（定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边）
3：
勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：
勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：
勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：
互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：
勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
6：
勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等
③用含字母的代数式表示组勾股数：
（为正整数）；
（为正整数）（，为正整数）
二、典型题归类
类型一：
等面积法求高
【例题】如图，△ABC中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D。
（1）求AB的长；
（2）求CD的长。
类型二：
面积问题
A
B
C
D
7cmmmmmmmm
【例题】如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
【练1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形，
（1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。
（2）求∠ADC的度数
【练2】如图，四边形是正方形，⊥，且=3，=4，阴影部分的面积是______.
【练3】如图字母B所代表的正方形的面积是
类型三：
距离最短问题
小河
A
B
东
北
牧童
小屋
【例题】如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
【练1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
【练2】如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外表面爬到B顶点的最短路程是（ ）
A、3 B、C、 D、1
【练3】如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
B
C
A
20
15
10
类型四：
判断三角形的形状
【例题】如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
【练1】已知△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数,且m＞n）,判断△ABC是否为直角三角形.
【练2】.已知a，b，c为△ABC三边，且满足（a2－b2）（a2+b2－c2）＝0，则它的形状为（ ）三角形A.直角 B.等腰C.等腰直角D.等腰或直角
【练3】三角形的三边长为,则这个三角形是（）三角形
（A）等边（B）钝角（C）直角（D）锐角
类型五：
直接考查勾股定理
【例题】在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）已知a=6，c=10，求b；
（2）已知a=40，b=9，求c；（3）已知c=25，b=15，求a.。
类型六：
构造应用勾股定理
【例题】如图，已知：
在中，，，.求：
BC的长.
练：
△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．
类型七：
利用勾股定理作长为的线段
例1在数轴上表示的点。
作法：
如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。
【练习】在数轴上表示的点。
类型八：
勾股定理及其逆定理的一般用法
【例题】若直角三角形两直角边的比是3：
4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
【练习1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
2、已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+，求这个三角形的面积．
类型九：
生活问题
【例题】如下左图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．
【练1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做㎝。
【练2】如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。
他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。
【练3】如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米.
类型十：
翻折问题
【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
【练习1】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
【练习2】如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，求AC的长。
如图，把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处。
（1）求证：
（2）设，试猜想之间的一种关系，并给予证明．
3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.
（1）该城市是否会受到这交台风的影响？
请说明理由.
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
如图所示，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B顺时针旋转到CBE的位置，若BP=，求：
以PE为边长的正方形的面积
如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．
勾股定理全章知识点及典型题归类
2013-3-1015008620708（李老师）姓名：
典型题归类类型一：
等面积法求高
【例题】如图，△ABC中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D。
（1）求AB的长；
（2）求CD的长。
类型二：
面积问题
【练1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形，
（1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。
（2）求∠ADC的度数
【练2】如图，四边形是正方形，⊥，且=3，=4，阴影部分的面积是______.
类型三：
距离最短问题
小河
A
B
东
北
牧童
小屋
【例题】如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
【练2】如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外表面爬到B顶点的最短路程是（ ）
A、3 B、C、 D、1
B
C
A
20
15
10
（1班）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
类型四：
判断三角形的形状
【例题】如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
【练1】已知△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数,且m＞n）,判断△ABC是否为直角三角形.
类型六：
构造应用勾股定理
【例题】如图，已知：
在中，，，.求：
BC的长.
练：
△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．
类型七：
利用勾股定理作长为的线段
在数轴上表示的点。
类型八：
勾股定理及其逆定理的一般用法
已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+，求这个三角形的面积．
类型九：
生活问题
【练
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