合肥自主招生数学试卷附答案.doc

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2013年合肥一六八中学自主招生考试数学试卷答案

1.C。

2.D。

（PD=7，PB=6）

3.B或C。

（若a+b+c≠0，则k=2，选B；若a+b+c=0，则k=-1，选C）

4.B。

（ax中若x为偶数则ax=-x/2，若x为奇数则ax=-x/2+1/2）

5.C。

（分别为1、1、7，1、2、4，1、3、1和2、1、2）

6.B。

（易证△OBC∽△BAC，可得比例式1：

a=a：

（a+1），解方程并排除负解得B）

7.B。

（由n+m=4s，可知AD²/4+BC²/4=AB²即AD²+BC²=4AB²，作BE∥AD交CD于  E，可证得△BEC是直角三角形且四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE，AB=DE，AD²+BC²=CE²，于是得4AB²=CE²即2AB=CE即2DE=CE，所以CD=3AB）

8.C。

（通过十字相乘法分解因式，得y=（nx-1）[（n+1）x-1]，故其与x轴交点为1/n和1/（n+1），所截得线段长度为1/n-1/（n+1）。

所以线段长度之和为1-1/2+1/2-1/3+…+1/2013-1/2014=2013/2014）

9.3 EQ\R（,3） 。

（连接OB，OA⊥AP，OB⊥BP，易算出∠BAP和∠ABP为60°，于是得△ABP为等边三角形；易算出AB= EQ\R（,3） ，所以周长为3 EQ\R（,3） ）

10.27。

11.56。

（观察可知aij=[（i-1）²+j]×（-1）i+j+1）

12.5/18。

13.3 EQ\R（,2） 。

（显然AC是正方形ABCD的对称轴，∴对于在AC上的任意一个P点，都能满足PB=PD，所以PD+PE=PB+PE。

显然当P点恰为AC、BE的交点时PB+PE值最小，所以最小值为PB+PE=BE=AB=3 EQ\R（,2））

14.2（易算出S△ABD=6，S△ABE=4，所以S△ABD-S△ABE=2，即S△ADF-S△BEF=2）

15.0°<θ<60°（由题意可知b²-4ac<0，即：

（4sinθ）²-4×6×cosθ<0。

化简，得2sin²θ-3cosθ<0。

由sin²θ+cos²θ=1，可知2sin²θ=2-2cos²θ，令x=cosθ，则2-2x²-3x<0，化简得（2x-1）（x+2）>0。

所以2x-1和x+2同正或同负，解得x>1/2或x<-2。

∵x=cosθ，∴x<-2排除，故x>1/2即cosθ>1/2，得θ<60°。

又θ为三角形内角，所以0°<θ<60°）

16.

（1）化简得原式=1/（a²+2a），又由a²+2a-1=0可得a²+2a=1，∴原式值为1。

（2）若a=b，则原式=1+1=2；

      若a≠b，则a、b为x²+3x+1=0的两个根，由韦达定理可得a+b=-3，ab=1。

将原式化为（a+b）²/ab-2，代入，得原式值为7。

      综上，原式的值为1或7。

17.

（1）作AF⊥BC于F，易得出BF=1，AF= EQ\R（,3） 。

又BC= EQ\R（,3） +1，∴CF= EQ\R（,3） 。

由勾股定理，得AC= EQ\R（,6） 。

（2）由

（1）及题目，易算出S△ABF= EQ\R（,3） /2，S△ACF=3/2。

∴S△ACE= EQ\R（,3） /2。

做法A：

由S=CE×AD/2可得AD= EQ\R（,6） /2，∴sin∠ACD=1/2，∴∠ACD=30°。

做法B：

由S=sin∠ACD×CE×AC/2（面积公式），可得sin∠ACD=1/2，∴∠ACD=30°。

18.

（1）若0

∵AB=AD，AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=∠ABD=30°，PQ=BP/ EQ\R（,3） = EQ\R（,3） - EQ\R（,3） t/3。

∴S=PQ×BM/2=- EQ\R（,3） /6（t-3/2）²+3 EQ\R（,3） /8（0

此时S的最大值为3 EQ\R（,3） /8。

若2≤t<4，易得BP=NB/2=（4-t）/2。

同0

∴S=PQ×BM/2=- EQ\R（,3） /12（t-2）²+ EQ\R（,3） /3（2≤t<4）。

此时S最大值为 EQ\R（,3） /3。

显然3 EQ\R（,3） /8大于 EQ\R（,3） /3，故S的最大值为3 EQ\R（,3） /8。

综上所述，S=- EQ\R（,3） /6（t-3/2）²+3 EQ\R（,3） /8（0

        S=- EQ\R（,3） /12（t-2）²+ EQ\R（,3） /3（2≤t<4）,

        S的最大值为3 EQ\R（,3） /8。

（2）若BM=MQ，当0

当2≤t<4时，t= EQ\R（,[t-（4-t）/2]²+（2EQ\R（,3）/3-EQ\R（,3）t/6）²） ，解得t1=1（舍去），t2=4（舍去）。

若BM=BQ，当0

当2≤t<4时，2×（2 EQ\R（,3） /3- EQ\R（,3） t/6）=t，解得t=2 EQ\R（,3） -2（舍去）。

若MQ=BQ，当0

当2≤t<4时， EQ\R（,[t-（4-t）/2]²+（2EQ\R（,3）/3-EQ\R（,3）t/6）²） =2×（2 EQ\R（,3） /3- EQ\R（,3） t/6），解得t1=2，t2=0（舍去）。

  综上所述，当t=1.2或t=12-6 EQ\R（,3） 或t=2时，△BMQ为等腰三角形。

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