高考数学浙江二轮复习练习第一板块 1820大题规范满分练一八文档格式.docx

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所以BC1与平面AA1B1B所成角的正弦值为.

法二：

在平面ABC内，过点H作Hx⊥AB，以H为坐标原点，以Hx，HB，HC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

由

（1）可知∠BAC1是二面角C1ACB的平面角，所以∠BAC1＝60°

，因为AC⊥AC1，CC1＝2，AC＝2，所以AC1＝2.在△ABC1中，AB＝2，AC1＝2，∠BAC1＝60°

，

所以BC1＝2，C1H＝，AH＝BH＝1.

所以A（0，－1,0），B（0,1,0），C1（0,0，），C（2，－1,0），

＝（0,2,0），＝＝（－2,1，），＝（0，－1，）．

设平面AA1B1B的一个法向量n＝（x，y，z），

则即

令x＝，得平面AA1B1B的一个法向量n＝（，0,2），

所以|cos〈，n〉|＝＝，

20．（本小题满分15分）设函数f（x）＝·

e－x＋，x∈.

（1）求f（x）的导函数；

（2）求f（x）在x∈上的取值范围．

（1）f′（x）＝e－x＋＝e－x－.

（2）因为x∈，

所以e－x≤0，－≤0，

所以f′（x）＝e－x－≤0.

即f（x）在x∈上单调递减．

当x→＋∞时，f（x）＝·

e－x＋→0.

又f＝2＋，

所以f（x）在x∈上的取值范围是.

“18～20”大题规范满分练

（二）

18．（本小题满分14分）已知函数f（x）＝4cosx·

sin－1.

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足f（B）＝0，a＝2，且D是BC的中点，P是直线AB上的动点，求CP＋PD的最小值．

（1）f（x）＝4cosx－1

＝sin2x－cos2x－2＝2sin－2，

令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z.

（2）由f（B）＝2sin－2＝0，得2B－＝，所以B＝.

作C关于AB的对称点C′，连接C′D，C′P，C′B，

由余弦定理得C′D2＝BD2＋BC′2－2·

BD·

BC′·

cos120°

＝7.

所以CP＋PD＝C′P＋PD≥C′D＝，

所以当C′，P，D共线时，CP＋PD取得最小值.

19．（本小题满分15分）如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，∠C＝60°

，点E在线段CD上，满足BE⊥CD，且CE＝AB＝CD＝2，现将△ADE沿AE翻折到△AME位置，使得MC＝2.

AE⊥MB；

（2）求直线MC与平面AME所成角的正弦值．

在梯形ABCD中，连接BD交AE于N，

则BE＝2tan60°

＝2，BC＝4，

∴BD＝＝4.

∴BC2＋BD2＝CD2，

∴BC⊥BD.

又BC∥AE，∴AE⊥BD.

从而AE⊥BN，AE⊥MN.

∵将△ADE沿AE翻折到△AME位置，垂直关系不变，

∴AE⊥平面MNB.

∵MB⊂平面MNB，∴AE⊥MB.

（2）∵CE＝2，EM＝6，MC＝2，

∴CE2＋EM2＝MC2，

∴∠CEM＝90°

，即CE⊥EM.

又∵CE⊥BE，EM∩BE＝E，

∴CE⊥平面MBE，

∴CE⊥MB.

∵AE⊥MB，CE∩AE＝E，

∴MB⊥平面ABCE.

故以B为坐标原点，BE，BA，BM所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0,2,0），C（2，－2,0），E（2，0,0），M（0,0,2），

＝（0，－2,2），＝（2，－2,0），＝（2，－2，－2）．

设平面AME的法向量为m＝（x，y，z），

则即令y＝，得平面AME的一个法向量为m＝（，，1），

∴cos〈m，〉＝＝－，

故直线MC与平面AME所成角的正弦值为.

20．（本小题满分15分）已知数列{an}满足an＋2＝qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列．

（1）求q的值和{an}的通项公式；

（2）设bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．

（1）由已知，有（a3＋a4）－（a2＋a3）＝（a4＋a5）－（a3＋a4），即a4－a2＝a5－a3，

所以a2（q－1）＝a3（q－1），

又因为q≠1，所以a3＝a2＝2.

由a3＝a1q，得q＝2，

当n＝2k－1（n∈N*）时，an＝a2k－1＝2k－1＝2

当n＝2k（n∈N*）时，an＝a2k＝2k＝2

所以{an}的通项公式为an＝

（2）由

（1）得bn＝＝，

设数列{bn}的前n项和为Sn，

则Sn＝1×

＋2×

＋3×

＋…＋n×

Sn＝1×

两式相减，得Sn＝1＋＋＋＋…＋－＝－＝2－－，整理得Sn＝4－，

所以数列{bn}的前n项和为4－.

“18～20”大题规范满分练（三）

18．（本小题满分14分）已知函数f（x）＝sin＋2cos2ωx－1（ω>

0）．

（1）若ω＝1，求函数f（x）的单调递增区间；

（2）若函数f（x）图象的相邻两对称轴之间的距离为，求函数f（x）在上的值域．

f（x）＝sin＋2cos2ωx－1

＝sin2ωx－cos2ωx＋cos2ωx

＝sin2ωx＋cos2ωx

＝sin.

（1）当ω＝1时，f（x）＝sin，

令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

所以函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z.

（2）由题意知T＝，

所以2ω＝＝，ω＝，

则f（x）＝sin.

由x∈，得x＋∈，

则f（x）∈.

故f（x）在上的值域为.

19．（本小题满分15分）已知△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，以BC为轴将△ABC旋转60°

到△DBC，形成三棱锥DABC.

（1）求证：

BD⊥AC；

（2）求直线BC与平面ACD所成角的余弦值．

取BC的中点E，连接AE，DE，

∵AB＝AC，∴AE⊥BC，

由翻折知DE⊥BC，

∴二面角ABCD为∠AED，

即∠AED＝60°

，且BC⊥平面ADE，

∴平面ADE⊥平面ABC.

∵DE＝AE＝，∠AED＝60°

∴△ADE为正三角形，

取AE的中点H，连接DH，

∴DH⊥AE.

∵平面ADE∩平面ABC＝AE，

∴DH⊥平面ABC，∴DH⊥AC.

取CE的中点F，连接FH，

可求得HE＝，FE＝，BE＝1，

由HE2＝FE·

BE，可知FH⊥BH，

∵FH∥AC，∴BH⊥AC.

∵DH∩BH＝H，

∴AC⊥平面DHB，∴AC⊥BD.

（2）法一：

取AD的中点M，连接MB，MC，过B点作BN⊥MC，垂足为N，

∵AB＝BD＝，AC＝CD＝，且M为AD的中点，

∴BM⊥AD，CM⊥AD，

∵BM∩CM＝M，

∴AD⊥平面BMC.

∵BN⊂平面BMC，

∴BN⊥AD.

∵BN⊥MC，AD∩MC＝M，

∴BN⊥平面ACD，

∴直线BC与平面ACD所成角即∠BCM，

由

（1）可知△ADE为正三角形，则AD＝，

可求得BM＝CM＝，BN＝，

∴CN＝，∴cos∠BCN＝.

∴直线BC与平面ACD所成角的余弦值为.

（等体积法）由

（1）可知△ADE为等边三角形，则DH＝.

S△ABC＝×

2×

＝，S△ACD＝×

×

＝.

设三棱锥BACD的高为h，

∵VBADC＝VDABC，

VDABC＝S△ABC·

DH＝×

＝，

∴VBADC＝S△ADC·

h＝×

h＝h＝，

解得h＝，

设直线BC与平面ACD所成角为α，

则sinα＝＝，cosα＝，

20．（本小题满分15分）已知函数f（x）＝alnx＋（x>

1）．

（1）若f（x）在区间（1，＋∞）不单调，求实数a的取值范围；

（2）当a＝1时，证明：

f（x）<

－x＋3.

（1）f′（x）＝－＝，

要使f（x）在区间（1，＋∞）不单调，

则f′（x）＝0在（1，＋∞）上有解，

即a＝在（1，＋∞）上有解，

所以a的取值范围是（0,1）．

（2）证明：

当a＝1时，

令g（x）＝lnx＋－＋x－3，

则g′（x）＝－（x－1）＝.

因为x>

1，所以－1>

0,1－x2－x<

0，

所以g′（x）<

0,

则g（x）在（1，＋∞）上单调递减，

所以g（x）<

g

（1）＝－<

故f（x）<

“18～20”大题规范满分练（四）

18．（本小题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c,

3（c－acosB）＝bsinA.

（1）求角A的大小；

（2）若sinBcosC＝，求角C的大小．

（1）由已知及正弦定理得，

3（sinC－sinAcosB）＝sinBsinA，

即3[sin（A＋B）－sinAcosB]＝sinBsinA，

化简得3cosAsinB＝sinBsinA.

∵sinB≠0，∴tanA＝，∴A＝.

（2）由

（1）知B＋C＝，

∴sincosC＝cos2C＋sinCcosC＝（1＋cos2C）＋sin2C＝cos2C＋sin2C＝－，

∴sin＝－.

又∵<

2C＋<

∴2C＋＝，∴C＝.

19.（本小题满分15分）如图，在四棱锥ABCD中，△ABD，△BCD均为正三角形，且二面角ABDC为120°

（1）求证：

AC⊥BD；

（2）求二面角BADC的余弦值．

设BD的中点为O，连接OA，OC，

则由△ABD，△BCD均为正三角形，

可得OA⊥BD，OC⊥BD,

∵OA∩OC＝O，∴BD⊥平面AOC.

∵AC⊂平面AOC，∴AC⊥BD.

（2）设△ABD，△BCD的边长均为2a，则OA＝OC＝a，

由二面角ABDC为120°

，可知∠AOC＝120°

，∴AC＝3a.

过点B作BE⊥AD，垂足为E，则BE＝a.

过点E作EH⊥AD，垂足为E，EH∩AC＝H.

在△ACD中，由余弦定理得，

cos∠DAC＝＝.

在Rt△AEH中，AE＝a，cos∠EAH＝＝，

∴AH＝a，EH＝a，

连接BH，则∠BEH就是所求的二面角BADC的平面角．

在等腰△ABC中，由余弦定理得，

cos∠BAC＝＝，

解得BH＝a.

又BE＝a，于是在△BEH中，

由余弦定理得，cos∠BEH＝＝.

所以二面角BADC的余弦值为.

20．（本小题满分15分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.

（1）证明{Sn－n＋2}为等比数列；

（2）求数列{Sn}的前n项和Tn.

当n＝1时，由Sn－2an＝n－4，得a1＝3.

∴S1－1＋2＝4.

当n≥2时，Sn－2an＝n－4可化为Sn＝2（Sn－Sn－1）＋n－4，

即Sn＝2Sn－1－n＋4，

∴Sn－n＋2＝2[Sn－1－（n－1）＋2]．

∴{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．

（2）由

（1）知，Sn－n＋2＝2n＋1，

∴Sn＝2n＋1＋n－2.

于是Tn＝S1＋S2＋…＋Sn

＝22＋1－2＋23＋2－2＋…＋2n＋1＋n－2

＝（22＋23＋…＋2n＋1）＋（1＋2＋…＋n）－2n

＝＋－2n

＝2n＋2＋－4.

∴数列{Sn}的前n项和Tn为2n＋2＋－4.

“18～20”大题规范满分练（五）

18．（本小题满分14分）已知函数f（x）＝cos2ωx－sinωxcosωx－（ω>

0）的最小正周期为π.

（1）求f的值；

（2）当x∈时，求f（x）的单调区间及取值范围．

（1）f（x）＝－sin2ωx－.

＝cos2ωx－sin2ωx＝cos.

∵T＝＝π，∴ω＝1，

∴f（x）＝cos，∴f＝.

（2）当x∈时，2x＋∈.

∴当2x＋∈，即x∈时，f（x）单调递减，∴f（x）的减区间为，

当2x＋∈，即x∈时，f（x）单调递增，∴f（x）的增区间为，

∴f（x）∈.

19．（本小题满分15分）如图，三棱柱ABCA1B1C1所有的棱长均为1，A1C1⊥B1C.

A1B⊥AC；

（2）若A1B＝1，求直线A1C1和平面ABB1A1所成角的余弦值．

取AC的中点O，连接A1O，BO，

∴BO⊥AC.

连接AB1交A1B于点M，连接OM，则B1C∥OM.

∵A1C1∥AC，A1C1⊥B1C，

∴AC⊥OM.

又∵OM∩BO＝O，

∴AC⊥平面A1BO.

∵A1B⊂平面A1BO，∴A1B⊥AC.

（2）∵A1C1∥AC，

∴直线A1C1和平面ABB1A1所成的角等于直线AC和平面ABB1A1所成的角．

∵三棱柱ABCA1B1C1所有的棱长均为1，

∴A1B⊥AB1，

∵A1B⊥AC，AB1∩AC＝A，

∴A1B⊥平面AB1C，

∴平面AB1C⊥平面ABB1A1.

∵平面AB1C∩平面ABB1A1＝AB1，

∴AC在平面ABB1A1的射影在直线AB1上，

∴∠B1AC为直线AC和平面ABB1A1所成的角．

∵AB1＝2AM＝2＝，

∵A1C1⊥B1C，A1C1∥AC，∴AC⊥B1C，

∴在Rt△ACB1中，cos∠B1AC＝＝＝.

∴直线AC和平面ABB1A1所成角的余弦值为.

即直线A1C1和平面ABB1A1所成角的余弦值为.

20．（本小题满分15分）已知函数f（x）＝（x>

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）求证：

f（x）>

e

（1）f′（x）＝.

令h（x）＝ex－x－1，则h′（x）＝ex－1，

当x<

0时，h′（x）<

0；

当x>

0时，h′（x）>

所以函数h（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，

所以h（x）min＝h（0）＝0，即ex≥x＋1，

当且仅当x＝0时等号成立．

由已知x>

0，得ex>

x＋1，<

所以f′（x）<

0.

所以函数f（x）的单调递减区间为（0，＋∞）．

等价于e－x＋xe

－1<

令g（x）＝e－x＋xe

－1，x>

则g′（x）＝－e－x＋e

＋x

＝－e

由

（1）知e

>

－＋1，

所以当x>

0时，有g（x）<

g（0）＝0，

即e－x＋xe

故f（x）>

“18～20”大题规范满分练（六）

18．（本小题满分14分）已知函数f（x）＝cos（2x＋φ）＋sin2x（0≤φ<

π）．

（1）若φ＝，求f（x）的值域；

（2）若f（x）的最大值是，求φ的值．

（1）由题意得f（x）＝cos＋sin2x

＝cos2x－sin2x＋

＝cos＋，

所以函数f（x）的值域为[0,1]．

（2）因为f（x）＝cosφcos2x－sinφsin2x＋

＝cos2x－sinφsin2x＋，

又函数f（x）的最大值为，

所以2＋2＝1，

从而cosφ＝0，又0≤φ<

π，故φ＝.

19．（本小题满分15分）设平面ABCD⊥平面ABEF，AB∥CD，AB∥EF，∠BAF＝∠ABC＝90°

，BC＝CD＝AF＝EF＝1，AB＝2.

CE∥平面ADF；

（2）求直线DF与平面BDE所成角的正弦值．

因为AB∥CD，AB∥EF，所以CD∥EF.

又因为CD＝EF，所以四边形CDFE是平行四边形．

所以CE∥DF.

因为CE⊄平面ADF，DF⊂平面ADF，

所以CE∥平面ADF.

（2）取AB的中点G，连接CG交BD于点O，连接EO.

因为CE∥DF，

所以DF与平面BDE所成角等于CE与平面BDE所成角．

因为AB⊥AF，平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，

所以AF⊥平面ABCD.

连接EG，DG，则四边形AGEF为平行四边形，

所以EG∥AF，

所以EG⊥平面ABCD.

因为BD⊂平面ABCD，所以EG⊥BD.

因为CG⊥BD，EG∩CG＝G，所以BD⊥平面ECG.

因为BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ECG.

在平面CEO中，作CH⊥EO交EO于点H.

又因为平面BDE∩平面ECG＝EO，

所以CH⊥平面BDE.

所以∠CEH是CE与平面BDE所成角．

过点G作GQ⊥EO，因为OC＝OG，所以CH＝GQ＝，

又CE＝DF＝，所以sin∠CEH＝＝.

故直线DF与平面BDE所成角的正弦值为.

20．（本小题满分15分）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）当d>

1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.

（1）由题意有，即

解得或

故或

（2）由d>

1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，

于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①

Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②

①－②可得Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，故Tn＝6－.

“18～20”大题规范满分练（七）

18．（本小题满分14分）（2019届高三·

辽宁五校协作体联考）已知函数f（x）＝cos2x＋sin（π－x）cos（π＋x）－.

（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；

（2）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）＝－1，a＝2，bsinC＝asinA，求△ABC的面积．

（1）f（x）＝cos2x－sinxcosx－

＝－sin2x－

＝－sin，

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈[0，π]，

∴函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间为和.

（2）由

（1）知f（x）＝－sin，

∴f（A）＝－sin＝－1，

∵△ABC为锐角三角形，∴0<

A<

∴－<

2A－<

∴2A－＝，即A＝.

又bsinC＝asinA，∴bc＝a2＝4，

∴S△ABC＝bcsinA＝.

19．（本小题满分15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PCD为正三角形且二面角PCDA为60°

（1）设侧面PAD与侧面PBC的交线为m，求证：

m∥BC；

（2）设底边AB与侧面PBC所成的角为θ，求sinθ的值．

因为BC∥AD，BC⊄侧面PAD，AD⊂侧面PAD，所以BC∥侧面PAD.

又因为侧面PAD∩侧面PBC＝m，

所以m∥BC.

（2）取CD的中点M，AB的中点N，连接PM，MN，

则PM⊥CD，MN⊥CD.

所以∠PMN是侧面PCD与底面ABCD所成二面角的平面角．

从而∠PMN＝60°

作PO⊥MN于O，则PO⊥底面ABCD.

因为CM＝2，PM＝2，

所以OM＝，OP＝3.

以O为坐标原点，ON为x轴，OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则A（4－，－2,0），B（4－，2,0），C（－，2,0），P（0，0,3），＝（0,4,0），＝（4－，2，－3），＝（－，2，－3）．

设n＝（x，y，z）是平面PBC的法向量，

取y＝3，得平面PBC的一个法向量为n＝（0,3,2）．

则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝.

20．（本小题满分15分）已知函数f（x）＝.

（1）求函数f（x）在（1，f

（1））处的切线方程；

f（x）仅有唯一的极小值点．

（1）因为f′（x）＝，

所以f′

（1）＝－2.

又因为f

（1）＝e＋2，

所以切线方程为y－（e＋2）＝－2（x－1），

即2x＋y－e－4＝0.

令h（x）＝ex（x－1）－2，

则h′（x）＝ex·

x，

所以x∈（－∞，0）时，h′（x）<

当x∈（0，＋∞）时，h′（x）>

当x∈（－∞，0）时，易知h（x）<

0，f（x）在（－∞，0）上没有极值点．

当x∈（0，＋∞）时，

因为h

（1）＝－2<

0，h

（2）＝e2－2>

所以f′

（1）<

0，f′

（2）>

f（x）在（1,2）上有极小值点．

又因为h（x）在（0，＋∞）上单调递增，

所以f（x）仅有唯一的极小值点．

“18～20”大题规范满分练（八）

18．（本小题满分14分）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）

的部分图象如图所示．

（1）求函数f（x）的解+析式；

（2）求函数f（x）在区间上的最值，并求出相应的x值．

（1）由图象可知A＝2.

周期T＝×

＝×

＝π，

又T＝＝π，∴ω＝2.

∴f（x）＝2sin（2x＋φ），∴f＝2sin＝2，

∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，