二次函数中考应用题大全.doc

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中考二次函数与实际问题大全

利用二次函数解决实际问题关键是把实际问题转化为二次函数模型，有时要根据实际问题的情境建立平面直角坐标系，建立坐标系以简单为原则，

例1写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．

①圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；

②某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；

③菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系.

[例2]：

在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．

（1）运动第t秒时，△PBQ的面积y（cm²）是多少？

（2）此时五边形APQCD的面积是S（cm²），写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围．

（3）t为何值时s最小，最小值时多少？

[例3]：

已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

解：

设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，

则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4）

易知CN=4-x，EM=4-y．

过点B作BH⊥PN于点H

则有△AFB∽△BHP

∴，即，

∴，

，

此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，

∴当x≤5时，函数值随的增大而增大，

对于来说，当x=4时，．

练习1．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成．若设花园的宽为x（m），花园的面积为y（m²）．

（1）求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；

（2）根据

（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？

解：

∵

∴

∵二次函数的顶点不在自变量的范围内，

而当内，随的增大而减小，

∴当时，

（平方米）

答：

当米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．

2

练习2．如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？

（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？

如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；

解：

（1）设正方形的边长为cm，

则．

即．

解得（不合题意，舍去），．

剪去的正方形的边长为1cm．

（2）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，

则与的函数关系式为：

．

即．

改写为．

当时，．

即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，

长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．

例4一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到的最大高度是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮球中心到地面的距离为3.05米，

①根据题意建立直角坐标系，并求出抛物线的解析式。

②该运动员的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，问：

球出手时，他跳离地面的高度是多少？

练习某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．

最大利润问题

例5：

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：

每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

练习某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件。

①若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

②若每件衬衫降价x元时，商场平均每天盈利y元，写出y与x的函数关系式。

例6某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：

这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？

最高利润是多少？

练习

1．某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：

销售价x（元/千克）

…

25

24

23

22

…

销售量y（千克）

…

2000

2500

3000

3500

…

（1）在如图5的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点。

连接各点并观察所得图象，判断y与x之间的函数关系，求出y与x之间的函数关系式。

（2）若樱桃进价为每千克13元，试求销售利润P（元）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式，当x取何值时，P的值最大？

习题

1．二次函数，当x=_，_时，y有最__值，这个值是．

2．某一抛物线开口向下，且与x轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为（只写一个），此类函数都有_大_值（填“最大”“最小”）．

3．不论自变量x取什么实数，二次函数y=2x2－6x+m的函数值总是正值，你认为m的取值范围是，此时关于一元二次方程2x2－6x+m=0的解的情况是__（填“有解”或“无解”）

4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是米．

5．在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：

S=V0t-gt2（其中g是常数，通常取10m/s2），若V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面___m．

6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天

在某段公路上行驶上，速度为V（km/h）的汽车的刹车距离S（m）可由公式S=V2

确定；雨天行驶时，这一公式为S=V2．如果车行驶的速度是60km/h，那么在雨天

行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_米．

7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价_元，最大利润为__元．

8．如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1m，球路的最高点B（8，9），则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米（精确到0.1m）．

9市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量（千克）与销售单价（元）

（）存在如下图所示的一次函数关系式．

⑴试求出与的函数关系式；

⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？

最大利润是多少？

⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围（直接写出答案）．

解：

⑴设y=kx+b由图象可知，

，

即一次函数表达式为．

⑵

∵∴P有最大值．

当时，（元）

（或通过配方，，也可求得最大值）

答：

当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．

⑶∵

∴31≤x≤34或36≤x≤39．

利润最大化与二次函数

二次函数在市场经济的今天，用途特别广泛。

利润最大问题，就是一个典型。

下面就举例说明。

1、住宿问题

某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加元．求：

（1）房间每天的入住量（间）关于（元）的函数关系式．

（2）该宾馆每天的房间收费（元）关于（元）的函数关系式．

（3）该宾馆客房部每天的利润（元）关于（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，有最大值？

最大值是多少？

（2008年贵阳市）

分析：

因为，每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，

现在增加x元，折合个10元，所以，有个房间空闲；

空房间数+入住房间数=60，这样第一问就解决了；

房间收费数额应该等于房间的定价乘以房间的数量，这样第二问的等量关系也找到了；

在解答第三问时，关键是理解利润的意义，利润=每天的房间收费数-每个房间每天支出的各种费用。

解：

（1）房间每天的入住量（间）关于（元）的函数关系式是：

y=60-，

（2）宾馆每天的房间收费（元）关于（元）的函数关系式是：

z=（200+x）（60-），

（3）宾馆客房部每天的利润（元）关于（元）的函数关系式是：

W=（200+x）（60-）-20（60-），

整理，得：

W=-+42x+10800

=-（x2-420x）+10800

=-（x-210）2+15210，

因为，a=-＜0，所以，函数有最大值，

并且，当x=210时，函数W有最大值，最大值为15210，

当每个房间的定价为每天410元时，有最大值，最大值是15210元。

2、投资问题

例2、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。

某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示（注：

利润与投资量的单位：

万元）

（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？

他能获取的最大利润是多少？

（2008年•南宁市）

分析：

根据图像和题意知道y1是x的正比例函数，并且知道图像上的一个点的坐标为P（1，2），这样就可以求出正比例函数的解析式；

仔细观察抛物线的特点，抛物线经过原点，顶点也在原点，因此，解析式一定是形如y=ax2的形式。

解：

（1）因为，y1是x的正比例函数，设，y1=kx，

因为，图像经过点P（1，2），

所以，2=k，

所以，利润y1关于投资量的函数关系式是y1=2x，x＞0；

因为，y2是x的二次函数，设，y2==ax2，

因为，图像经过点Q（2，2），

所以，2=4a，

所以，a=，

所以，利润y2关于投资量的函数关系式是y2=x2，x＞0；

（2）这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，其