北京市中学生数学竞赛初二.doc

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2014年北京市中学生数学竞赛（初二）试题

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.若，则=（）

A．5B.C.D.

2.已知一个面积为S且边长为1的正六边形，其六条最短的对角线两两相交的交点构成一个面积为A的小正六边形的顶点.则=（）

A．B.C.D.

3.在数29998，29999，30000，30001中，可以表示为三个连续自然数两两乘积之和的是（）

A．30001B.30000C.29999D.29998

4.已知A（，），B（，）是反比例函数在平面直角坐标系的第一象限上图象的两点，满足，.则（）

A．B.C.D.

5.有2015个整数，任取其中2014个相加，其和恰可取到1，2，…，2014这2014个不同的整数值.则这2015个整数之和为（）

A．1004B.1005C.1006D.1008

二、填空题（每小题7分，共35分）

1.在1～10000的自然数中，既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有个.

2.（表示不超过实数的最大整数）.

3.在四边形ABCD中，已知BC=8，CD=12，AD=10，∠A=∠B=60°.则AB=.

4.已知M是连续的15个自然数1，2，…，15的最小公倍数.若M的约数中恰被这15个自然数中的14个数整除，称其为M的“好数”.则M的好数有个.

5.设由1～8的自然数写成的数列为，，…，.则+++++++的最大值为.

三、（10分）已知.证明：

，，三个数中至少有两个相等.

四、（15分）在凸四边形ABCD中，已知∠BAC=30°，∠ADC=150°，且AB=DB.证明：

AC平分∠BCD.

五、（15分）某校对参加数学竞赛的选手的准考证进行编号，最小号为0001，最大号为2014.无论哪名选手站出来统计本校其他所有选手准考证号数的平均值时，发现所得的平均值均为整数.问这所学校参加竞赛的选手最多有多少名？

参考答案

一、选择题（每小题5分，共25分）

题号

1

2

3

4

5

答案

A

B

C

B

D

5.设2015个整数为，，…，.记++…+=M.不妨设M-=（=1，2，…，2014），M-=A.则2014M=1+2+…+2014+A.故A除以2014的余数为1007.从而，A=1007，M=1008.当=1008-（=1，2，…，2014），=1时取到.

二、填空题（每小题7分，共35分）

题号

1

2

3

4

5

答案

9883

4

32

4.M=，则M的约数中恰能被这15个自然数中的14个整除的有四个，即、、、.

5.由题意记S=+++++++.

该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由1～4取负，由5～8取正，于是，S=2[（8+7+6+5）-（4+3+2+1）]=32.如+++++++=32.

三、由左边进行因式分解得到即可.

四、提示：

作点B关于AC的对称点E，连接AE、BE、DE.则△ABE为正三角形，下面证明E、D、C三点共线即可.可设∠DBE=，可得到∠EDA=30°.

五、设该校共有n名选手参赛，其准考证号依次为.

依题意知.

对任意均有.

于是，.

故

.

由于为整数，从而，为2013的约数.

注意到，2013=3×11×61不超过45的最大约数为33.于是，的最大值为34，即参赛选手最多有34名.

这样的34名选手的号码是可以实现的.如.

因此，该校参加竞赛的选手最多有34名.