《培优》九年级部分题目解析.doc

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16.转化灵活的圆中角

【例1】（2011•荆门）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B=40°，则∠ACD的度数是50°．

考点：

圆周角定理．

专题：

计算题．

分析：

连接AD，构造直角三角形，利用同弧所对的圆周角相等求得直角三角形的一个锐角，再求另一个锐角即可．

解答：

解：

连接AD，

∵CD是直径，

∴∠CAD=90°，

∵∠B=40°，

∴∠D=40°，

∴∠ACD=50°，

故答案为50°．

点评：

此题主要考查的是圆周角定理的推论：

半圆或直径所对的圆周角是90°；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

【例2】如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD=BD，∠C=70°，现给出以下四个结论：

①∠A=45°；②AC=AB；③； ④2CE•AB=BC2，其中正确结论的序号为②④．

考点：

圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．

专题：

压轴题．

分析：

首先连接AD，OE，BE，由AB为⊙O的直径，CD=BD，易证得AB=AC，又由∠C=70°，可求得∠BAC=40°；继而可求得∠BOE=80°，∠AOE=100°，则可得弧AE≠弧BE；易证得△CEB∽△BDA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得2CE•AB=BC2．

解答：

解：

连接AD，OE，BE，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=∠AEB=90°，

∵CD=BD，

∴AC=AB，

故②正确；

∴∠B=∠C=70°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=40°，

故①错误；

∵∠BOE=2∠BAC=80°，

∴∠AOE=180°-∠BOE=100°，

∴；

故③错误；

∵∠CEB=∠ADB=90°，∠CBE=∠CAD=∠BAD，

∴△CEB∽△BDA，

∴

∴BC•BD=AB•CE，

∵BC=2BD，

∴2CE•AB=BC2．

故④正确．

故答案为：

②④．

点评：

此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

【例3】（2000•黑龙江）如图，已知四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB2=AE•AC，BD=8，求△ABD的面积．

考点：

圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．

专题：

计算题．

分析：

求△ABD的面积，已知了底边BD的长，因此只需求出BD边上的高即可．连接OA、OB，交DB于F；已知AB2=AE•AC，易证得△ABE∽△ACB；可得∠BCA=∠DBA，即弧AD=弧AB，根据垂径定理，可知OA垂直平分BD；易求得OF=3，则AF=2，由此可求得△ABD的面积．

解答：

解：

如图，连接OA、OB，交DB于F；

∵AB2=AE•AC，即

又∵∠BAE=∠CAB，

∴△ABE∽△ACB；

∴∠DBA=∠BCA；

而∠BCA=∠BDA，∴∠DBA=∠BDA；

∴AB=AD，∴OA⊥BD，且F为BD的中点；

∴BF=4；

在Rt△BOF中，OB2=BF2+OF2，∴OF=3；

而OA=5，∴AF=2；

∴S△ABD=BD×AF=8．

点评：

本题综合考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形面积公式等知识，综合性强，难度稍大．

【例4】（2011•广州）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．

（1）证明：

B、C、E三点共线；

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：

MN=OM；

（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？

若是，请证明；若不是，说明理由．

考点：

圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理；旋转的性质．

专题：

证明题；压轴题．

分析：

（1）根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，∠DCE是直角，即可得到∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°；

（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD=AE，∠EBD=∠CAE，则∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位线的性质得到ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM，于是有ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，即可得到结论；

（3）证明的方法和

（2）一样．

解答：

（1）证明：

∵AB是直径，

∴∠BCA=90°，

而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，

∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，

∴B、C、E三点共线；

（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图1，

∵CB=CA，CD=CE，

∴Rt△BCD≌Rt△ACE，

∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，

∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BF⊥AE，

又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，

∴ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM；

∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，

∴MN=OM；

（3）成立．

理由如下：

如图2，连接BD1，AE1，ON1，

∵∠ACB-∠ACD1=∠D1CE1-∠ACD1，

∴∠BCD1=∠ACE1，

又∵CB=CA，CD1=CE1，

∴△BCD1≌△ACE1，

与

（2）同理可证BD1⊥AE1，△ON1M1为等腰直角三角形，

从而有M1N1=OM1.

点评：

本题考查了直径所对的圆周角为直角和三角形中位线的性质；也考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及旋转的性质．

1.（2010•抚顺）如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，且∠AOC=80°，点D在⊙O上（不与B、C重合），则∠BDC的度数是50°或130°．

解：

如图；

∵∠AOC=80°，

∴∠BOC=180°-∠AOC=100°；

∴∠BEC=∠BOC=50°；

∵四边形BECF内接于⊙O，

∴∠BEC+∠BFC=180°，即∠BFC=180°-∠BEC=130°；

①当点D在优弧CAB上时，∠BDC=∠BEC=50°；

②当点D在劣弧BC上时，∠BDC=∠BFC=130°；

故∠BDC的度数为50°或130°．

注意：

由于点D的位置不确定，因此要分情况进行讨论：

（1）点D在优弧CAB上，

（2）点D在劣弧BC上．

3.（2010•苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为（，）．

考点：

解直角三角形；坐标与图形性质；圆周角定理．

专题：

压轴题．

分析：

分P点在第一象限，P点在第四象限，由勾股定理即可求得P点的坐标．

解答：

解：

∵OB=2，OA=，

∴AB==4，

∵∠AOP=45°，

P点横纵坐标相等，可设为a，

∵∠AOB=90°，

∴AB是直径，

∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（，1），

P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2．

过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，

∴∠CFP=90°，

∴PF=a-1，CF=a-，PC=2，

∴（a-）2+（a-1）2=22，舍去不合适的根，可得a=1+，P（，）；即P点坐标为（，）.

点评：

此题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合应用能力．

4.如图，四边形ABCD的对角线CA平分∠BCD且AD=AB，AE⊥CB于E，点O为四边形ABCD的外接圆的圆心，下列结论：

（1）OA⊥DB；

（2）CD+CB=2CE；（3）∠CBA-∠DAC=∠ACB；（4）若∠DAB=90°，则CD+CB=CA．其中正确的结论是（　　）

A．

（1）（3）（4）

B．

（1）

（2）（4）

C．

（2）（3）（4）

D．

（1）

（2）（3）

考点：

圆内接四边形的性质；全等三角形的判定与性质．

分析：

（1）易知：

OA=OB=OD（都是⊙O的半径），因此点O是△ABD的外心，因此O点在BD的垂直平分线上，由于△ABD是等腰三角形，因此OA⊥BD，可证得

（1）正确；

（2）本题可通过构建等腰三角形求解；延长CB至F，使BF=CD，连接AF；证△ABF≌△ADC；可的BF=CD，CF=2CE，即可证得

（2）的结论也正确；

（3）由

（2）可得：

∠BAF=∠DAC，因此∠CBA-∠BAF=∠F=∠ACB，可证得（3）的结论正确；

（4）若∠DAB=90°，那么△DAB和△ACF都是等腰直角三角形，那么CF=AC，即CB+CD=AC，显然（4）的结论是错误的．

解答：

解：

（1）中，根据点O为四边形ABCD的外接圆的圆心，则OA=OB=OD，

即点O也是三角形ABD的外心，

因此O是该三角形三边垂直平分线的交点，

又AB=AD，则OA⊥BD；故

（1）正确；

（2）中，延长CB至F，使BF=CD，连接AF，

根据圆内接四边形的对角互补，则∠ADC+∠ABC=180°，

又∠ABC+∠ABF=180°，∴∠ABF=∠ADC，

又AB=AD，BF=CD；∴△ABF≌△ADC，

∴AF=AC，又AE⊥CF，∴CE=EF，

即CD+CB=2CE，故

（2）正确；

（3）中，根据

（2）中的方法，得∠DAC=∠BAF，

∴∠CBA-∠DAC=∠CBA-∠BAF=∠AFC=∠ACB；因此（3）正确；

（4）中，若∠DAB=90°，则∠DCB=90°，则∠ACE=45°，

得到△ACE是等腰直角三角形，根据

（2）中的做法，则CD+CB=2CE=CA，故（4）错误．

因此正确的结论有：

（1）

（2）（3），故选D．

点评：

此题综合考查了圆内接四边形的性质，能够构造全等三角形，掌握全等三角形的判定和性质．

5.（2008•安顺）如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，

则∠AOQ=（　　）

A．60°B．65°

C．72°D．75°

考点：

正多边形和圆．

专题：

压轴题．

分析：

作辅助线连接OD，根据题意求出∠POQ和∠AOD的，利用平行关系求出∠AOP度数，即可求出∠AOQ的度数．

解答：

解：

连接OD，AR，

∵△PQR是⊙O的内接正三角形，

∴∠PRQ=60°，

∴∠POQ=2×∠PRQ=120°，

∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，

∴△AOD为等腰直角三角形，

∴∠AOD=90°，

∵BC∥RQ，AD∥BC，

∴AD∥QR，

∴∠ARQ=∠DAR，

∴弧AQ=弧DR，

∵△PQR是等边三角形，

∴PQ=PR，

∴弧PQ=弧PR，

∴弧AP=弧PD，

∴∠AOP=∠AOD=45°，

所以∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°．

故选D．

点评：

解决本题的关键是作出辅助线，利用中心角求解．

6.如图，AD是圆内接三角形ABC的高，AE是圆的直径，AB=，AC=，则AE×AD等于 ．

考点：

圆周角定理．

专题：

计算题．

分析：

根据圆周角定理及相似三角形的判定可得到△ABE∽△ADC，根据相似三角形的边对应成比例，不难求得AE×AD的值．

解答：

解：

∵AE是直径

∴∠ABE=∠ADC=90°

∵∠E=∠C

∴△ABE∽△ADC

∴,

∴AE×AD=AB•AC=3 ，故答案为3．

点评：

本题利用了直径对的圆周角是直角，圆周角定理，相似三角形