给定的数域F上，把一个多项式表示成若干个不可约多项式的乘积.我们知道，一个多项式可能在一个数域上不可约，但在另一数域上可约.例如多项式x2-2在有理数域上不可约，因为它不能分解成有理数域上两个一次多项式的乘积，但这个多项式在实数域上可约，因为x2-2=（X-,2）（x.2）.
因为在初等数学中，我们接触最多的是有理数域上的多项式且多项式次数不超过5
次，所以本文将在有理数域上对因式分解作进一步探讨•
1.1待定系数法
按照已知条件把原式假设为若干个因式的乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，根据恒等原理，建立待定系数的方程组，求出待定系数•
例1判断x4-2x3•8x-1在有理数域上能否分解因式.
解令f（x）=X4-2X3•8x-1，因为f（_1）=0，所以f（x）无一次因式.若一个整系数n（n・0）多项式f（x）在有理数域上可约，那么f（x）总可以分解成次数都小于n的两个整数系数多项式的乘积.则可设f（x^（x2mx1）（x2nx-1），其中m,n为整数.即
43432
x「2x8x「1二x（mn）xmnx（n「m）x「1
mn=_2①
比较等式两端的对应项系数，得mn=0②？
n_m=8③
由②知m=0或n=0，若m=0，则n--2但n-m--2-0--2^-8；
若n=0，贝Um--2，但n-m=2=-8，所以f（x）不可约.即f（x）在有理数域上不能分解因式.
1.2艾森斯坦判断法
定理1⑴（艾森斯坦判断法）设f（x）•|l|anxn是一个整系数多项式.若是
能够找到一个素数p使
（i）最高次项系数an不能被p整除；
（ii）其余各项的系数都能被p整除；
（iii）常数项ao不能被p2整除，
那么多项式f（x）在有理数域上不可约.
例2⑴判断xn2在有理数域上能否分解因式.
解令f（x^xn2，易找到素数p=2，满足上述条件，2?
1，2|2，22?
2，故f（x）在有理数域上不可约.即xn2在有理数域上不能分解因式.
艾森斯坦判断法不是对于所有整系数多项式都能应用的，因为满足判断法中条件的素数p不一定存在.若是对于某一多项式f（x）找不到这样的素数p，那么f（x）可能在有理数域上可约，也可能不可约.例如，对于多项式x23x2与x21来说，都找不到一个满足判断法的条件素数p，但显然前一个多项式在有理数域上可约，而后一个多项式不可约.虽然有时对于某一多项式f（x）来说，艾森斯坦判断法不能直接应用，但是我们可以把f（x）适当变形后，就可以应用这个判断法，例如x21，令x二y•1得g（y）-y22y2，因为2?
2，所以x21在有理数域上不可约.
以上通过待定系数法和艾森斯坦判断法，我们就可以知道多项式能否分解因式.
2分解因式
在初等数学中，我们接触的分解因式常用的方法都比较简便、特殊，如提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法，拆项法，添项法等，这里我将介绍多项式理论中的三种方法来解决较高次多项式的因式分解问题.
2.1综合除法
综合除法用以寻找所给整系数多项式f（x）的一次因式，f（x）有因式x-a的充要条件是f（a）=0，a就是f（x）的一个根.当a是有理数时，可用综合除法试除予以确定.这种方法的依据是：
如果整系数多项式
f（x）二anxn■an4xnJyx■a0
有因式x-Q（p，q是互质的整数）则p一定是an的约数，q—定是a。
的约数.
p
具体做法是：
（1）先写出整系数多项式f（x）的首项系数an和常数项a0的所有因数，然后以an的因数为分母，a。
的因数为分子，做出所有可能的既约分数（包括整数），如果f（x）有有理根，则必在这些既约分数中，因此它们是f（x）可能的试除数.
例3在有理数域上分解多项式x3-6x2+15x-14.
解这个多项式的最高次项系数1的因数是_1，常数项-14的因数是_1,_2一7,_14.所以可能的有理根是1,_2,_7,_14.我们算出，f
（1）=4,f（_1）=36.所以都不是f（x）的根.另一方面，由于丄，上4,工，—都不是整数，所以-2,_7,_14都不是f（x）的
1+21—71+71-141+14
根.但4,4都是整数，所以有理数2在试验之列，
1-21+2
应用综合除法2|1-615-14
2-814
1-470
所以2是f（x）的一个根，同时我们得到f（x）=（x-2）（x2-4x7）.容易看出，2不是f（x）的一个重根.从而f（x）=（x-2）（x2-4x7）
应用综合除法分解多项式可以使解题思路清晰，解题过程简洁，不易出错，但它必须建立在多项式有有理根的基础上.如果多项式需要试除的因子过多，则每个因子都要进行一次相应的综合除法，这就给计算增加了困难•
2.2待定系数法
用待定系数法分解因式，首先要根据题设条件，判定原式分解后形成的因式乘积的形式，然后再列方程（组）确定待定系数的值•
例4在有理数域上分解多项式x4•x3-5x-3.
解先用综合除法，可能的试除数是一1,一3，试除结果都被排除，因此原式在有理数域上没有一次因式.假定原式含有x的二次因式，设
4322432
xx「5x「3二（xmxk）（xnxI）=x（mn）x（kmnl）x（mlnk）xkl
m+n=1①
mn+k+1=0
比较等式两端对应项的系数，得方程组＜mnk0
ml+nk=-5
kl=—3④
u
上面④的k,l同是原式常数项-3的因数，因此k和丨的值可能有下面四组.
k-1
将k'
代入③式得-3mn—5
I_-3
31
但是m=3,n=一—,k=1,1=—3不满足②式,因此不是方程的解.
22
k-_1
将J-代入③，得3m_n=-5⑥
I=3
将①、⑥联立，解得m=一1,n=2.
并且m=-1,n=2,k=-1,I=3满足②，因此是方程组的解.
所以x4x3_5x_3二x2_x_1x22x3
待定系数法比较简单，也容易理解，但会涉及到解多个方程组，计算量往往会加大•只有在分解因式前先观察最高次项系数与常数项系数，再找出多项式的所有有理根，才能有效降低待定系数法的难度•
2.3分离重因式法⑶列
设：
：
°
f（x）O,f（x）有典型分解式
kkk
f（x）=ap1（x）1P2（x）2Pr（x）r，
若（f（x）,f'
（x））1,有f'
（x）=P1（x）k1_1P1（x）k2_1Pr（x）kr'
g（x）且g（x）不能被Pi（x）
（i1,2，…r）整除.利用最大公因式法得
（f（x）,f'
（x））=f'
（x）=P1（X）k1‘P2（X）k2乙…Pr（x）kr」.
令f（x）=（f（x）,f'
（x））g（x）比较上述有关式子可知q（x）=P1（x）…Pr（x）.上述意思是若用f（x）除以（f（x）,f'
（x）），则得商q（x）是一个与f（x）具有完全相同的不可约因式而没有重因式的多项式•由此得思想：
若将q（x）能分解的话，便知f（x）的不可约因式，再确定每个不可约因式在f（x）的重数（作带余除法直至不能整除）
例5在有理数域上分解多项式f（x）二x4■5x3•6x2-4x-8.
解第一步：
求f'
（x），f'
（x）=4x315x212x-4
第二步：
求f（x）,f（x），（f（x）,f（x））=x24x4第三步：
由带余除法得：
f（x^（x24x4）（x2^2）第四步：
分解q（x）:
q（x）（x-1）（x2）第五步：
确定每个因数的重数，…（x-1）|f（x），（x-1）2?
f（x）
.f（x）=（x-1）（x2）3
分离重因式法是线性代数中的一种基本方法，用途十分广泛，但它必须建立在多项式有重因式的基础上，否则就无法使用•
因式分解是一项重要的基本技能训练，在分式运算，解方程和各种恒等变换中都要经常用到因式分解，所以对因式分解我们应给予足够重视.
3一元高次方程
定理2⑴设F（x）中n（n0）次多项式f（x）二gx"
印乂心…寺心。
=1）在复数域C中有n个根〉1「2,…「n则根与系数的关系是
_=_（：
•1"
2n）
ao
02"
2—…“八
—-2--3--_-2-^j：
n2n」〉n）
0o
Onn
—十1）：
十2…〉nJn
Oo
定理3⑴（代数基本定理）任何n（n.0）次多项式在复数域上至少有一个根.
定理4⑴若实数多项式f（x）有一个非实的复数根〉，那么〉的共轭根「也是f（x）的根，并且二与〉有同一重数.换句话说，实系数多项式的非实的复数根两两成对.
3.1已知方程的所有的根，求方程.
例6求所有以有理数p,q,m为根的方程x3px2qx=0
p+q+m=-p①
解利用根与系数的关系知p,q,m满足pqqm■pm=q②
iPqm=-m③
（i）若P=0（或q=0），由③知m=0，代入①得q=0（或p=0）
（ii）若p=0,q=0,但m=0，由②得p=1，代入①得q=-2，显然，1,-2,0是方程x3•x2-2x=0的根；
（iii）若p,q,m均不为0,由③得q=-l代入①②得q4，q3-q2*2=0这个方程有
且仅有一个有理根q--1，从而p=1，m--1.显然x3'
x2-x-1二0有根1和重根-1.
综上所述，所求方程为x3=0或x3x2-2x=0或x3x2-x-1=0
例7⑸求有单根5与-2以及二重根3的四次多项式.
解由根与系数的关系知：
6一（5-233）一9，
a2=5（-2）5353（-2）3（-2）333=17，
a3—[5（-2）35（-2）3533（-2）33]=33，
a4=5（—2）33=—90.
因此所求多项式是f（x）=x4-9x317x233x-90或
f（x）=ax4-9ax317ax233ax-90a（a=0）.
3.2已知方程的部分根，求解方程.
例8已知方程4x^3x23x^0有一个根是匚色，解此方程.
2
解因为实系数方程的虚根成对出现，故匕卫也是上述方程的根，由代数基本定
理可知此方程有4个根,设此方程其余两根为〉、1,由根与系数的关系得
'
1+>
?
3i1-V3i冉、3
』224
13iJ-凋杨+b）J—岳心=-
2224
解得，一-丄，即-丄是所给方程的二重根，所以原方程的根为匕卫，丄3,一丄.
22222
此题还可用综合除法求得-丄是所给方程的二重根，然后再利用实系数多项式的非实
复根两两成对理论求出方程的另一根.
3.3已知方程组，求方程组的解.
『f（x）=0ff（x）=0
形如方程组（）其中f（x），g（x）都是一元高次方程，求方程（）的解.
lg（x）=0lg（x）=0
对于这类题，我们可以考虑从方程组的公共根出发，利用辗转相除法求f（x）和g（x）的最大公因式，再令其等于零.
lx4-2x‘-4x2亠4x-3=0
例9解方程组x32x24x4x30
[2x3_5x2_4x+3=0
解令f（x）=x4-2x3-4x24x-3，g（x）二2x3-5x2-4x3，对f（x），g（x）施行辗转相除法，求得（f（x）,g（x））=x-3，令x-3=0，得x=3.即原方程组的解是x=3.
4多项式的恒等
定理5⑴（多项式恒等定理）数域F上的两个多项式
f（x）二anxnan」xn‘aixa。
g（x）二bmxmbmdxmdJ|lbixb°
恒等的充要条件是它们的次数相同，且同次项系数对应相等即n二m,且
◎二b（i=1,2jHn）
例10对于任意的实数x,y,不等式x2+6xy+9y2+20x+my+n>
0恒成立，求满足条件的a,b.
解要使上述不等式成立，只要x26xy9y220xmyn是一个实数式的平方加上一个正数；
于是令x26xy9y220xmyn=（x3ya）2（aR）
则x26xy9y220xmyn=x26xy9y22ax6aya2；
由定理5知
2a=20a=10
II
m=6a=m=60
n=100；
；
=n-100
所以当m=60，且n100时，原不等式恒成立•
例11若a为任意实数，证：
直线系
（2a2a3）x（3a2-a-5）y（4a2-3a-13）=0必经过定点
证明将上述直线系转化成关于a的恒等式
（2x3y4）a（x-y-3）a3x-5y-13=0
此恒等式对于任意实数a是恒成立的，所以由定理5知
12x3y4=0
x=1
*x-y-3=0解得g
[y=-2
（3x_5y_13=0l
故直线系（2a2a3）x（3a2-a-5）y（4a2-3a-13）=0必经过定点（1，-2）.
定理6⑴如果数域F上有两个次数不大于n的多项式f（x）和g（x），对于x的n1个不同的值都有相等的值，那么它们恒等，即f（x）=g（x）.
例12求证（x-bXx-c）（x-c）（x-a）（x-a）（x-b）=1其中a,b,c为互不相等的（a-b）（a—c）（b_c）（b_a）（c-a）（c-b）
复数•
证明令f（x）=（x-b）（x-c）（x-c）（x-a）（x-a）（x-b）
（a—b）（a_c）（b_c）（b_a）（c_a）（c_b）
它是一个二次式，但当x分别以a,b,c代入时有f（a）=f（b）=f（c）二1且abc，根据
定理6有（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）+（x-a）（x-b）'
（a-b）（a-c）（b-c）（b-a）（c-a）（c-b）
定理7⑹（拉格朗日插值恒等式）对于给定数域F里的n-1个互不相同的数
印总，,an1以及n，1个不全为0的数^息,黑，总有一个次数不超过n的多项式f（x）使得f佝）=b，i=12…n+1.且这个多项式可以唯一表示为
©
b/x-aj川（x-aJ（x-a^）川（x-an出）
f（x）二
g（ai—印）111佝—aiS（ai—ai4r）lll⑻—a^）
例13求一个2次多项式，使它在x=0,—,二处与函数sinx有相同的值.
解由题意得f（0）=sin0=0,f（^）=si门㊁=1,f
（二）=sin“：
-0,由定理7得
1（x-0）Q"
x.
（訂）（汀:
）二二
例14⑺已知函数f（x）二ax2-c，满足-仁，-仁f
（2）乞5，那么f（3）
应满足（一仁f（3）<
20）
解.f（x）=ax2-c.f（-1）=f
（1）
由拉格朗日插值多项式有
f（x^f（—1）（xj）（x—2）+f
（1）（x+1）（x—2）+f
（2）（x+1）（xj）
（一1一1）（一1一2）（1+1）（1-2）（2+1）（2-1）
1212
「3（x-4）f
（1）-（x-1）f⑵
从而f（3）--5f
（1）8f
（2）
35
又，/空f
（1）空_1，_1乞f
（2）空5.—1zf（3）乞20
5证明一类数是无理数
在初等代数中，我们是利用有理数与无理数的区别来证明无理数的（见证法二）这里我们可以考虑用多项式理论中的方法来解决•我们可以先构造等式，然后利用艾森斯坦判断法或待定系数法证明其在有理数域上的不可约性，说明多项式没有有理根，但它又是多项式的根，从而得出这个数是无理数.
定理8⑴若P1，P2…Pt是t个不相同的素数，而n是一个大于1的整数，那么
nP1P2Pt是一个无理数•
证明设X二nP1P2iHPt=xn=P1P2“IPt令f（x）=xn-P1P2IIIPt
则an-1，a。
=P1P2Pt，取素数P=P1，P1?
1，P1I0，但P12?
（-卩1P2川Pt）
由艾森斯坦判断法知f（X）二Xn-以卩2川Pt在有理数域上不可约，故x^P-!
P2Pt无有理根，但n口P2Pt是f（x）的根，从而nPiP2Pt只能是无理数•
例15证明、2是无理数•
证法1设x=、、2=x2-2=0令f（x）=x2-2，则a^1，印=0,a0=-2.令p=2，则2?
1，2|0，22?
（-2）.故x2-2在有理数域上不可约，即x2-2无有理根，但、2是f（x）的根，从而\2只能是无理数.
证法2设2不是无理数，而是有理数.既然2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：
-.2二p.q，再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为pq为最简分数,即最简分数形式.把2=pq两边平方得2=p2「q2即2q2p2.由于2q2是偶数，p必定是偶数，设p=2m，由2q2=4m2得q2=2m2.同理q必然也为偶数.设q=2n，
既然p和q都是偶数，它们必定有公因数2，这与前面假设pq是最简分数矛盾.这个矛盾是由,2是有理数引起的.因此..2是无理数.
例16证明、、是无理数.
证明设x='
、
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