宜昌市近五届中考数学几何压轴题题汇编及答案.docx

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2017年宜昌市近五届中考数学几何压轴题（23题）汇编及答案

（本题一般3小问，共11分）上传校勘:

柯老师

【2012/23】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．

（1）点E可以是AD的中点吗？

为什么？

（2）求证：

△ABG∽△BFE；

（3）设AD=a，AB=b，BC=c

①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系；

②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．

【2013/23】半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD在水平直线L的同侧，⊙O与L相切于点F，DC在L上.

（1）过点B作⊙O的一条切线BE，E为切点.

①填空：

如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是；

②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；

（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围.

【2014/23】在矩形ABCD中，=a，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．

（1）如图1，当DH=DA时，

①填空：

∠HGA=　　度；

②若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时a的最小值；

（2）如图3，∠AEH=60°，EG=2BG，连接FG，交边FG，交边DC于点P，且FG⊥AB，G为垂足，求a的值．

【2015/23】如图四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交边DC于D，G两点，AD分别与EF，GF交于I，H两点。

（1）求∠FDE的度数；

（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；

（3）当G为线段DC的中点时，

①求证：

FD＝FI；

②设AC＝2m，BD＝2n,求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比。

【2016/23】在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10.D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B，C不重合）.以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k＞1），EF∥BC.

（1）求∠D的度数；

（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH，

①如图1，连接GH，AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；

②当四边形AGDH的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP=AD，求k的值.

（第23题图1）（第23题图2供参考用）（第23题图3供参考用）

图1图2

参考答案：

【2012/23】

解：

（1）不是．…1分

据题意得：

AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，

∴Rt△EGD中，GE＜ED，

∴AE＜ED，

故，点E不可以是AD的中点；…2分

（注：

大致说出意思即可；反证法叙述也可）

（2）方法一：

证明：

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBF，

∵△EAB≌△EGB，

∴∠AEB=∠BEG，

∴∠EBF=∠BEF，

∴FE=FB，

∴△FEB为等腰三角形．

∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，

∴∠ABG=∠EFB，…4分

在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=（180°﹣∠ABG）÷2，

∠FBE=（180°﹣∠EFB）÷2，

∴∠BAG=∠FBE，…5分

∴△ABG∽△BFE，（注：

证一对角对应等评2分，第二对角对应等评1分，该小问3分，若只证得△FEB为等腰三角形，评1分．）

方法二：

∠ABG=∠EFB（见方法一），…4分

证得两边对应成比例：

，…5分

由此可得出结论．

（注：

两边对应成比例，夹角等证得相似，若只证得△FEB为等腰三角形，评1分．）

（3）①方法一：

∵四边形EFCD为平行四边形，

∴EF∥DC，

证明两个角相等，得△ABD∽△DCB，…7分

∴，

即，

∴a2+b2=ac；…8分

方法二：

如图，过点D作DH⊥BC，

∵四边形EFCD为平行四边形

∴EF∥DC，

∴∠C=∠EFB，

∵△ABG∽△BFE，

∴∠EFB=∠GBA，

∴∠C=∠ABG，

∵∠DAB=∠DHC=90°，

∴△ABD∽△HCD，…7分

∴，

∴，

∴a2+b2=ac；…8分（注：

或利用tan∠C=tan∠ABD，对应评分）

方法三：

证明△ABD∽△GFB，则有，

∴，则有BF=，…6分

∵四边形EFCD为平行四边形，

∴FC=ED=c﹣，

∵ED∥BC，

∴△EDG∽△FBG，

∴，

∴，

∴a2+b2=ac；…8分

②方法一：

解关于a的一元二次方程a2﹣ac+22=0，得：

a1=，a2=…9分

由题意，△=0，即c2﹣16=0，

∵c＞0，

∴c=4，

∴a=2…10分

∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°；…11分

方法二：

设关于a的一元二次方程a2﹣ac+22=0两根为a1，a2，

a1+a2=c＞0，a1•a2=4＞0，

∴a1＞0，a2＞0，…9分

由题意，△=0，即c2﹣16=0，

∵c＞0，

∴c=4，

∴a=2，…10分

∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°．…11分

【2013/23】

解：

（1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O上时，过点B作的一条切线BE，E为切点，

∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，

∴∠EBA的度数是：

30°；

②如图2，

∵直线l与⊙O相切于点F，

∴∠OFD=90°，

∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，

∴OF∥AD，

∵OF=AD=2，

∴四边形OFDA为平行四边形，

∵∠OFD=90°，

∴平行四边形OFDA为矩形，

∴DA⊥AO，

∵正方形ABCD中，DA⊥AB，

∴O，A，B三点在同一条直线上；

∴EA⊥OB，

∵∠OEB=∠AOE，

∴△EOA∽△BOE，

∴=，

∴OE2=OA•OB，

∴OA（2+OA）=4，

解得：

OA=﹣1±，

∵OA＞0，∴OA=﹣1；

方法二：

在Rt△OAE中，cos∠EOA==，

在Rt△EOB中，cos∠EOB==，

∴=，

解得：

OA=﹣1±，

∵OA＞0，∴OA=﹣1；

方法三：

∵OE⊥EB，EA⊥OB，

∴由射影定理，得OE2=OA•OB，

∴OA（2+OA）=4，

解得：

OA=﹣1±，

∵OA＞0，

∴OA=﹣1；

（2）如图3，设∠MON=n°，S扇形MON=×22=n（cm2），

S随n的增大而增大，∠MON取最大值时，S扇形MON最大，

当∠MON取最小值时，S扇形MON最小，

过O点作OK⊥MN于K，

∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，

在Rt△ONK中，sin∠NOK==，

∴∠NOK随NK的增大而增大，∴∠MON随MN的增大而增大，

∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小，

①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN=BD，

∠MON=∠BOD=90°，S扇形MON最大=π（cm2），

②当MN=DC=2时，MN最小，

∴ON=MN=OM，

∴∠NOM=60°，

S扇形MON最小=π（cm2），

∴π≤S扇形MON≤π．

【2014/23】

解：

（1）①∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADH=90°，

∵DH=DA，

∴∠DAH=∠DHA=45°，

∴∠HAE=45°，

∵HA=HG，

∴∠HAE=∠HGA=45°；

故答案为：

45°；

②分两种情况讨论：

第一种情况：

∵∠HAG=∠HGA=45°；

∴∠AHG=90°，

由折叠可知：

∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，

∵EF∥HG，

∴∠FHG=∠F=45°，

∴∠AHF=∠AHG﹣∠FHG=45°，

即∠AHE+∠FHE=45°，

∴∠AHE=22.5°，

此时，当B与G重合时，a的值最小，最小值是2；

第二种情况：

∵EF∥HG，

∴∠HGA=∠FEA=45°，

即∠AEH+∠FEH=45°，

由折叠可知：

∠AEH=∠FEH，

∴∠AEH=∠FEH=22.5°，

∵EF∥HG，

∴∠GHE=∠FEH=22.5°，

∴∠AHE=90°+22.5°=112.5°，

此时，当B与E重合时，a的值最小，

设DH=DA=x，则AH=CH=x，

在Rt△AHG中，∠AHG=90°，由勾股定理得：

AG=AH=2x，

∵∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH，

∴∠AEH=∠GHE，

∴GH=GE=x，

∴AB=AE=2x+x，

∴a的最小值是=2+；

（2）如图：

过点H作HQ⊥AB于Q，则∠AQH=∠GOH=90°，

在矩形ABCD中，∠D=∠DAQ=90°，

∴∠D=∠DAQ=∠AQH=90°，

∴四边形DAQH为矩形，

∴AD=HQ，

设AD=x，GB=y，则HQ=x，EG=2y，

由折叠可知：

∠AEH=∠FEH=60°，

∴∠FEG=60°，

在Rt△EFG中，EG=EF×cos60°，EF=4y，

在Rt△HQE中，EQ==x，

∴QG=QE+EG=x+2y，

∵HA=HG，HQ⊥AB，

∴AQ=GQ=x+2y，

∴AE=AQ+QE=x+2y，

由折叠可知：

AE=EF，

∴x+2y=4y，

∴y=x，

∴AB=2AQ+GB=2（x+2y）+y=x，

∴a==．

【2015/23】

解：

（1）∵EF是⊙O的直径，∴∠FDE=90°；

（2）四边形FACD是平行四边形．

理由如下：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，

∴∠AEB=90°．

又∵∠FDE=90°，

∴∠AEB=∠FDE，

∴AC∥DF，

∴四边形FACD是平行四边形；

（3）①连接GE，如图．

∵四边形ABCD是菱形，∴点E为AC中点．

∵G为线段DC的中点，∴GE∥DA，

∴∠FHI=∠FGE．

∵EF是⊙O的直径，∴∠FGE=90°，

∴∠FHI=90°．

∵∠DEC=∠AEB=90°，G为线段DC的中点，

∴DG=GE，

∴=，

∴∠1=∠2．

∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，

∴∠3=∠4，

∴FD=FI；

②∵AC∥DF，∴∠3=∠6．

∵∠4=∠5，∠3=∠4，

∴∠5=∠6，∴EI=EA．

∵四边形ABCD是菱形，四边形FACD是平行四边形，

∴DE=BD=n，AE=AC=m，FD=AC=2m，

∴EF=FI+IE=FD+AE=3m．

在Rt△EDF中，根据勾股定理可得：

n2+（2m）2=（3m）2，

即n=m，

∴S⊙O=π（）2=πm2，S菱形ABCD=•2m•2n=2mn=