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6矩阵的秩与线性变换13
参考文献16
0引言
矩阵理论是高等代数的主要内容之一,在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中,矩阵的秩是一个重要的概念.它是矩阵的一个数量特征,而且是初等变换下的不变量.本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系;
线性方程组的求解;
空间中点面位置关系;
二次型理;
线性变换等问题的密切的联系.
1矩阵的秩的定义及简单的公式
1.1矩阵的秩的定义
定义一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩,矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.矩阵的行秩等于矩阵的列秩,并统称为矩阵的秩.另外,矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数,这是矩阵的秩的行列式定义.
1.2矩阵的秩的几个简单性质
（1.2.1）秩（）=0,当且仅当是零矩阵
（1.2.2）秩（）=,当且仅当||≠0
（1.2.3）设是×
矩阵,则秩（）≤
（1.2.4）秩秩+秩
（1.2.5）
（1.2.6）设,分别为与矩阵,则秩min{秩,秩,,,}.
2矩阵的秩与向量的线性关系
高等代数中,判断向量组的线性相关性时,我们的依据是向量组中的其中一个向量是否可以由其余的向量线性表出来.这种做法简单易懂,但对一些较为复杂的这类问题时解法复杂,上述方法有一定的局限性.我们可以用矩阵的秩的相关知识来解决这类问题.首先,有以下的结论.
2.1线性相关性的判断
定理2.1设令=,其中是矩阵,为维列向量,且=则
线性相关=0有非零解秩.
线性无关=0只有零解秩=.
例2.1设为阶方阵,为个线性无关的维向量,证明:
秩=的充要条件是,,,线性无关.
证明令=,那么0.
先证明必要性设秩=,所以0.令
=0（2.1.1）
用左乘（2.1.1）式得=0.所以.
即,,,线性无关.
再证明充分性因为,,,线性无关，
所以
=0,
从而0,即秩=
2.2极大线性无关组
定理2.2
（1）:
若在中存在个线性无关的向量,且都可以由线性表出,则称是的一个极大线性无关组,且称秩=.
（2）两个等价的的向量具有相同的秩.
（3）若=,其中是矩阵,若线性无关,则秩=秩.
例2.2设有向量组
（Ⅰ）=,=,=,
（Ⅱ）=,=,=.
试问：
当a为何值时,向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价?
当a为何值时,向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价？
解作初等行变换,有
=
（1）当a时,有行列式=0,秩=3,故线性方程组=均有惟一解.所以可由向量组（Ⅰ）线性表示.
行列式=60,秩=3,故可由向量组（Ⅱ）线性表示.因此向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价.
（2）当a=时,有
由于秩秩,线性方程组=无解,故向量不能由线性表示.因此,向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价.
3矩阵的秩与线性方程组的求解
线性方程组问题是高等代数中极其重要的一类问题,在解决和讨论线性方程组的解的问题时,我们可以运用矩阵的秩的知识.而线性方程组要解决的问题可以归纳为以下三类问题：
1.方程组是否有解？
2.方程组有解时,解的个数是多少？
3.如何求出解?
对于上述三个问题,无一不与矩阵的秩有关,既有下面的定理.
3.1齐次线性方程组的求解
定理3.1设齐次线性方程组
（3.1）
系数矩阵的秩.且方程组（3.1）的解空间为.则可以得到下列结论,这里表示方程组（3.1）解空间的维数．
例3.1求下列齐次线性方程组的一个基础解系,并写出全部解
解设方程组的系数矩阵为为,将用初等行变换化为阶梯形矩阵
=
因此秩=2,基础解系所含向量个数=42=2
所以原方程的同解方程组为
即,
取=1,=0代入得=,=0
得解向量=;
取=0,=1代入得=,=1
得解向量=.
所以,为原方程组的一个基础解系
那么方程组的全部解为,其中,为任意常数.
3.2非其次线性方程组的求解
定理3.2设有非齐次线性方程组
（3.2）
其中
.则有
线性方程组（3.2）有解R（）=R,即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩;
线性方程组（3.2）有唯一解
;
线性方程组（3.2）有无穷多组解
例3.2当,取何值时,线性方程组
无解?
有解?
有解时,求出一般解.
解对增广矩阵作一系列初等变换：
.
从而有：
当或者时,故方程组无解;
当,且时,<
=5,故方程组有无穷多组解,且解中含有=5-2=3个自由变量;
为求出一般解,继续对增广矩阵施行初等变换,并将=0,=2代入
从而有其中为自由变量,它们可以取任意的实数.若令则
为所求一般解（其中为任意实数）.
4矩阵的秩与空间中的点线面位置关系
判断空间中点与点;
直线与直线;
直线与平面;
平面与平面的位置关系,是代数知识在空间解析几何上的应用,体现了代数与几何的完美结合,以下我们用矩阵的秩对这几类关系作出详细的研究.
4.1相关定理
定理4.1设空间中四个点
矩阵的秩=,
则有
（1）=4时,四点异面;
（2）=3时,四点共面;
（3）=2时,四点共线;
（4）=1时,四点重合.
证明因为
（1）当=4时,向量组,,线性无关,张成整个三维空间,所以异面;
（2）当=3时,
即向量
线性无关,于是该组向量可以将向量线性表示,故四点共面,但不共线;
（3）当=2时,,与前面类似分析可得,,共线;
（4）当=1时,,即,,=0,四点重合.
定理4.2设两空间直线
设矩阵
.
矩阵的秩为，矩阵的秩为，则
（1）=4时,两直线异面;
（2）==2时,两直线重合;
（3）==3时,两直线相交;
（4）=3,=2时,两直线平行.
定理4.3
和平面:
设
则有
（1）当（）=（）=3时,直线与平面相交;
特别地,当
或者时,直线与平面垂直;
（2）当（）=（）=2时,直线在平面上;
（3）当（）=2,（）=3时,直线与平面平行.
证明联立直线与平面方程得线性方程组.,分别为系数矩阵和增广矩阵,且有23,3.
（1）当（）=（）=3时,方程组有唯一解,故直线与平面相交,当或者时,构成直线的某一平面法线向量与平面的法向量垂直,这时直线与平面垂直;
结论
（2）和（3）可类似证明.
定理4.4设平面,的方程分别为
.记,则有
（1）当（）=2时,平面与相交于一条直线;
（2）当（）=1时,平面与重合;
（3）当（）=1,（）=2时,平面与平行.
4.2定理的应用
例4.1用矩阵给出平面上个点共线的充要条件.
解设直线为
（4.1.1）
个点共线是指线性方程组（把,看成未知量）
（4.1.2）
有解,所以
个点共线方程组（4.1.2）有解
秩=秩.
例4.2判断两直线和的位置关系.
解由系数矩阵
进行初等变换得
=.
的秩=3,秩=2,故两直线平行.
例4.3判断直线:
与平面:
的位置关系.
则=2,=3.即直线平行与平面.
5矩阵的秩与二次型
矩阵的秩与二次型理论有密切的联系,我们可以用矩阵的秩的相关理论来解决二次型的问题,首先,我们有以下的结论:
5.1复数域上二次型的规范形
1复二次型=称为复数域上的规范性,其中=1或0（i=1,2,,）
2任何复二次型都可经过非退化线性替换化为规范形：
其中=秩,且规范形是唯一的.
3任何复对称阵都合同于对角阵,其中=秩.
4两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.
5.2实数域上二次型的规范形
1实二次型=称为实数域上的规范形,其中
2惯性定理任何实二次型经过非退化实线性替换都可化成标准型,标准型中的正平方项个数与负平方项个数永远是不变的,并且若
其中>
0,>
0（=1,2,,;
=1,2,,）.称为正惯性指数,为负惯性指数,为符号差;
且秩=+,其中为二次型的矩阵.
例5.1求二次型=的秩与符号差.
解设对应的矩阵为,则
=,
于是由
可得的特征值为
所以的秩=,的符号差=.
5.3矩阵的秩与二次型的正定
设二次型=,其中,那么有以下的结论：
正定的正惯性指数与秩都等于,
负定的负惯性指数与秩都等于,
半正定的正惯性指数与秩相等.
例5.2设为阶满秩矩阵,试证明:
（）是一个正定二次型,这里=.
证明设是满秩矩阵,令=,其中=,则
=是非退化线性替换,且
（）==（5.2.1）
由（5.2.1）看出,此二次型的正惯性指数与秩都等于.
所以（）是正定二次型.
例5.3设为阶实对称矩阵,且正定.为实矩阵.为的转置矩阵.试证明：
为正定矩阵的充分必要条件是秩=.
证明先证明充分性首先
由秩=,知B0,而为正定矩阵,故
>
此即为正定矩阵.
再证明必要性用反证法若秩<
则有非零实数解存在,即=0,但0,由为正定矩阵,知
0<
=（5.3.1）
另一方面,因为=0,所以
（5.3.2）
由于（5.3.1）,（5.3.2）矛盾,故秩=
所以为正定矩阵的充分必要条件是秩=.
6矩阵的秩与线性变换
线性变换问题是高等代数中的一类重要问题,同时也是线性代数的一个主要研究对象.在线性空间中,基于线性空间的一组基,可以线性变换与矩阵的关系.而矩阵的秩是矩阵的一个重要的数量特征.因此,可以用矩阵的秩来研究线性变换.
6.1矩阵的秩与核的计算
1设是上的维线性空间,是的线性变换,则称集合
为的核,记为或.
2若为V的一组基,在基下的矩阵为,则
（i）=秩
（ii）若秩=,且的基础解系为,则
=,其中且为的一组基.
6.2矩阵的秩与值域的计算
1设是上的维线性空间,是的线性变换,则称集合为的值域,记为.
2若为的一组基,在基下的矩阵为,则
（ii）令=,为的列向量.若秩=,且为的列向量组的极大线性无关组,则
V=,其中
且为的一组基.
3+==.
例6.1设是维线性空间上的线性变换,试证明:
秩=秩的充分必要条件是=.
证明
（1）先证明充分性设=,因为
（6.1.1）
且,存在,使.于是可设
其中
则
此即
（6.1.2）
由（6.1.1）,（6.1.2）即证明=.故
秩=dim=dim=秩.
再证明必要性设秩=秩,则
秩+dim=dim+dim=
=dim+dim（6.1.3）
=秩+秩
于是
dim=dim（6.1.4）
但是
（6.1.5）
于是由（6.1.4）,（6.1.5）有
=（6.1.6）
再证明
=（6.1.7）
又因为,使得,且,所以
故,即证明了（6.1.7）.
由（6.1.3）,（6.1.7）.可得=.
致谢本文是在的指导和帮助下完成的,在此对汪老师表示衷心的感谢!
参考文献
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（1）:
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69.建立以预算管理为中心的财务管理模式
70.论边际成本在企业理财中的运用
71.企业融资障碍及对策研究
72.高新技术企业财务管理若干问题的思考
73.企业的扩张与财务管理
74.行为财务管理新论
75.论破产企业财务管理存在的问题及对策
76.企业核心能力与财务管理能力研究
77.我区企业利用外资融资效率分析
78.我区中小企业创新模式研究—基于财务视角
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