因式分解专项训练.doc

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因式分解方法技巧

专题一

分解因式的常用方法：

一提二用三查，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。

常见错误：

1、漏项，特别是漏掉

2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化

3、分解不彻底

首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”

［例题］把下列各式因式分解：

1.x（y-x）+y（y-x）-（x-y）22.a5-a3.3（x2-4x）2-48

1、 2、3、　　

4、56x3yz+14x2y2z－21xy2z25、－4a3＋16a2b－26ab26、

专题二

二项式的因式分解:

二项式若能分解，就一定要用到两种方法：

1提公因式法2平方差公式法。

先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）时，关键是正确确定公式中a,b所代表的整式，将一个数或者一个整式化成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。

平方差公式运用时注意点：

根据平方差公式的特点：

当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式：

A、多项式为二项式或可以转化成二项式；

B、两项的符号相反；

C、每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式；

D、首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式；

E、对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的先提取公因式

[例题]分解因式：

3（x+y）2-27

1）x5－x32）3）25－16x2

4）9a2－b2.5）25－16x2;6）9a2－b2.

专题三

三项式的分解因式:

如果一个能分解因式，一般用到下面2种方法：

1提公因式法2完全平方公式法。

先观察三项式中是否含有公因式，然后再看三项式是否是完全平方式，即a2+2ab+b2或者a2-2ab+b2的形式

完全平方公式运用时注意点：

A.多项式为三项多项式式；

B.其中有两项符号相同，且这两项的绝对值均可以化为某两数（或代数式）的平方；

C.第三项为B中这两个数（或代数式）的积的2倍，或积的2倍的相反数。

【例题】将下列各式因式分解：

1）ax2-2axy+ay22）x4-6x2+9

1）25x＋20xy＋4y22）x＋4x＋4x3）

4）5）

专题四

多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； 

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； 

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； 

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

分组分解法 

要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a（m+n）+b（m+n）,又可以提出公因式m+n，从而得到（a+b）（m+n） 

[例题]分解因式

1.m2 +5n-mn-5m 2.

1、2、bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b） 

（1）

（2）

（3）

2.已知：

，求的值。

3.若是三角形的三条边，求证：

专题五

完全平方公式在使用时常作如下变形：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

例1已知长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？

例2已知长方形两边之差为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积.

例3若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：

这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和.

例5已知两数的和为10，平方和为52，求这两数的积.

例6已知α=x+1,b=x+2,c=x+3。

求：

α2+b2+c2-αb-bc-cα的值.

巩固练习

把下列各式分解因式

（1）4x3﹣31x+15；

（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；

（4）x3+5x2+3x﹣9（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2

（1）3p2﹣6pq

（2）2x2+8x+8

1、x3y﹣xy2、3a3﹣6a2b+3ab23、a2（x﹣y）+16（y﹣x）4、（x2+y2）2﹣4x2y2

（1）2x2﹣x；

（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．

（1）2am2﹣8a

（2）4x3+4x2y+xy2

（1）3x﹣12x3

（2）（x2+y2）2﹣4x2y2

（1）x2y﹣2xy2+y3

（2）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（3）（x+2y）2﹣y2

（2）（x﹣1）（x﹣3）+135、36、

（1）3p2﹣6pq

（2）2x2+8x+8

（1）x3y﹣xy

（2）3a3﹣6a2b+3ab2

（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）

（2）（x2+y2）2﹣4x2y2（3）a2﹣4a+4﹣b2

（1）2x2﹣x

（2）16x2﹣1（3）6xy2﹣9x2y﹣y3（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2

（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）

（2）4x3+4x2y+xy2（3）（x2+y2）2﹣4x2y2（4）3x﹣12x3

（1）x2y﹣2xy2+y3

（2）（x+2y）2﹣y2

（1）2am2﹣8a

（2）（x﹣1）（x﹣3）+1

（1）a2﹣b2﹣2a+1

（1）x4﹣7x2+1

（2）x4+x2+2ax+1﹣a2

（3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1

⑴a4－16⑵⑶x2－1＋y2－2xy

1、2、（m+1）（m-1）-（1-m）3、

1、6xy2-9x2y-y32、（2a-b）2+8ab3、4、

1、2、3、4、

37、38、39、

40、41、

42、36（x+y）2－49（x－y）2　　　43、（x－1）+b2（1－x）　　44、（x2+x+1）2-1

1、－　　2、3、

1、2、3、

1、　　　　2、　

1、　　　2、a2＋2ab＋b2－a－b　3、4x2+20（x-x2）+25（1-x）2

（1）6a-a2-9；　　　　

（2）-8ab-16a2-b2　　　　　　　　（3）2a2-a3-a；　　

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