中考数学锐角三角函数与圆综合训练题.doc
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2015年春季人教版中考数学锐角三角函数与圆综合训练题
例题一2013•泸州）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD．
（1）求证：
CD2=CA•CB；
（2）求证：
CD是⊙O的切线；
（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长．
考点：
切线的判定；相似三角形的判定与性质．3338333
分析：
（1）通过相似三角形（△ADC∽△DBC）的对应边成比例来证得结论；
（2）如图，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明CD⊥OA即可；
（3）通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长度即可．
解答：
（1）证明：
∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△DBC，
∴=，即CD2=CA•CB；
（2）证明：
如图，连接OD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∵OA=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1+∠2=90°．
又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，
∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°，
∴OD⊥OA．
又∵OA是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（3）解：
如图，连接OE．
∵EB、CD均为⊙O的切线，
∴ED=EB，OE⊥DB，
∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠OEB，
∴∠CDA=∠OEB．
而tan∠CDA=，
∴tan∠OEB==，
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴===，
∴CD=8，
在Rt△CBE中，设BE=x，
∴（x+8）2=x2+122，
解得x=5．
即BE的长为5．
点评：
本题考查了切线的判定与性质：
过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．
例题二（2013•呼和浩特）如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：
FD=4：
3．
（1）求证：
点F是AD的中点；
（2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD=10，求半径CD的长．
考点：
相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．3718684
分析：
（1）由AD是△ABC的角平分线，∠B=∠CAE，易证得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF⊥AD，由三线合一的知识，即可判定点F是AD的中点；
（2）首先连接DM，设EF=4k，df=3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与ME的长，由余弦的定义，即可求得答案；
（3）易证得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：
（5k）2=k•（10+5k），解此方程即可求得答案．
解答：
（1）证明：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，
∴∠ADE=∠DAE，
∴ED=EA，
∵ED为⊙O直径，
∴∠DFE=90°，
∴EF⊥AD，
∴点F是AD的中点；
（2）解：
连接DM，
设EF=4k，df=3k，
则ED==5k，
∵AD•EF=AE•DM，
∴DM===k，
∴ME==k，
∴cos∠AED==；
（3）解：
∵∠B=∠3，∠AEC为公共角，
∴△AEC∽△BEA，
∴AE：
BE=CE：
AE，
∴AE2=CE•BE，
∴（5k）2=k•（10+5k），
∵k＞0，
∴k=2，
∴CD=k=5．
例题三2014烟台
例题四
（2014•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．
（1）求证：
AD=CD；
（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．
考点：
圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形．.
分析：
（1）由AB为直径，OD∥BC，易得OD⊥AC，然后由垂径定理证得，=，继而证得结论；
（2）由AB=10，cos∠ABC=，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得tan∠DAE，然后由圆周角定理，证得∠DBC=∠DAE，则可求得答案．
解答：
（1）证明：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥BC，
∴∠AEO=∠ACB=90°，
∴OD⊥AC，
∴=，
∴AD=CD；
（2）解：
∵AB=10，
∴OA=OD=AB=5，
∵OD∥BC，
∴∠AOE=∠ABC，
在Rt△AEO中，OE=OA•cos∠AOE=OA•cos∠ABC=5×=3，
∴DE=OD=OE=5﹣3=2，
∴AE===4，
在Rt△AED中，tan∠DAE===，
∵∠DBC=∠DAE，
∴tan∠DBC=．
点评：
此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
综合练习
1、如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，
PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E.
（1）求证：
∠EPD=∠EDO.
（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长.[中国教育出&版*^#@网]
2、如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上的一点，直线MN经过
点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠DAC．
（1）猜想直线MN与⊙0的位置关系，并说明理由；
（2）若CD=6，cos=∠ACD=，求⊙0的半径．
3、已知：
如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交的延长线于点，连结．
（1）求证：
与相切；
（2）连结并延长交于点，若，求的长．
4、如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．
（1）求证：
CD∥BF；
（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=，求线段AD的长．
图11
A
C
B
D
E
F
O
P
5、如图11，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：
直线PA为⊙O的切线；
（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；
（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值和线段PE的长．
6、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．
（1）求证：
KE=GE；
（2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（3）在
（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．
7、如图11，AB是⊙O的弦，D是半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于F，且CE=CB。
（1）求证：
BC⊙O是的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径。
8、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，过点O作
OE⊥AC交AB于E,若BC=4，△AOE的面积为5，求sin∠BOE的值．
参考答案：
1
【
1、
3、【解析】圆与直线的位置关系；相似和三角函数
【答案】
（1）证明：
连结OC
∵OD⊥BC
所以∠EOC=∠EOB
在△EOC和△EOB中
∴△EOC≌△EOB （SAS）
∴∠OBE=∠OCE=90°
∴BE与⊙O相切
（2）解：
过点D作DH⊥AB
∵△ODH∽△OBD
∴OD：
OB=OH：
OD=DH：
BD
又∵sin∠ABC=
∴OD=6
∴OH=4，OH=5，DH=2
又∵△ADH∽△AFB
∴AH：
AB=DH：
PB
13:
18=2:
FB
∴FB=
【点评】
（1）利用全等三角形求出角度为90°，即得到相切的结论。
（2）利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。
4分析】
（1）由BF是圆O的切线，AB是圆O的直径，根据切线的性质，可得到BF⊥AB，然后利用平行线的判定得出CD∥BF
（2）由AB是圆O的直径，得到∠ADB=90º，由圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，再根据三角函数cos∠BAD=cos∠BCD==
即可求出AD的长
【解析】
（1）证明：
∵BF是圆O的切线，AB是圆O的直径
∴BF⊥AB
∵CD⊥AB
∴CD∥BF
（2）解：
∵AB是圆O的直径
∴∠ADB=90º
∵圆O的半径5
∴AB=10
∵∠BAD=∠BCD
∴ cos∠BAD=cos∠BCD==
∴=8
∴AD=8
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，此题难度适中。
圆是一个特殊的几何体，它有很多独到的几何性质，知识点繁多而精粹。
圆也是综合题中的常客，不仅会联系三角形、四边形来考察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴。
因此圆在中考中占有重要的地位，是必考点之一。
在近几年各地的中考中,圆的有关性质,如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查，与圆有关的应用题、阅读理解题、探索存在性问题仍是中考命题的热点.
5【解析】
（1）要证PA是⊙O的切线，只要连接OB，再证∠PAO＝∠PBO＝90°即可．
（2）OD，OP分别是Rt△OAD，Rt△OPA的边，而这两个三角形相似且这两边不是对应边，所以可证得OA2＝OD·OP，再将EF＝2OA代入即可得出EF，OD，OP之间的等量关系．（3）利用tan∠F＝，得出AD，OD之间的关系，据此设未知数后，根据AD＝BD，OD＝BC＝3，AO＝OC＝OF＝FD－OF，将AB，AC也表达成含未知数的代数式，再在Rt△ABC中运用勾股定理构建方程求解．
【答案】解：
（1）证明：
如下图，连接OB，
∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°．
∵OA＝OB，BA⊥PO于D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB．
又∵PO＝PO，∴△PAO≌△PBO．
∴∠PAO＝∠PBO＝90°．∴直线PA为⊙O的切线．
A
C
B
D
E
F
O
P
（2）EF2＝4OD·OP．
证明：
∵∠PAO＝∠PDA＝90°，
∴∠OAD＋∠AOD＝90°，∠OPA＋∠AOP＝90°．
∴∠OAD＝∠OPA．∴△OAD∽△OPA．∴＝，即OA2＝OD·OP．
又∵EF＝2OA，∴EF2＝4OD·OP．
（3）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝BC＝3．
设AD＝x，∵tan∠F＝，∴FD＝2x，OA＝OF＝2x－3．
在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x－3）2＝x2＋32．
解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）．
AD＝4，OA＝2x－3＝5．
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°．
而AC＝2O
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