初一升初二暑假数学教材.doc

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起飞教育初二数学（培优）

第1讲平方根

月日姓名：

【学习目标】

1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；

2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；

3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。

【知识要点】

1、算术平方根：

如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算

术平方根，记作“”，读作“根号”。

注意：

（1）规定0的算术平方根为0，即；

（2）负数没有算术平方根，也就是有意义时，一定表示一个非负数；

（3）（）。

2、平方根：

如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根

（也叫二次方根）。

注意：

（1）一个正数必须有两个平方根，一个是的算术平方根“”，另外一个是“-”,读作“负根号”，它们互为相反数；

（2）0只有一个平方根，是它本身；

（3）负数没有平方根。

3、开平方：

求一个数的平方根的运算。

其中叫做被开方数。

观察二者的特征，注意他们的区别与联系。

【典型例题】

例1、求下列各数的算术平方根与平方根

（1）

（2）100（3）1

（4）0（5）（6）7

例2、计算

（1）

（2）（3）-

例3、计算

（1）

（2）

（3）（4）

（5）（6）

例4、当有意义时，a的取值范围是多少？

【经典练习】

1、求下列各数的算术平方根和平方根

（1）16

（2）（3）12

（4）0.01（5）

2、计算

（1）

（2）

（3）（4）

3、判断

（1）－52的平方根为－5（）

（2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数（）

（3）0和负数没有平方根（）

（4）4是2的算术平方根（）

（5）的平方根是±3（）

（6）因为的平方根是±,所以=±（）

4、有意义，则的范围___________

5、如果a（a＞0）的平方根是±m，那么（）

A.a2=±m B.a=±m2 C.=±m D.±=±m

【课后作业】

1、下列各数中没有平方根的数是（）

A.－（－2）3 B.3－3 C.a0 D.－（a2+1）

2、等于（）

A.a B.－a C.±a D.以上答案都不对

3、若正方形的边长是a,面积为S，那么（）

A.S的平方根是a B.a是S的算术平方根

C.a=± D.S=

4、当___________时，是二次根式．

5、要使有意义，则的范围为___________

6、计算

（1）-

（2）

记一记

第6讲立方根

月日姓名：

【学习目标】

1.掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。

2.能够利用立方根运算与立方根之间的关系求一个数的立方根，并理解两者之间的互逆关系，同时掌握立方根与平方根的区别。

3.熟练掌握并熟记一些常见的数的立方数。

4.会用立方根解决简单的实际应用问题，提高学生的应用能力。

【知识要点】

1、立方根的概念：

如果一个数x的立方等于a，即=a，那么这个数x就叫做a的立方根（或叫做三次方根）。

2、立方与立方根的关系：

若有x3=a成立，则a是x的立方，x就是a的立方根。

注：

任何数均有立方根，立方根是唯一的；任何数不一定有平方根，平方根是不唯一的。

3、开立方的概念：

求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数。

注：

，

4、正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数

注：

正数的立方根大于负数的立方根，0是介于两者之间。

【典型例题】

例1、

（1）由于的-27，则是的立方根。

（2）若=成立，则是的立方；是的立方根。

例2、

（1）2的立方等于多少？

是否有其他的数，他的立方等于8？

（2）－3的立方等于多少？

是否有其他的数，它的立方也是－27？

例3、求下列各数的立方根

（1）512

（2）（3）0（4）

例4、比较三个数的大小:

0,

例5、若=0，则的立方根是多少？

★例6、已知x=是m+n+3的算术平方根，y=是m+2n的立方根，求y-x的立方根.

【经典练习】姓名：

成绩：

一、填空题：

1、若=0.125，则是的立方根．

2、64的立方根是________．

3、的立方根是________

二、判断并加以说明．

1、的立方根是；（　）

　2、没有立方根；（　）

　3、的立方根是；（　）

　4、是的立方根；（　）

　5、负数没有平方根和立方根；（　）

　6、a的三次方根是负数，a必是负数；（　）

　7、立方根等于它本身的数只能是0或1；（　）

　8、如果x的立方根是，那么；（　）

　9．的立方根是；（　）

10、的立方根是没有意义；（　）

　11、的立方根是；（　）

三、选择题：

1、8的立方根是（）

A、2B、-2C、4D、+2

2、的立方根是（）．

A、16B、C、4D、8

3、计算的结果是（）.

A.3B.7C.-3D.-7

4．下列叙述正确的是（）．

A．是7的一个立方根B．的立方是11

C．如果x有算术平方根，则x＞0D．如果x有平方根，它一定有立方根

四、计算题

1、已知=0，求的立方根。

★2、若3x+1的平方根是+4，求9x+19的立方根.

【课后作业】姓名成绩家长签名

一、判断题：

1、的立方根是+（）

2、负数没有立方根（）

3、-是-7的立方根（）

4、若，则x=y（）

5、若，则（）

二．选择题

1、若m<0,则m的立方根是（）

A、B、-C、+D、

2、如果是6-x的立方根，那么（）

A、x<6B、x=6C、D、x是任意实数

三、填空题

1、若x<0,=,=

2、比较大小：

3、的算术平方根与的立方根的乘积是

4、若，则=

四、求下列各数的立方根．

（1）

（2）（3）（4）

五、能力拓展题。

已知，，（为整数，为正的纯小数），求的平方根。

第7讲平方根和立方根的应用

月日姓名：

【学习目标】

1、进一步了解理解平方根，算术平方根，立方根和开立方的概念；

2、会用根号表示一个数的平方根，算术平方根，立方根，掌握三者的基本运算以及它们与相反数、倒数、绝对值相结合的简单运算；熟练掌握一些基本数的平方和立方，以便解决开平方和开立方的运算。

3、掌握平方根和立方根的一些简单的综合利用，让学生知道数学来源于实际生活，增强学生数学的学习兴趣。

【知识要点】

1、算术平方根、平方根与立方根的区别与联系：

（1） 区别：

A、根指数不同：

平方根的根指数为2，且可以省略不写；立方根的根指数为3，且不能省略不写。

B、被开方的取值范围不同：

平方根中被开方数必需为非负数；立方根中被开方数可以是任何数。

C、 结果不同：

平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果；算术平方根只有一个，且是正数;立方根的结果只有一。

（2） 联系：

二者都是与乘方运算互为逆运算。

特别注意：

2、无理数的相反数、倒数、绝对值与有理数的相反数、倒数、绝对值类似。

3、比较两个无理数的大小：

（1）＞＞

（2）＞＞或＞

4、含有二次根号式子取最小值时，当且仅当被开方数为0，且被开方数为非负数有意义。

5、简单方程的解法以及二次根式非负性的性质。

【典型例题】

例1、下列说法，正确的有（）

（1） 只有非负数才有平方根和立方根；

（2）如果a有立方根，那么a一定是正数；（3）如果a没有平方根，那么a一定是负数；（4）立方根等于它本身的数是0；

（5）一个正数的平方根一定大于它的立方根。

A．1个   B2个    C3个    D4

例2、a.由于，则是的立方；是的立方根。

b.若＞0,则;

例3、的相反数是；的绝对值是