湖南省长沙市中考数学试卷解析版.doc

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2014年湖南省长沙市中考数学试卷

参考答案与试题解析　

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．的倒数是（　　）

A、2　　　　　　　　　B、－2　　　　　　　C、　　　　　　　　D、－

解：

的倒数是2，

故选：

A．

2．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（　　）

A． 圆锥 　　　　　　B．六棱柱 　　　　　C．球 　　　　　　D． 四棱锥

解：

A、圆锥的主视图、左视图、俯视图分别为等腰三角形，等腰三角形，圆及圆心，故A选项不符合题意；

B、六棱柱的主视图、左视图、俯视图分别为四边形，四边形，六边形，故B选项不符合题意；

C、球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故C选项符合题意；

D、四棱锥的主视图、左视图、俯视图分别为三角形，三角形，四边形，故D选项不符合题意；

故选C．

3．（3分）（2014•长沙）一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是（　　）

A．

3和3

B．

3和4

C．

4和3

D．

4和4

解：

将数据从小到大排列为：

2，3，3，4，8，

则中位数是3，平均数==4．

故选B．

4．（3分）（2014•长沙）平行四边形的对角线一定具有的性质是（　　）

A．

相等

B．

互相平分

C．

互相垂直

D．

互相垂直且相等

解：

平行四边形的对角线互相平分，

故选：

B．

5．（3分）（2014•长沙）下列计算正确的是（　　）

A．

+=

B．

（ab2）2=ab4

C．

2a+3a=6a

D．

a•a3=a4

解：

A、被开方数不能相加，故A错误；

B、积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故B错误；

C、系数相加字母部分不变，故C错误；

D、底数不变指数相加，故D正确；

故选：

D．

6．（3分）（2014•长沙）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（　　）

A．

2cm

B．

3cm

C．

4cm

D．

6cm

解：

∵AB=10cm，BC=4cm，

∴AC=AB﹣BC=6cm，

又点D是AC的中点，

∴AD=AC=43m，

答：

AD的长为3cm．

故选：

B．

7．（3分）（2014•长沙）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（　　）

A．

x＞1

B．

x≥1

C．

x＞3

D．

x≥3

解：

一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，

则该不等式组的解集是x＞3．

故选：

C．

8．（3分）（2014•长沙）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（　　）

A．

1

B．

C．

2

D．

2

解：

∵菱形ABCD的边长为2，

∴AD=AB=2，

又∵∠DAB=60°，

∴△DAB是等边三角形，

∴AD=BD=AB=2，

则对角线BD的长是2．

故选：

C．

9．（3分）（2014•长沙）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：

A、最小旋转角度==120°；

B、最小旋转角度==90°；

C、最小旋转角度==180°；

D、最小旋转角度==72°；

综上可得：

顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．

故选A．

10．（3分）（2014•长沙）函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：

a＞0时，y=的函数图象位于第一三象限，y=ax2的函数图象位于第一二象限且经过原点，

a＜0时，y=的函数图象位于第二四象限，y=ax2的函数图象位于第三四象限且经过原点，

纵观各选项，只有D选项图形符合．

故选D．

二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）

11．（3分）（2014•长沙）如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2=　110　度．

解：

∵∠1=70°，

∴∠3=∠1=70°，

∵a∥b，

∴∠2+∠3=180°，

∴∠2=180°﹣70°=110°．

故填110．

12．（3分）（2014•长沙）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是　（2，5）　．

解：

∵抛物线y=3（x﹣2）2+5，

∴顶点坐标为：

（2，5）．

故答案为：

（2，5）．

13．（3分）（2014•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=　50　度．

解：

∠ACB=∠AOB=×100°=50°．

故答案是：

50．

14．（3分）（2014•长沙）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k=　2　．

解：

依题意，得

2×12﹣3k×1+4=0，即2﹣3k+4=0，

解得，k=2．

故答案是：

2．

15．（3分）（2014•长沙）100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是　　．

解：

∵100件外观相同的产品中有5件不合格，

∴从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是：

=．

故答案为：

．

16．（3分）（2014•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为　18　．

解；∵在△ABC中，DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC．

∵=，

∴=（）2=，

，

∴S△ABC=18，

故答案为：

18．

17．（3分）（2014•长沙）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF=　6　．

证明：

∵AB∥DE，

∴∠B=∠DEF

∵BE=CF，

∴BC=EF，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS），

∴AC=DF=6．

故答案是：

6．

18．（3分）（2014•长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是　（﹣1，0）　．

解：

作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，

∵A点的坐标为（2，3），B点的坐标为（﹣2，1），

∴C（2，﹣3），

设直线BC的解析式是：

y=kx+b，

把B、C的坐标代入得：

解得．

即直线BC的解析式是y=﹣x﹣1，

当y=0时，﹣x﹣﹣1=0，

解得：

x=﹣1，

∴P点的坐标是（﹣1，0）．

故答案为：

（﹣1，0）．

三、解答题（共2小题，每小题6分，共12分）

19．（6分）（2014•长沙）计算：

（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．

解：

原式=1+2﹣3+1=1．

20．（6分）（2014•长沙）先简化，再求值：

（1+）+，其中x=3．

解：

原式=•

=•

=，

当x=3时，原式==．

四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）

21．（8分）（2014•长沙）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：

请根据所给信息解答以下问题：

（1）请补全条形统计图；

（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？

（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．

解：

（1）根据题意得：

喜欢“唆螺”人数为：

50﹣（14+21+5）=10（人），

补全统计图，如图所示：

（2）根据题意得：

2000××100%=560（人），

则估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有560人；

（3）列表如下：

A

B

C

D

A

（A，A）

（B，A）

（C，A）

（D，A）

B

（A，B）

（B，B）

（C，B）

（D，B）

C

（A，C）

（B，C）

（C，C）

（D，C）

D

（A，D）

（B，D）

（C，D）

（D，D）

所有等可能的情况有16种，其中恰好两次都摸到“A”的情况有1种，

则P=．

22．（8分）（2014•长沙）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．

（1）求证：

△AOE≌△COD；

（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．

解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，∠B=∠D=90°，

∵矩形ABCD沿对角线AC折叠点B落在点E处，

∴AB=AE，∠B=∠E，

∴AE=CD，∠D=∠E，

在△AOE和△COD中，

，

∴△AOE≌△COD（AAS）；

（2）解：

∵△AOE≌△COD，

∴AO=CO，

∵∠OCD=30°，AB=，

∴CO=CD÷cos30°=÷=2，

∴△AOC的面积=AO•CD=×2×=．

五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）

23．（9分）（2014•长沙）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．

（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？

（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？

解：

（1）设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗（400﹣x）棵，由题意，得

200x+300（400﹣x）=90000，

解得：

x=300，

∴购买乙种树苗400﹣300=100棵，

答：

购买甲种树苗300棵，则购买乙种树苗100棵；

（2）设至少应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（400﹣a）棵，由题意，得

200a≥300（400﹣a），

解得：

a≥240．

答：

至少应购买甲种树苗240棵．

24．（9分）（2014•长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．

（1）求证：

DE⊥AC；

（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．

解答：

（1）证明：

连接OD，

∵D是BC的中点，OA=OB，

∴