《线段的垂直平分线》典型例题.doc
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典型例题
例1.如图,已知:
在中,,,BD平分交AC于D.
求证:
D在AB的垂直平分线上.
分析:
根据线段垂直平分线的逆定理,欲证D在AB的垂直平分线上,只需证明即可.
证明:
∵,(已知),
∴(的两个锐角互余)
又∵BD平分(已知)
∴.
∴(等角对等边)
∴D在AB的垂直平分线上(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
例2.如图,已知:
在中,,,AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F。
求证:
。
分析:
由于,,可得,又因为EF垂直平分AB,连结AF,可得.要证,只需证,即证就可以了.
证明:
连结AF,
∵EF垂直平分AB(已知)
∴(线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等)
∴(等边对等角)
∵(已知),
∴(等边对等角)
又∵(已知),
∴(三角形内角和定理)
∴
∴
∴(直角三角形中,角所对的直角边等于斜边的一半)
∴
说明:
线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得,初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理,容易舍近求远,由三角形全等来证题.
例3.如图,已知:
AD平分,EF垂直平分AD,交BC延长线于F,连结AF。
求证:
。
分析:
与不在同一个三角形中,又,所在的两个三角形不全等,所以欲证,不能利用等腰三角形或全等三角形的性质.那么注意到EF垂直平分AD,可得,因此,又因为,,而,所以可证明.
证明:
∵EF垂直平分AD(已知),
∴(线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等).
∴(等边对等角)
∵(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
,
又(角平分线定义),
∴
说明:
运用线段的垂直平分线的定理或逆定理,能使问题简化,如本例题中,EF垂直平分AD,可以直接有结论,不必再去证明两个三角形全等.
例4.如图,已知直线和点A,点B,在直线上求作一点P,使.
分析:
假设P点已经作出,则由,那么根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知,点P在线段AB的垂直平分线上.而点P又在直线上,则点P应是AB的垂直平分线与垂线的交点。
作法:
1.连结AB.
2.作线段AB的垂直平分线,交直线于点P.
则P即为所求的点.
说明:
在求作一个点时,要考虑该点具备什么样的特点,如它到一条线段的两个端点距离相等,它就在连结这两点的线段的垂直平分线上,如果它到一个角的两边的距离相等,它就在这个角的平分线上.