特殊的平行四边形能力提升卷及参考答案.doc
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八年级下册特殊的平行四边形能力提升卷
一、选择题
B
A
C
D
1.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC等于（）A.20B.15 C.10 D.5
2.如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F
分别在边AB、CD、AD、BC上.小明认为：
若MN＝EF，则MN⊥EF；
小亮认为:
若MN⊥EF，则MN＝EF.你认为（ ）
A.仅小明对 B.仅小亮对 C.两人都对 D.两人都不对
3.如图
（1），把一个长为m、宽为n的长方形（m＞n）沿虚线剪开，拼接成
图
（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（）
m
n
n
n
（2）
（1）
A. B.m－nC. D.
4.如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，
A．
B．
C．
D．
则纸片展开后是（ ）
E
D
C
B
A
O
A
B
C
D
5.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5.过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，
则AE的长是（）A.1.6 B.2.5 C.3 D.3.4
6.如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两
邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）
A.10cm2 B.20cm2 C.40cm2 D.80cm2
7.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝，
则点B的坐标为（）A.（，1） B.（1，） C.（+1，1） D.（1，+1）
x
y
O
C
B
A
8.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，
∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，
并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）
A. B.2 C.3 D.2
A
D
E
P
B
C
A
B
C
Q
R
M
D
9.如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（）
A.2 B.4－π C.π D.π－1
10.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，
点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的
和最小，则这个最小值为（）
A.2B.2C.3D.
N
M
F
E
D
C
B
A
O
B
A
H
C
C
二、填空题11.长方形一条边长为3cm，面积为12cm2，则该长方形另一条边长为＿＿＿cm.
12.如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落
在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线
段CN的长是＿＿＿.
13.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于＿＿＿.
14.如图，菱形的对角线相交于点请你添加一个条件：
＿＿＿，使得该菱形为正方形.
A
B
C
D
D
C
B
A
O
O
15.如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是＿＿＿.
16.如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在＿＿＿点.
17.如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是＿＿＿.
18.若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为＿＿＿.
19.如图，菱形ABCD的对角线长分别为a、b，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A1B1C1D1，然后再以矩形A1B1C1D1的中点为顶点作菱形A2B2C2D2，…，如此下去，得到四边形A2009B2009C2009D2009的面积用含a、b的代数式表示为＿＿＿.
20.如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将
N
M
D
C
B
A
E
A′
纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点
记为A′，折痕交AD于点E，若M、N分别是AD、BC边
的中点，则A′N＝＿＿＿；若M、N分别是AD、BC边的
上距DC最近的n等分点（n≥2，且n为整数），
则A′N＝＿＿＿（用含有n的式子表示）.
三、解答题
21.已知：
如图，在矩形ABCD中，AF＝BE.求证：
DE＝CF.
B
C
D
A
E
F
C
D
E
M
A
B
F
N
22.两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE如图放置，AB＝BF，求证：
四边形BNDM为菱形.
23.如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内.
A
C
B
D
P
Q
求证：
（1）∠PBA＝∠PCQ＝30°；
（2）PA＝PQ.
24.如图菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2.
E
D
C
B
A
F
（1）求证：
△BDF≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由.同时指出△BCF是由△BDE经过如何变换得到?
A
C
D
B
图①
A
C
D
B
图②
F
E
G
25.
（1）观察与发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）.小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？
请说明理由.
（2）实践与运用：
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）.求图⑤中∠α的大小．
E
DD
C
F
B
A
图③
E
D
C
A
B
F
G
A
D
E
C
B
F
G
α
图④
图⑤
26.问题解决
图2
N
A
B
C
D
E
F
M
如图1，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN.当＝时，求的值.
N
图1
A
B
C
D
E
F
M
方法指导：
为了求得的值，可先求BN、AM的长，不妨设AB＝2
类比归纳
在图1中，若＝，则的值等于＿＿＿；若＝，则的值等于＿＿＿；若＝（n为整数），则的值等于＿＿＿.（用含n的式子表示）
联系拓广
如图2，将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，设＝（m＞1），＝，则的值等于＿＿＿.（用含m，n的式子表示）
参考答案
1.D.点拨：
利用菱形和等边三角形的性质；
2.C；
3.A.点拨：
利用整式的运算及特殊平行四边形的面积求解；
4.D；
5.D.点拨：
利用矩形的性质、勾股定理求解；
6.A.点拨：
菱形的面积等于对角线乘积的一半；
7.C.点拨：
利用菱形的性质与判定、直角三角形的有关计算、平面内点的坐标的意义；
8.C；
9.B；
10.A.点拨：
易求得正方形的边长等于2，由于正方形是轴对称图形，所以点D与点B是关于AC对称，所以BE与AC的交点即为使PD+PE的和最小的点P位置，此时PD+PE的和最小等于BE，即为正方形的边长.
11.4；
12.3cm.点拨：
设CN＝xcm.因为正方形的边长为8cm，点E是BC中点，所以EC＝4cm，又因为由折叠的原理可知EN＝DN＝8－x，在Rt△ECN中，由勾股定理，得EN2＝EC2+CN2，即（8－x）2＝42+x2，解得x＝3.即线段CN的长是3cm；
13.3.点拨：
利用菱形的性质和直角三角形斜边上中线的性质求解，或利用菱形的性质和三角形中位线性质求解；
14.答案不惟一.如，AB⊥BC，或AC＝BD，或AO＝BO等；
15.17；
16.B.点拨：
因为有两个全等菱形，则周长和等于8，所以微型机器人由A点开始行走，每运动8米，则又回到A点，而2009÷8＝251…1，所以微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米时则在点B处停下；
17.14，或16，或26.点拨：
①长为4，宽为3；②长为12，宽为1；③长为6，宽为2；
18.，或.点拨：
分两种情况：
若点F在DC上，因为BF＝AE，且AB＝BC，则△ABE≌△BCF，则∠BAE＝∠BFC，则∠BME＝90°，则AB×BE＝AE×BM，则BM＝；若点F在AD上，此时可连接FE，则可证明四边形ABEF这矩形，则对角线互相平分，则BM＝；
19.ab.点拨：
利用矩形、菱形的面积及归纳法求解；
20.、.点拨：
由折叠，得BA′＝AB＝1，若M、N分别是AD、BC边的中点，BN＝，则A′N＝＝＝.若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n≥2，且n为整数），BN＝，则A′N＝＝＝.
21.因为AF＝BE，EF＝EF，所以AE＝BF.因为四边形ABCD是矩形，所以∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，所以△DAE≌△CBF，所以DE＝CF.
22.因为四边形ABCD、BFDE是矩形，BM∥DN,DM∥BN，所以四边形BNDM是平行四边形.又因为AB＝BF＝ED，∠A＝∠E＝90°∠AMB＝∠EMD，所以△ABM≌△EDM，所以BM＝DM，所以平行四边形BNDM是菱形.
23.
（1）因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC＝∠BCD＝90°.因为△PBC和△QCD是等边三角形，所以∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，所以∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°，所以∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，即∠PBA＝∠PCQ＝30°.
（2）因为AB＝DC＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC，所以△PAB≌△PQC，所以PA＝PQ.
24.
（1）因为菱形ABCD的边长为2，BD＝2，所以BD＝BC，且∠BDE＝∠BCF＝60°.因为AE+CF＝2，而AE+DE＝AD＝2，所以DE＝CF，所以△BDE≌△BCF.
（2）△BEF是等边三角形.理由如下：
由
（1）得△BDE≌△BCF，所以BE＝BF，∠CBF＝∠DBE，即∠EBF＝∠EBD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝60°，所以△BEF是等边三角形.△BCF是由△BDE绕点B顺时针旋转60°得到.
25.
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