实数一对一辅导讲义.docx
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教学目标
1、了解平方根与立方根的概念和表示方法；
2、了解无理数和实数的概念以及实数的分类；
3、知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。
重点、难点
1、平方根与立方根的概念和求法。
2、了解无理数和实数的概念以及对无理数的认识。
考点及考试要求
掌握平方根，立方根以及实数的各种题型。
教学内容
第一课时实数知识梳理
课前检测
1.立方根等于本身的数是;
2.如果则.
3.的立方根是,
的立方根是.
4.已知的立方根是4，求的算术平方根.
5.已知，求的值.
6.比较大小：
（1），
（2），
（3）3。
知识梳理
1.实数的分类
注意：
无理数有三个条件：
（1）是小数；
（2）是无限小数；（3）不循环.
无理数有三类：
（1）开方开不尽的数；
（2）特定意义的数如等；
（3）特定结构的数如等.
2.平方根，立方根，次方根
（1）.若一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根。
求这个数的平方根的运算叫做开平方，叫做被开方数。
要点：
①正数的平方根有两个，它们互为相反数，可以用来表示。
其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”，表示的负正平方根，读作“负根号”；负数没有平方根；零的平方根是零。
②开平方与平方互为逆运算：
一个数的平方根的平方等于这个数：
即
（2）若一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，用表示的立方根，读作“三次根号”，叫做被开方数，3叫做根指数。
求一个数的立方根的运算叫做开立方。
要点：
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零。
（3）若一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，用表示的次方根，读作“次根号”，叫做被开方数，叫做根指数。
求一个数的次方根的运算叫做开次方。
要点：
①正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，正数的奇次方根只有一个；
②零的任何次方根是零；
③负数没有偶次方根，只有奇次方根，且只有一个。
3．n次方根
4．用实数上的点表示实数
1）、实数与数轴上的点成一一对应的关系
2）、在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别是a、b，那么A、B两点的距离为：
AB=。
3）、实数比较大小
5．实数的运算
1）、运算
2）、精确度和有效数字
6．分数指数幂
1）、规定：
几点说明：
（1）上式中m、n为正整数，n>1
（2）当m与n互素时，如果n为奇数，那么分数指数幂中的底数a可为负数
（3）整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂
2）、有理数指数幂有些列运算性质：
设为有理数，那么>
（1）；-+=¸=×,
（2）；
（3）
第二课时实数典型例题
典型例题
例1.下列实数中，无理数有哪些？
，，，，，，，π，
解：
无理数有：
，，π
注：
①带根号的数不一定是无理数，比如，它其实是有理数4；
②无限小数不一定是无理数，无限不循环小数一定是无理数。
比如。
变1、把下列各数分别填写在相应的括号内．
无理数集合｛ ｝；
有理数集合｛ ｝；
正实数集合｛ ｝；
分数集合｛ ｝；
负无理数集合｛ ｝．
变2、把下列各数分别填在相应的集合里：
，，，，，，，，
…
…
有理数集合
无理数集合
O
A
C
B
例2.把无理数在数轴上表示出来。
分析：
类比的表示方法，我们需要构造出长度为的线段，从而以它为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示。
解：
如图所示，
由勾股定理可知：
以原点为圆心，以长度为半径画弧，与数轴的正半轴交于点,则点就表示。
例3.化简：
．
答案：
解：
，
．
故．
变3、
（1）求的绝对值和相反数；
（2）已知一个数的绝对值是，求这个数。
例4.计算：
．
答案：
解：
原式
例5.已知，求代数式的值．
答案：
解：
又由已知可得，
，
故原式．
变4、计算下列各式的值：
（1）；
（2）
例6.计算：
；
答案：
解：
原式
；
变5、计算：
（1）；
（2）；
（3）；（4）。
第三课时实数课堂检测
课堂检测
一、填空题：
1、正数a的平方根表示为;
2、计算：
;;
3、若x的平方根是，则x=;的平方根是;
4、-27的立方根与的和是;的平方根是则x=;
5、将从小到大排列为;
6、使是一个正整数的绝对值最小的整数n=;
7、计算;若，则a的取值范围是;
8、一个整数m的立方根是a，则m+1的立方根是;（用含a的式子表示）
9、若a、b、c是三角形的三边长，则;
10、的整数部分是，小数部分是;
11、如果x的非负平方根与立方根相同，那么x=;
12、一个正数的两个平方根是3x+1和x-1，这个正数是;
13、若m的两个平方根是方程2x-y=4的一个解，则m的值是;
14、若a是，则a的四次方根是;243的五次方根是;
15、填写两个连续整数，使不等式成立：
①②
16、若y=，则=。
17、若（a≥0，n是偶数），那么x=。
18、将的小数部分记作a，将的算术平方根记做b，则=。
19、写出比大的负无理数是__________.
二、选择题：
1、下列各式计算正确的是（）
A、；B、；C、；D、
2、在实数中，无理数的个数为（）A、3个B、4个C、5个D、6个
3、下列说法正确的是（）
A、不循环小数是无理数B、分数是有理数
C、有理数都是有限小数D、3.1415926是无理数
4、下列叙述正确的是（）
A无限小数是无理数B绝对值等于本身的数是正数
C正实数包括正有理数和正无理数D带根号的数是无理数
5、下列说法中，错误的个数是（）
①无理数都是无限小数；②无理数都是开方开不尽的数；
③带根号的都是无理数；④无限小数都是无理数。
A.1个B.2个C.3个D.4个
三、解答题：
1、求下列各数的平方根：
1.69、、
2、计算：
①②③
④⑤
3、解方程：
①②
③④
4、已知x+y的负平方根是-3,x-y的立方根是3,求2x-5y的四次方根.
5、设m、n是有理数，并且m、n满足，求m+n的平方根。
6、已知：
2m+2的平方根是，3m+n+1的平方根是，求m+3n的四次方根。
7、化简：
8、已知x、y是实数，且，求的值。
9、已a、b、c三个数在数轴上的点如图所示，
化简
10、比较下列各数的大小：
①与②与
11、计算：
①②③
12、已知实数a、b满足，化简
13、已知a、b是实数，且，求的值。
14、已知且，求的值。
15、若是一个正整数,求
（1）最小的自然数a;
（2）最大的三位数a
16、已知 a、b、c是实数，且，求的值
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