几何100题文档格式.docx
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那么DB=DC
DM=DN
Rt△DMB≌Rt△DNC
BM=CN
6、如图，在△ABC中，∠C为直角，∠A=30°
，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE与正△ACD，DE与AB交于F。
求证：
EF=FD
过E做EG⊥AB
交AB于G
连接GD交AB于H，GC
△EBA为正△
那么G为AB中点
GC=1/2AB=GA
∠GCA=∠GAC=30
∠DCA=∠DAC=60
两式相加
∠DCG=∠DAG=90
GC=GA
GD=GD
△DCG≌△DAG
∠GDC=∠GDA
DG为∠CDA的平分线
那么
我们可以知道
DG垂直平分AC
H为AC中点
GH‖BC
∠EAD=60
∠BAC=30
∠EAC=90
∠BCA=90
BC‖EA
GH‖AE
（1）
同理
EG‖DA
（2）
根据
（1）
（2）
四边形ADGE为平行四边形
GA和DE是对角线
7、如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.
证明1.PQ//AE2.AP=BQ
△ABC和△CDE为等边三角形
AC=BC
（1）
∠BCA=∠DCE=60度
∠BCA+∠BCD=∠DCE+∠BCD
∠ACD=∠BCE
（2）
CD=CE（3）
由
（1）、
（2）、（3）
△ACD≌△BCE（SAS）
∠DAC=∠CBE（4）
AC=BC（5）
∠ACB+∠BCD+∠DCE=180
∠ACB=∠DCE=60
∠BCD=60
∠ACB=∠BCD=60（6）
由（4）（5）（6）
△ACP≌△BCQ（ASA）
PC=CQ
△PCQ为等边三角形
∠QPC=60
∠ACB=60
PQ//AE
∠DAC=∠CBE
AC=BC
∠ACP=∠BCQ=60
AP=BQ
8、BP、CP是三角形ABC的外角平分线
AP是角BAC的角平分线
过点P分别作
PG⊥AB
PE⊥BC
PF⊥AC
交点分别为G,E,F
BP和CP分别为角平分线
PG=PE
PE=PF
PG=PF
PA平分角BAC
9、如图，AD是△ABC的中线，∠A=90度，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF。
试猜想线段BE、CF、EF的关系并加以证明.
延长AD至P，使AD=DP
连接BP,CP,延长FD和ED分别交BP,CP于H,G
连接EH,HG,GF
点D为AP,BC中点
易证四边形ABPC为平行四边形
∠A=90度
那么ABPC为矩形
AB‖PC
∠ABC=∠PCB
BD=CD
∠BDE=∠CDG
△BDE≌△CDG
BE=CG
ED=DG
ED⊥DF
那么△EFG是等腰三角形（等腰三角形三线合一性质）
EF=FG
在RT△FCG中
FC²
+CG²
=FG²
+BE²
=EF²
10、如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝AD，∠CAD＝30°
。
求∠DCB∠DBC的度数
等腰RT△ABC中
∠ABC=∠BCA=45度
等腰△ACD中
∠ACD=∠ADC=（180-30）/2=75度
∠DCB=45+75=120度
∠BAC=90度
∠BAD=90+30=120度
AB=AD
∠ABD=∠ADB=（180-120）/2=30度
∠DBC-∠ABD=45-30=15度
11、
（1）证明：
设CF、DE交于点O
AE=DF
∠A=∠ADC=90
AD=CD
RT△DAE≌RT△CDF
DE=CF
∠ADE=∠DCF
∠DCF+∠DFC=90
∠DFC+∠ADE=90
∠DOF=90
DE⊥CF
（2）证明：
过点N，P分别做
NE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E,F
NE，PF交于点G
设PQ,MN交于点O
PQ,NE交于点H
很明显
NE⊥PF
∠PGN=90
PQ=MN
PF=NE
RT△PQF≌RT△NME
∠MNE=∠QPF
∠PHG=∠NHO
∠PGH=∠PON
∠PGH=90
∠PON=90
PQ⊥MN
12、在梯形ABCD中，AD//BC,∠B=90°
，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB向点B以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从两点同时出发，多少秒后梯形PQCD是等腰梯形？
设t秒以后PQCD是等腰梯形
那么腰PQ²
=CD²
+（BC-AD）²
=14²
+3²
=205
过P做PE⊥BC，垂足为E
PE=AB=14cm
PD=18-t
QE=[2t-（18-t）]/2=（3t-18）/2
PE²
+QE²
=PQ²
14²
+（3t-18）²
/4=205
（3t-18）²
=36
3t-18=6或3t-18=-6
t=8或t=4（不合题意，舍去）
8秒后梯形PQCD是等腰梯形
13、在△ABC中,BD=DC,若AD⊥AC,∠BAD=30°
AC=½
AB
过点D做DE∥AC
点D为中点
E为AB中点
DE=1/2AC
AC=2DE
DE∥AC
所以∠EDA=90度
在RT△EDA中
∠BAD=30度
那么DE=1/2AE
AE=1/2AB（E为中点，已证）
DE=1/4AB
1/2AC=1/4AB
AC=1/2AB
14、平行四边形ABCD,对角线DB的垂直平分线分别相交DC于E,AB于F，请问四边形DEFB是平行四边形吗，是菱形吗？
分别详细证明。
设BD的中点为O
AB‖CD
∠FBD=∠BDE
∠BOF=∠DOE
OB=OD
△BOF≌△DOE
BF=DE，OF=OE
BF‖DE
四边形DEBF是平行四边形
OF=OE
EF垂直平分BD，BD垂直平分EF，可知平行四边形DEBF是菱形
15、∠A=90,AB=AC,BD平分∠ABC,CE垂直BD,垂足为E,证BD=2CE
延长CE交BA的延长线于F
BD平分∠ABC
BE⊥CE
△CBF是等腰三角形
E为CF中点
CE=1/2CF
∠BDA=∠CDE
∠ABD=∠ACF（等角的余角相等）
∠BAC=∠CAF
△ABD≌△ACF
BD=CF
CE=1/2BD
BD=2CE
16、三角形ABC中，AB=AC，角BAC=20度，D是AB上的一点，角BDC=30度，求证AD=BC
∠A=20
∠B=∠ACB=（180-20）/2=80
∠ACD=∠BDC-∠A=30-20=10
根据正弦定理
在△ADC和△BDC中，有
CD/sin∠A=AD/sin∠ACD
CD/sin20=AD/sin10
（1）
CD/sin∠B=BC/sin∠BDC
CD/sin80=BC/sin30
（2）
（1）/
（2）
sin80/sin20=ADsin30/（BCsin10）
AD/BC=2sin10cos10/sin20=sin20/sin20=1
AD=BC
几何做法：
以BC为一边作正三角形BPC
∠ABC=∠ACB=（180-20）/2=80
连接AP，交CD于E很明显△BAP≌△CAP
AP平分∠A
∠BAP=∠CAP=10
AE=EC
∠AED=∠CEP
∠PCE=∠ACB-∠BCP-∠ACD=80-60-10=10=∠DAE
△AED≌△CEP
AD=PC
PC=CB=BP
17、在平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC交AD于E,DF平分∠ADC交BC于F,请你说明BE=DF。
BE平分∠ABC
∠ABE=∠EBC
AD∥BC
∠AEB=∠EBC
∠ABE=∠ABE
AB=AE
（1）
CF=DF
（2）
∠A=∠C（3）
综合
（1）
（2）（3）
△ABE≌△CDF
BE=DF
18、已知：
RT△BAC，∠A=90，AF平分∠BAC,交BC的垂直平分线于点E，D为BC中点。
DE=1/2BC。
连接EB,EC,
过点E分别向AB,AC做垂线，垂足分别为H,G
∠BAC=∠AHE=∠AGE=90
那么四边形AHEG是矩形
AF平分∠BAC
那么∠BAE=45
所以∠AEH=45
HA=HE
矩形AHEG是正方形
EB=EC
HE=EG
RT△BHE≌RT△CGE
∠BEH=∠CEG
∠AEH+∠AEG=90
AEH+∠BEH+∠AEG-∠CEG=90
∠AEB+∠AEC=90
∠BEC=90
点D为BC中点
DE=1/2BC
19、如图所示,正方形ABCD中,P、Q分别是BC、DC边上的点,若∠PAQ=∠DAQ,能否得到PA=PB+DQ？
请说明理由。
如图
∠1=∠2
∠3=90-2∠1
设正方形的边长为a
那么PA=a/cos（90-2∠1）
DQ=atan∠1
PB=atan（90-2∠1）
PA=a/sin2∠1
PB+DQ=actg2∠1+atan∠1=a（cos2∠1/sin2∠1+sin∠1/cos∠1）
=a（cos2∠1/sin2∠1+2sin²
∠1/2sin∠1cos∠1）
=a[cos2∠1/sin2∠1+（1-cos2∠1）/sin2∠1）
=a/sin2∠1
PA=PB+DQ
20、正方形ABCD，E是BC上一点，EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于F。
求证：
AE=EF
延长AB交∠BCD的外角平分线于G，连结AC
∠ABC=∠CBG=90°
BC=BC,∠ACB=∠BCG=45°
所以△ABC≌△BCG，因此AB=BG
BC是AG的垂直平分线,因此AE=GE，
设∠BAE=∠BGE=α
于是∠EGF=45°
-α
由AE⊥EF可知∠FEC+∠AEB=90°
，即∠FEC=∠BAE=α
在△CEF中∠ECF=135°
，于是∠EFC=180°
-135°
-α=45°
所以∠EGF=∠EFG
△GEF是等腰三角形，故EF=GE=AE（见下图）
25、如图所示，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P.
（1）求∠PBQ的度数；
（2）判断PQ与BP的数量关系。
正△ABC
∠C=∠BAC=60
AC=AB
CD=AE
△ACD≌△BAE（SAS）
∠DAC=∠ABE
∠AEB=∠AEB
△AEP∽△BEA
∠APE=∠BAE
∠BAE=60度
∠APE=60度
∠BPQ=∠APE=60度
BQ⊥AD
∠PBQ=90-60=30度
在RT△PBQ中
∠PBQ=30度
PQ=1/2BP
26、在三角形ABC中已知AB=AC,点D在AC上，E在AB的延长线上。
且BE=DC,DE交BC于P,求证PE=PD
过点E作EF∥BC,交AC的延长线于F
BC∥EF
∠ABC=∠AEF,∠ACB=∠F
∠ABC=∠ACB
∠AEF=∠F
AE=AF
AE-AB=AF-AC
BE=CF
BE=DC
CF=DC
点C为DF中点
所以点P也是DE的中点
PE=PD
27、如图，△ABC中，角C=90°
，BD平分∠ABC交AC于D,DE⊥BD交AB于E,作△BDE的外接圆O,求证AC与圆O相切。
点O为BE中心，即△BDE的外接圆圆心
连接OE
OE=OB
∠2=∠3
∠1=∠3
OD∥BC
∠ODA=90度
OD⊥AC
AC与圆O相切
28、已知：
如图，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠ABC＝90°
．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF＝AD，MF＝MA．
（1）若∠MFC＝120°
，求证：
AM＝2MB；
（2）求证：
∠MPB＝90°
－1/2∠FCM．
连接AD
点E是CD中点，且ME⊥DC
所以△MDC是等腰三角形
MD=MC
MA=MF
AD=CF
△AMD≌FMC
∠MAD=∠MFC=120
∠BAD=90
∠MAB=120-90=30度
在RT△MAB中
MB=1/2MA
AM=2MB
（2）△AMD≌FMC
∠AMD=∠EMC
ME平分∠DMC
∠DME=∠EMC
∠AMD=∠EMC=∠DME
∠MAB=30
∠EMC=（90-30）/3=20度
∠FCM=180-120-20=40度
∠PMB=∠EMC=1/2∠FCM
∠MPB=90-∠PMB=90-1/2∠FCM
29、如图,在△ABC中,∠C=90°
AC=BC,AD为∠CAB的平分线，交BC于D，DE⊥AB于E。
若AB=6cm，则△DEB周长为？
？
在RT△ABC中
很容易知道
AC=BC=√（36/2）=3√2
AD平分∠CAB
AB/AC=CD/DB=6/3√2=√2
CD=√2DB
CD+DB=3√2
√2DB+DB=3√2
DB=3√2/（√2+1）=3√2（√2-1）=6-3√2
∠B=45度
∠DEB=90度
DE=EB
DE=EB=3√2-3
DEB的周长=DE+EB+DB=3√2-3+3√2-3+6-3√2=3√2
30、如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°
在边AB上取点D,使AD=BC,求∠BDC的度数。
以AC为一边做等边△AEC，连接ED
则∠EAD=∠BAC+∠CAE=80°
在等腰△ABC中，∠A=20°
∴∠B=∠C=80°
................①
在△ABC和△EAD中
AB=EA，∠ABC=∠EAD=80°
，BC=AD
∴△ABC≌△EAD（SAS）
∴∠ADE=∠ACB=80°
由①得：
DE||BC
∠AED=∠BAC=20°
∴∠DEC=60°
-∠AED=40°
又DE=AC（全等三角形对应边相等），AC=EC
∴DE=EC
∴在等腰△DEC中，∠DEC=40°
∠CDE=∠ECD=（180-40）/2=70°
∠BDE=180-∠B=180-80=100°
∠BDC=∠BDE-∠CDE=100-70=30°
31、已知平行四边形ABCD，E为CD上的点，F为AD上的点，且AE=CF，AE,CF相交于点P，求证：
∠APB=∠CPB
BE,BF
过点B作BM⊥AE，BN⊥CF，垂足为M,N
S△ABE=1/2S平行四边形ABCD
S△BCF=1/2S平行四边形ABCD
S△ABE=S△BCF
1/2*AE*BM=1/2*CF*BN
AE=CF
BM=BN
点B在∠APC的平分线上
∠APB=∠CPB
32、如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C做CF‖AB，延长BP交AC于E，交CF于F，求证：
PB是PE,PF的比例中项。
连接CP。
因为AB=AC，AD是中线，由等腰三角形三线合一的性质可得，
AD⊥BC，
AD是BC是中垂线
则BP=CP.
又由AB=AC，BP=CP可得
∠ABC=∠ACB，∠PBC=∠PCB，
所以∠ABP=∠ACP.
由CF‖AB可得∠F=∠ABP，
所以∠ACP=∠F，又∠CPE是公共角
所以△PCE∽△PFC
则PC/PF=PE/PC
所以PC²
=PE×
PF
PC=PB
PB²
=PE×
PF
证毕
33、如下图：
梯形ABCD中,AB//DC,∠A与∠B互余，DC=3,AB=9,E,F分别为AB,DC的中点，则EF=（）.
延长AD,FE,BC
设AD、FE交于G，FE、BC于点G’
AB//DC
DE/AF=GE/GF
（3/2）/（9/2）=GE/GF
GE/GF=1/3
G'
E/G'
F=EC/BF=1/3
所以点G和点G'
重合
∠A+∠B=90
∠AGB=90
点E是CD的中点
CD是斜边
那么GE=1/2CD=3/2
GF=1/2AB=9/2
那么EF=9/2-3/2=3
34、D为等边三角形ABC外一点,且BD=CD,∠BDC=120°
M,N分别在AB,AC上,若∠MDN=60°
求证BM+CN=MN
延长AC至E使得CE=BM，连接DE。
∠DBM=∠DCE
BM=CE
△BDM≌△CDE（SAS）
DM=DE
∠BDM+∠MDN+∠CDN=120
∠MDN=60
∠BDM+∠CDN=60
∠BDM=∠CDE
∠CDE+∠CDN=60
∠NDE=60
因为
∠MDN=∠NDE
DN=DN（公共边）
△MDN≌△EDN
MN=EN
EN=CN+CE=CN+BM
MN=CN+BM
35、AG=CG,AE垂直于BG,AB=AC,角BAC为直角，求证：
∠CGF=∠AGE
从C做CM垂直AC交AF延长线于M
∠CAM+∠BAE=90°
，∠ABG+∠BAE=90°
∴∠CAM=∠ABG
∠BAG=∠ACM=90°
，AB=AC
∴△BAG≌△ACM。
∴∠AGE=∠CMF，AG=CM=CG
∵AB=AC，∴∠GCF=45°
，∠MCF=45°
=∠GCF
CF=CF。
∴△GCF≌△MCF
∠CGF=∠CMF=∠AGE
36、已知：
如图,AB=DC，E是BC的中点，∠1=∠2
求证AD‖BC
∠1＝∠2
AE=DE
AB=CD
BE=CE
△BAE≌△CDE
∠BAE=∠CDE
∠BAE+∠1=∠CDE+∠2
∠BAD=∠CDA
∠B+∠C+∠BAE+∠CDA=360
∠B+∠BAD=180
AD‖BC
37、正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点。
若△EBF的周长是正方形ABCD的一半，求∠EDF的度数。
延长BC至G，使CG=AE
很明显Rt△DAE≌Rt△DCG（SAS）
所以DE=DG,AE=CG,∠ADE=∠CDG
根据已知
△EBF的周长是正方形ABCD的一半
而且
BE=a-AE,BF=a-FC
EB+BF+FE=a-AE+a-FC+FE=2a-AE-FC+FE=2a
FE=AE+FC=FC+CG=FG
DF=DF
DE=DG
△DEF≌△DGF
∠EDF=∠FDG=∠FDC+∠CDG
∠ADE+∠EDF+∠FDG+∠G=180
∠ADE=∠CDG
∠CDG+∠G=90
∠EDF+∠FDG=90
2∠EDF=90
∠EDF=45度
38、已知：
如图,在平行四边形ABCD中，AC与BD交与点O，P是四边形外一点,且∠APC=∠BPD=90°
，则四边形ABCD是矩形吗？
连接PO
在RT△PAC中，O为AC中点
那么PO=1/2AC
PO=1/2BD（直角三角形中，斜边中线是斜边的一半）
AC=BD
AD=AD
△ABD≌△DCA
∠BAD=∠ADC
∠BAD+∠ADC=180
所以平行四边形ABCD是矩形
39、三角形ABC中，AB=AC延长AC至点F,在AB上取一点E，使BE=CF,连接EF，交BC于点D.说明DE=DF.
过E作EG∥AC，角BC于点G
EG∥AC
∠BGE=∠ACB
∠B=∠ACB
∠B=∠BGE
BE=EG
EG=CF
∠EDG=∠CDF（对顶角）
∠GED=∠F（EG∥AC,内错角相等）
△GED≌△CFD（AAS）
DE=DF
40、直角三角形ABCD中，AD//BC,AD:
BC=2:
5,P是CD上一点，如果把三角形BCP沿折痕BP向上翻折点C与A重合，则求tan
设AD=2a,BC=5a
C与A重合，那么很明显AB=5a
过A做AE垂直BC于E
BE=5a-2a=3a
在直角三角形ABE中
AE²
AE=4a
C与A重合
∠ABP=∠CBP
BP是AC的垂直平分线
∠BAP=∠BCP=90
∠ABP=PAC（等角的余角相等）
∠PAC=∠PCA（PA=PC）
∠ABP=∠PCA
tan∠ABP=tan∠PCA=AD/DC=2a/4a=1/2
41、如图，在三角形ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠
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