数学建模论文关于中国GDP是否超过美国的研究.docx
《数学建模论文关于中国GDP是否超过美国的研究.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模论文关于中国GDP是否超过美国的研究.docx（31页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数学建模论文关于中国GDP是否超过美国的研究
数学建模论文——关于中国GDP是否超过美国的研究
关于中国GDP是否超过美国的研究
摘要
自2008年全球经济危机以来，中国经济何时能超越美国逐渐成为一个热门话题，最近世界银行发布的一份报告声称基于PPP统计的GDP中国已经超越美国，这份报告更是在国内引起了轩然大波，中国GDP真的已经超越美国了么？
我们通过数学模型来分析这个问题。
对于经济指标经常采用的建模方法是回归分析模型和ARIMA模型。
本文首先就‘2014年中国GDP是否超过美国’这一问题进行分析整理。
取1990年至2012年的中国GDP数据和1960年至2012年的美国GDP数据为样本，通过整理分析数据绘制出GDP关于时间的散点图，建立回归模型，计算出2014年中国GDP预测值为103890亿美元，而美国为167320亿美元。
再比较两国基于平价购买力计算的GDP从而得出结论，中国GDP不会在2014年超越美国。
对问题二“预测多少年中国人均收入可以达到美国水平”进行分析。
考虑到由于两国国民人均收入相差太大，回归分析模型在中长期的预测效果较差，我们使用更精确的ARIMA模型进行中长期预测。
取1978年起的中国人均GNI数据为样本，使用ARIMA模型建模，首先确定对样本数据进行平稳性检验。
采用单位根检验来精确判断该样本的平稳性，然后我们通过计算样本截尾性和拖尾性对比表-0初步识别模型阶数并通过计算进行准确定阶，最终求解得到美国2012年人均GNI为46084.4129美元，对比得到中国在2037年才能达到2012年的人均GNI水平。
对问题三如何理解‘经济体’。
考虑到经济体的本义概念范围过于广泛，通过讨论我们决定结合前两问，从GDP和人均GNI入手，定义资本产出系数计算的国家通货购买力指数来衡量“经济体”。
通过对国家通货购买力指数建立模型，求得相比于美国，中国货币购买力增加较快，但其国民生产能力并未达到与购买力相同的增速，基于PPP计算的中国GDP虽然很高但不能说明中国是一个强大的“经济体”。
从而得出结论，2014年中国不能超越美国的成为世界“头号经济体”。
最后我们将计算结果简化叙述为新闻稿。
关键词：
回归分析模型ARIMA模型ARMA模型
国家通货购买力指数资本产出系数
一、问题重述
来自世界银行（WorldBank）的201国际银行4年4月29日的一份报告称“中国今年超越美国成为世界头号经济体”。
国际银行的“国际比较计划”列出了各国基于购买力平价（PPP）的GDP数据。
数据中指出，作为对真实生活成本的估计，购买力平价被认为是比较经济体规模的最佳方式，所以贫穷国家的货币购买力比预期要强。
据此计算，中国基于PPP的GDP于2011年已达到美国的86.9%，加上2011至2014年24%的经济增长，对比美国仅增长7%，中国GDP超美今年有望实现。
请建立模型从下面几个方面回答问题:
1.2014年中国GDP是否超过美国?
2.预测多少年中国人均收入可以达到美国的水平?
3.你如何理解“经济体”的概念?
2014年中国能否超越美国成世界头号“经济体”?
4.能否写一篇新闻稿阐述你的计算。
二、问题分析
在对经济指标进行量化的过程中，需要大量实时数据作为随机变量序列来进行分析拟合，本文数据如无特殊说明均出自世界银行年报。
我们通过对数据的分析发现经济指标的特殊性，经济指标往往是基于时间序列的自相关函数，所以我们初步考虑使用回归分析模型或ARIMA模型进行拟合。
2.1问题一的分析
事实上，由于GDP的统计有多种算法，而本次问题设计到宏观GDP和基于平价购买力的GDP，在处理问题的时候我们分别对两种GDP进行拟合，从而进行比较中美两国GDP。
初步考虑使用回归分析模型分析两国GDP，用MATLAB统计工具箱的命令regress求解从而得到拟合曲线，分别预测两国2014年GDP，比较得到中国GDP是否超过美国。
考虑到中国建立起完整的市场经济体制是在1985年以后，所以我们取1990年至2012年的中国GDP数据为样本，而美国早在20世纪初就已经建立完善的市场经济，我们取1960年至2012年的美国GDP数据为样本。
2.2问题二的分析
考察人均收入GNI，但是由于两国国民人均收入相差太大，回归分析模型在中长期的预测效果较差，我们使用更精确的ARIMA模型进行中长期预测。
取1978年起的中国人均GNI数据为样本，使用ARIMA模型建模步骤如下：
1）根据时间序列的散点图、自相关函数和偏自相关函数图以ADF
2）
3）
4）
1）能力，或者说在一定时期内用于购买商品的货币总额，通常以当期实际汇率转化成美元进行计算。
国际通货购买力计算公式：
（4-3）
其中为当期实际汇率，为资本产出系数。
2）汇率（exchangerate）：
官方汇率指的是由国家当局确定的汇率或由合法的外汇市场确定的汇率。
它是根据月平均值计算的年平均值（本币单位相对于美元的价值）。
3）决定系数：
决定系数是衡量拟合优度的一个重要指标，它的取值介于0与1之间，其计算公式为：
（4-4）
越接近于1，拟合程度越好；反之越差。
4）相关系数：
相关系数是一个用于测定因变量与自变量之间线性相关程度的指标，其计算公式为：
（4-5）
相关系数与决定系数之间存在关系式：
，（4-6）
5）检验
假设如下统计量：
（4-9）
服从分布，取显著性水平，则表明回归模型显著；如果，则表明回归模型不显著，该回归模型不能用于预测。
6）BIC准则（贝叶斯信息量BayesianInformationCriterion）
（4-10）
若某一阶数满足，其中为最高阶数，为拟合残差方差，则取为最佳阶数。
三、符号说明
a）决定系数
b）相关系数
c）BIC准则
d）为拟合残差方差
e）资本产出系数
f）国家购买力指数
四、模型的建立与求解
第一部分：
模型的准备
回归分析模型
多项式回归模型为:
（6-1）
将数据点代入，有
，（6-2）
式中是未知参数，为剩余残差项或随机扰动项，反映所有其他因素对因变量的影响。
ARIMA模型
ARIMA模型（AutoregressiveIntegratedMovingAveragemodel）差分整合移动平均自回归模型，又称整合移动平均自回归模型（移动也可称作滑动）。
中，是"自回归"，为自回归项数；为"滑动平均"，为滑动平均项数，为使之成为平稳序列所做的差分次数（阶数）。
模型可以表示为：
（6-3）
其中 是滞后算子（Lagoperator），
对ARIMA模型作次差分后即可得到ARMA模型。
ARMA模型
ARMA模型的一般形式为
（6-4）
用表示步线性推移算子，即，为常数
并令，记为（6-5）
这一模型就称作阶自回归阶滑动平均混合模型，记为模型，特殊地，若，称作纯滑动平均模型，记为；若，称作纯自回归模型，记为．若，模型退化为，即为白噪声列。
对于ARIMA模型和ARMA模型的定阶
对时间序列的，首先要进行相关性分析。
相关性分析的任务是计算序列的样本的自相关函数和样本偏相关函数，并由他们的截尾性和拖尾性来进行模型类别的判断。
可根据下表6-0进行模型结构的初选。
自相关函数
拖尾
截尾
拖尾
偏相关函数
截尾
拖尾
拖尾
表6-0
第二部分：
模型的建立
6.1问题一的模型建立与求解：
（一）回归分析方法：
取1990年至2012年以现价美元计算的中国GDP数据，记GDP数据为随机变量序列，对随机变量序列转置得到维列向量。
用MATLAB统计工具箱的命令regress求解，使用格式为
其中为GDP总量,为对应于回归系数的数据矩阵（的矩阵）,alpha为置信水平（缺省时=0.05）;为的估计值,为的置信区间为残差向量,为的置信区间，为回归模型的检测统计量，有四个值，第一个是回归方程的决定系数（是相关系数），第二个是统计量，第三个是与统计量对应的概率，第四个是剩余方差.
对中国GDP建立模型：
用MATLAB绘制中国GDP随时间变化的图像，如图6-11：
图6-11
从图1中我们大致可以确定该图与幂函数多项式的图像较为相近，所以我们建立了多项式模型，运用MATLAB统计工具箱的命令regress计算得到下表6-1：
回归检验参数
多项式的次数
决定系数
回归方程的F统计
拒绝无效假设的概率
2
0.96863
308.76
0
3
0.99665
1883.9
0
4
0.9969
1449.1
0
5
0.9984
2116.5
0
6
0.99843
1696.1
0
7
0.99848
1411.3
0
8
0.99849
1155.2
0
表6-1
从上表中可以看出随着多项式次数的增加决定系数R的值也在增加。
多项式的次数二次到五次，回归方程的F统计量在增加，但五次以后F的值突然减小造成拟合效果变差。
于是本文选择了五次多项式来拟合。
模型求解：
利用MATLAB统计工具求解，得到回归系数估计值及置信区间
（置信水平=0.05）。
如表6-2：
模型计算结果
参数
参数估计值
参数置信区间
6490.6
2210.9
10770
-3662.5
-6989.4
-335.7
1301.4
486.63
2116.1
-151.6
-235.59
-67.614
7.456
3.6313
11.281
-0.11962
-0.18308
-0.056152
表6-2
于是得到回归方程:
（6-6）
绘图如图6-12：
图6-12
由上图，我们可以进一步确定拟合效果非常好。
将2014年，带入中国GDP的预测公式:
（6-7）
得到，2014年，中国GDP的预测值为：
103,890亿美元。
代入（4-1）计算得到的基于PPP的GDP为：
165570亿美元。
对美国GDP建立模型：
取1990年至2012年的以现价美元计算的美国GDP数据，记GDP数据为随机变量序列，对随机变量序列转置得到维列向量。
用MATLAB绘制美国GDP以及GDP增长率随时间变化的图像得到图6-13：
图6-13
从上图中我们大致可以确定该图与幂函数多项式的图像较为相近，所以我们建立了多项式模型，运用MATLAB统计工具箱的命令regress计算得到下表6-3：
回归检验参数
多项式的次数
决定系数
回归方程的F统计
拒绝无效假设的概率
3
0.99805
8367.2
0
4
0.99828
6984.1
0
5
0.99857
6554.3
0
6
0.99893
7185.2
0
7
0.99894
6032.8
0
表6-3
根据上表得出多项式的次数是九次方的时候，拟合效果最好。
但是由建模的“约间”性原则，我们初步判断合适的多项式为五次方。
模型求解：
利用MATLAB统计工具求解，得到回归系数估计值及置信区间
（置信水平=0.05），如表6-4:
模型计算结果
参数
参数估计值
参数置信区间
β0
8035.9
4125.9
11946
β1
-1437.5
-2852.2
-22.742
β2
229.05
70.437
387.66
β3
-8.9901
-16.359
升级会员 