届高三数学一轮复习函数及其表示.docx

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届高三数学一轮复习函数及其表示

2021届高三数学一轮复习——函数及其表示

1．函数

函数

两个集合A，B

设A，B是两个非空数集

对应关系f：

A→B

如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应

名称

称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数

函数记法

函数y＝f（x），x∈A

2.函数的三要素

（1）定义域

在函数y＝f （x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域．

（2）值域

与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f （x）|x∈A}叫做函数的值域．

（3）对应关系f：

A→B.

3．函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

4．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

概念方法微思考

1．分段函数f （x）的对应关系用两个式子表示，那么f （x）是两个函数吗？

提示　分段函数是一个函数．

2．请你概括一下求函数定义域的类型．

提示　

（1）分式型；

（2）根式型；（3）指数式型、对数式型；（4）三角函数型．

3．请思考以下常见函数的值域：

（1）y＝kx＋b（k≠0）的值域是R.

（2）y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的值域：

当a>0时，值域为；当a<0时，值域为.

（3）y＝（k≠0）的值域是{y|y≠0}．

（4）y＝ax（a>0且a≠1）的值域是（0，＋∞）．

（5）y＝logax（a>0且a≠1）的值域是R.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）若A＝R，B＝{x|x>0}，f：

x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数．（　×　）

（2）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．（　×　）

（3）已知f （x）＝5（x∈R），则f （x2）＝25.（　×　）

（4）函数f （x）的图象与直线x＝1最多有一个交点．（　√　）

题组二　教材改编

2．以下属于函数的有________．（填序号）

①y＝±；②y2＝x－1；③y＝＋；④y＝x2－2（x∈N）．

答案　④

3．函数y＝f （x）的图象如图所示，那么，f （x）的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．

答案　[－3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2）∪（4,5]

题组三　易错自纠

4．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是（　　）

答案　C

解析　A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确．

5．（多选）（2019·山东省济南市历城第二中学月考）下列各组函数是同一函数的是（　　）

A．f （x）＝x2－2x－1与g（s）＝s2－2s－1

B．f （x）＝与g（x）＝x

C．f （x）＝与g（x）＝

D．f （x）＝x与g（x）＝

答案　AC

6．函数y＝·的定义域是________．

答案　[2，＋∞）

7．已知f （）＝x－1，则f （x）＝____________.

答案　x2－1（x≥0）

解析　令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f （t）＝t2－1（t≥0），即f （x）＝x2－1（x≥0）．

8．（2019·湖北黄石一中模拟）已知函数f （x）＝则f （f （0））的值为________；方程f （－x）＝1的解是________．

答案　1　0或－1

解析　∵f （0）＝1，∴f （f （0））＝f 

（1）＝1.当－x≤0时，f （－x）＝－x＋1＝1，解得x＝0；当－x>0时，f （－x）＝2－x－1＝1，解得x＝－1.

第1课时　函数的概念及表示法

函数的概念

1．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是（　　）

答案　C

2．（2019·武汉模拟）下列五组函数中，表示同一函数的是________．（填序号）

①f （x）＝x－1与g（x）＝；

②f （x）＝lgx2与g（x）＝2lgx；

③f （x）＝x＋2，x∈R与g（x）＝x＋2，x∈Z；

④f （u）＝与f （v）＝；

⑤y＝f （x）与y＝f （x＋1）．

答案　④

3．已知A＝{x|x＝n2，n∈N}，给出下列关系式：

①f （x）＝x；②f （x）＝x2；③f （x）＝x3；④f （x）＝x4；⑤f （x）＝x2＋1，其中能够表示函数f：

A→A的是________．

答案　①②③④

解析　对于⑤，当x＝1时，x2＋1∉A，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确．

思维升华　

（1）函数的定义要求第一个数集A中的任何一个元素在第二个数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．

（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．

求函数的解析式

例1　求下列函数的解析式：

（1）已知f （1－sinx）＝cos2x，求f （x）的解析式；

（2）已知f ＝x4＋，求f （x）的解析式；

（3）已知f （x）是一次函数且3f （x＋1）－2f （x－1）＝2x＋17，求f （x）的解析式；

（4）定义在（－1,1）内的函数f （x）满足2f （x）－f （－x）＝lg（x＋1），求f （x）的解析式．

解　

（1）（换元法）设1－sinx＝t，t∈[0,2]，

则sinx＝1－t，∵f （1－sinx）＝cos2x＝1－sin2x，

∴f （t）＝1－（1－t）2＝2t－t2，t∈[0,2]．

即f （x）＝2x－x2，x∈[0,2]．

（2）（配凑法）∵f ＝2－2，

∴f （x）＝x2－2，x∈[2，＋∞）．

（3）（待定系数法）因为f （x）是一次函数，

可设f（x）＝ax＋b（a≠0），

∴3[a（x＋1）＋b]－2[a（x－1）＋b]＝2x＋17.

即ax＋（5a＋b）＝2x＋17，

∴解得

∴f （x）的解析式是f （x）＝2x＋7.

（4）（消去法）当x∈（－1,1）时，有2f （x）－f （－x）＝lg（x＋1）．①

以－x代替x得，2f （－x）－f （x）＝lg（－x＋1）．②

由①②消去f （－x）得，f （x）＝lg（x＋1）＋lg（1－x），

x∈（－1,1）．

思维升华函数解析式的求法

（1）待定系数法：

若已知函数的类型，可用待定系数法．

（2）换元法：

已知复合函数f （g（x））的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．

（3）配凑法：

由已知条件f （g（x））＝F（x），可将F（x）改写成关于g（x）的表达式，然后以x替代g（x），便得f （x）的解析式．

（4）消去法：

已知f （x）与f 或f （－x）之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f （x）．

跟踪训练1　

（1）（2020·济南月考）若f ＝，则当x≠0，且x≠1时，f （x）等于（　　）

A.B.C.D.－1

答案　B

解析　f （x）＝＝（x≠0且x≠1）．

（2）已知f （x）是二次函数且f （0）＝2，f （x＋1）－f （x）＝x－1，则f （x）＝________.

答案　x2－x＋2

解析　设f （x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），

由f （0）＝2，得c＝2，

f （x＋1）－f （x）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，

∴即

∴f （x）＝x2－x＋2.

（3）已知f （x）满足2f （x）＋f ＝3x－1，求f （x）．

解　已知2f （x）＋f ＝3x－1，①

以代替①中的x（x≠0），得

2f ＋f（x）＝－1，②

①×2－②，得3f （x）＝6x－－1，

故f （x）＝2x－－（x≠0）．

分段函数

命题点1　求分段函数的函数值

例2

（1）已知函数f （x）＝若f ＝－6，则实数a的值为________，f 

（2）＝________.

答案　－5　－6

解析　由题意得，f ＝3·＋1＝3，

所以f ＝f （3）＝9＋3a＝－6，

所以a＝－5，f 

（2）＝4－5×2＝－6.

（2）已知f （x）＝则f 

（2）＝________.

答案　3

解析　f 

（2）＝f 

（1）＋1＝f （0）＋2＝cos＋2＝1＋2＝3.

命题点2　分段函数与方程、不等式问题

例3　设函数f （x）＝则使f （x）＝的x的集合为__________．

答案　

解析　由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；

若x>0，则|log2x|＝，解得x＝或x＝.

故所求x的集合为.

本例中，则使f （x）>的x的集合为________．

答案　

解析　当x≤0时，由2x>得－1

当x>0时，由|log2x|>得0.

综上，所求x的集合是.

思维升华　

（1）分段函数的求值问题的解题思路

①求函数值：

当出现f （f （a））的形式时，应从内到外依次求值．

②求自变量的值：

先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．

（2）分段函数与方程、不等式问题的求解思路

依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．

跟踪训练2　

（1）设函数f （x）＝则f （f （－1））＝________.

答案　3

解析　∵f （－1）＝＝2，

∴f （f （－1））＝f 

（2）＝3.

（2）（2018·全国Ⅰ改编）设函数f （x）＝则满足f （x＋1）

答案　（－∞，0）

解析　方法一　①当即x≤－1时，f （x＋1）

解得x<1.

因此不等式的解集为（－∞，－1]．

②当时，不等式组无解．

③当即－1

④当即x>0时，f （x＋1）＝1，f （2x）＝1，不合题意．

综上，不等式f （x＋1）

方法二　∵f （x）＝

∴函数f （x）的图象如图所示．

由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f （x）为减函数，故f （x＋1）2x.

此时x≤－1.

当2x<0且x＋1>0时，f （2x）>1，f （x＋1）＝1，

满足f （x＋1）

此时－1

综上，不等式f （x＋1）

1．下列集合A到集合B的对应f是函数的是（　　）

A．A＝{－1,0,1}，B{－1,0,1}，f：

A中的数的平方

B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：

A中的数求平方根

C．A＝Z，B＝Q，f：

A中的数取倒数

D．A＝R，B＝{正实数}，f：

A中的数取绝对值

答案　A

解析　选项B中A中元素出现一对多的情况；选项C，D中均出现元素0无对应元素的情况．

2．下列图象中不能作为函数图象的是（　　）

答案　B

解析　B项中的图象与垂直于x轴的直线可能有两个交点，显然不满足函数的定义，故选B.

3．已知f ＝2x－5，且f （a）＝6，则a等于（　　）

A．－B.C.D．－

答案　B

解析　令t＝x－1，则x＝2t＋2，

所以f （t）＝2（2t＋2）－5＝