《经济数学模型化过程分析》Word文件下载.docx
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工程项目"
中国宏观经济运行模拟和分析系统"
的一部分，本书的部分章节构成北京市普通高等学校教育教学改革试点立项研究的基础。
本书作为经济数学模型化过程分析的一个尝试还存在着不少不足之处，恳切希望广大读者指正。
著者
1998年8月
第一章数学模型概论
§
1.1引言
任何模型都是原型的一种表现形式，而原型则指我们所研究的对象。
我们所讨论的模型是依据原型，由人来构造的模型，它是人对客观世界的一种理解。
广义而言，由于世间的事物皆有同一性，故任何事物都可能成为另一事物的模型；
但对千差万别的具体事物而言，模型又是有条件的。
构造模型是研究和解释客观世界的一种手段。
它使人们在比原型现存条件更为有利的条件下研究原型。
模型可以是实体，也可以是理论；
既可以定性，也可以定量；
可以具体，亦可抽象。
借助模型，人们可以从不同的侧面、不同的层次，去认识原型。
尤其是在现实世界里，有一些研究工作无法在原型上直接进行，因此人们需要构造模型来解决理论和实践中的问题。
模型是对原型的一种近似，它们之间存在着某种因果关系。
抽象地说，模型是原型的映象。
模型的性质
作为一个模型，应具备以下三个性质：
1.近似性：
模型是原型若干特征或内在联系的模仿或近似。
2.主观性：
模型基于构模者对原型以及"
模型空间"
的理解。
3.能动性：
模型可以能动地反映原型，乃至在时空上超越原型的现状。
正是模型的这些性质，使得人们愈来愈多地利用模型，重视模型，并开始探索建模的方法。
建立模型不仅需要对原型的深刻理解，而且需要一定的技巧、抽象和想象力。
模型化方法是学习建模的基础，抽象与想象则需在实践中培养。
就如作画需要对景物的敏锐观察，训练有素的技巧和艺术的抽象与想象。
当然，不断地钻研、探索、创新，是步入科学殿堂的必由之路。
对于同一原型，可以有不同的模型。
如何评价模型的优劣是模型化关心的问题之一。
模型的价值应取决于模型化的目的。
换言之，模型的优劣应由其解决问题的优劣而定。
如果一个模型突出了原型的主要矛盾和主要特征，从而有助于我们分析和解决问题，它就是一个好模型。
模型的种类甚多。
依据不同的准则，有以下几类主要的模型：
1.按照相似程度划分：
有同构模型（IsomorphicModel）和同态模型（HomomorphicModel）。
前者与其原型之间存在着一一对应的关系，即同构关系；
后者与其原型的部分相对应，依其相似程度可细分为精确的（Acurate）、适度的（Adequate）、和粗略的（Coarse）三种同态模型。
2.按照结构性态划分：
有形象模型（IconicModel）和抽象模型（AbstractModel）之分。
前者是由改变现实原型的度量、尺度或维数而得到的，其构造多为依据P定理（见第二章）和相似性原理，故又称比例模型（ScaleModel）；
后者是用抽象的符号、图表、语辞等表述的模型。
抽象模型又可细分为3类：
1）比拟模型（AnalogModel）：
它建立在不同的事物之间，模型与原型存在着同构或同态的关系。
例如用一组可控的条件来表征真实原型，通过模拟性实验研究原型的变化规律，这组可控条件就是比拟模型。
2）概念模型（ConceptModel）：
它是凭借现有的知识，提出的关于原型的结构与特性的表述。
概念模型往往是抽象的、原始的。
3）数学模型（MothematicalModel）：
它是用数学语言表达原型结构、特征、及内在联系的模型。
例如，用字母、数字或其它有特别含意的数学符号建立起来的等式、不等式、图象、以及框图等，都是数学结构，当它们表征一个特定原型时，就是数学模型。
3.按照对原型的了解程度划分：
有白箱模型（WhiteBoxModel）、黑箱模型（BlackBoxModel）和灰箱模型（GreyBoxModel）三种。
构模者对原型内部的结构与特性的了解程度分别是完全了解、完全不了解和部分了解。
关于模型的划分，不同的准则划分的类型也不同。
例如有人认为能真正划分的模型只有两类：
实物模型（PhysicalorMaterialModel）和符号模型（SymbolicorFormalModel）。
实物模型是有形的、可触知的、实体的模型化表达，模型的元素由物质或硬件构成。
如形象模型、硬件比例模型、和比拟计算机模型等。
符号模型是理论的、符号的、抽象的模型化表达，模型元素由原型的特定结构或行为的若干方面的符号表述。
如图样、语词表达、逻辑模型、数学模型以及计算机程序等等。
关于模型的性质及其分类将在第二章进行详细地讨论。
在一切模型之中，数学模型是用途最广泛的一种。
多少世纪以来，数学以其高深玄妙而被誉为自然科学的"
皇后"
然而在科学技术突飞猛进的今天，多学科相互交融，边缘学科不断涌现。
"
屈尊降为各学科的"
侍女"
，应运而生的交叉学科举不胜举。
如生物数学、数理医药学、计量经济学、计量地理学、数量经济学等等，犹如群芳争春，竞相绽放。
虽然新学科各有异彩，人们注意到一个事实：
它们的共同之处就是都借助数学模型研究各自的原型世界！
这些新兴学科的成功无一不是得益于数学模型的利用。
尤其是在这个计算机时代，往日只有数学家才能完成的计算工作，如今一般人也能完成，这一切使得数学模型的应用成为可能，因此，模型化工作日益受到人们的重视。
应当看到，即使在今天，人们对数学模型的本质仍有许多误解。
例如有人认为数学模型是一种语言，很容易予以文字解释。
这恰恰与实际情况相左，数学模型的一般性常常使人不知所云。
还有人认为数学模型及其结果总是正确的，科学的，这也是荒谬的。
虽然基于一组自封闭的公理系统的数学本身，在前提正确和推理无误的条件下，结果必然正确。
但是数学模型毕竟不是数学理论，它基于关于原型的假说，因此数学推证充其量是一个佐证。
假说必须用事实验证，换言之，不论是前提还是结果都必须以事实为依据。
最后需要指出的错误观点是认为数学模型没有用处。
我们且不赘举数学模型的辉煌成就，仅以质与量是构成事物属性的两个方面，缺少量的刻划则无法全面地认识事物，就足以反驳这种观点。
本书着重探讨经济数学模型化方法以及模型化理论与程序。
在经济工作中利用数学模型进行分析、预测、研究和决策，往往可以增加收益，降低消耗、减免风险、缩短时间、合理地利用有限的资源以获得最佳的效益。
随着计算机的普及和计算机技术的发展，数学模型在经济领域将有更广泛的应用。
1.2数学模型基本概念
数学模型是相对于一定的概念、系统、或过程而存在的。
E.A.本德[5]在他的《数学模型引论》中这样写道：
数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的数学结构。
具体地讲，数学结构就是由若干字母、数字、及含有特定意义的符号建立起的等式、不等式、序关系、逻辑式、图表、图象和框图。
数学模型和原型是一对范畴，相互依存、相互对立。
孤立的数学结构不是严格意义下的数学模型。
数学模型化的概念与数学模型不同，它是指建立数学模型和利用数学模型的全过程。
可以断言，从研究数学模型转到研究数学模型化是一个必然的趋势。
模型化研究具有广阔前景。
在此我们介绍几个简单的模型，使我们形成对数学模型的直观认识。
【例1.2.1】资源的配置
资源短缺是全世界共同面临的问题。
如何有效地利用现有的资源，使经济单位自身的经济效益最大，乃是许多经济学家研究的课题。
虽然原型的差异甚多，我们仍可抽象地假设原型问题是利用m种有限资源生产n种商品的最佳决策。
如果已知第i种商品的单位创利额是ci,（i=1,…,n）；
生产单位商品i需消耗aij单位的资源j,（i=1,…,nj=1,…,m）；
现有资源j的总量为bj，（j=1,…,m）；
待决策的商品i的数量为xi，（i=1,…,n）。
则可得出决策的选择范围是满足下列约束条件的x=（x1,…xn）T
j=1,…,m
xi30
判别决策优劣的目标是创利额
我们记x=（x1,…xn）
A=（aij）n′m
C=（c1,…cn）T
b=（b1,…bn）T
就得到一个数学模型
maxcTx（1-2-1）
s.t.Ax￡b
x30
这个数学结构称为线性规划，与其相应的有完整的理论与算法。
【例1.2.2】人口的预测
人口问题困扰着许多发展中国家，经济学家对人口预测作过许多尝试。
我们考虑一种最简单的情况。
假设某个国家在时刻t=t0年的人口数目x（t0）=x0，由历年统计加权得到平均出生率h，平均死亡率d，于是对t3t0可以得到一个粗糙的模型
或
其中，r=h－d是净生殖率，由初始条件解出
利用这个模型我们可以预测这个国家未来的人口。
这个简单模型说明在外界条件不变的情况下，人中将呈指数增长。
【例1.2.3】马克思的生产模型
马克思认为，在一定时期内社会总产品的价值是由三部分构成的：
1）在此期间消耗的生产资料价值，即不变资本c；
2）在此期间内用于生产过程的劳动力价值，即可变资本v；
3）被资本家剥削的剩余价值m。
依据生产资料的性质，马克思把国民经济分为两大部类，即生产生产资料的第一部类和生产消费资料的第二部类。
由定义，两部类的总价值分别为
I=c1＋v1＋m1
II=c2＋v2＋m2
总价值
TV=I＋II
马克思指出：
如果要维持简单再生产，则国民经济总处于同一水平。
这时，生产资料的总需要应和第一部类的总价值相等；
消费资料的需要应和第二部类的总价值相等。
于是，我们得到
c1＋c2=I
v1＋m1＋v2＋m2=II
我们注意到从前式可以推出后式，反之亦然。
而且，都与数学结构
v1＋m1=c2
等价。
即第一部类的可变资本和剩余价值等于第二部类的不变资本。
值得指出的是：
虽然两个数学模型不同，但可能在数学结构上"
等价"
【例1.2.4】常胜的赌徒
赌场如战场，有胜亦有败。
但如果在自由下注的赌场，则有常胜的可能性。
假如某位不贪心的赌者依据下列决策赌搏：
1.每次上赌场的目标是赢一元钱
2.一旦赢钱立刻停赌
那么他第k次的赌注为2k-1
总赌注:
Bk=1＋2＋22＋…＋2k-1
=2k－1
假如每次赢的概率为p，则输的概率为q=1-p。
显然，连输k次的概率是qk。
因此k次赌搏之中至少有一次赢的概率为1－qk，不论"
常胜"
意味胜的概率P0有多大，只要p>
0且P0<
1，当k充分大时，必有
1－qk>
P0
换言之，如果赌徒筹措到足够多的本钱n，则可望百战百胜。
模型为
n（1-2-2）
s.t.1－qk>
P0，
2k－1￡n，k为正整数
不难解出
当然，这是个数学游戏，因为输光头的概率毕竟存在！
现在我们考虑数学模型的基本概念与性质。
首先给出如下定义：
如果相应于某种体系的相依关系或逻辑关系，用形式化的数学语言概括地或近似地表述成为一个数学结构，则称这个数学结构为该体系的一个数学模型，记作M，称该体系为M的原型，记作P。
由定义不难得出，以下结论：
一个原型可以有不同的数学模型，模型不唯一；
而一个模型的数学结构则有可能是不同原型的模型，即有多个原型相对应，因此反之是有条件的。
一个数学结构自身必须在数学意义下协调，不能相悖，但是对刻划同一体系的模型而言，由于假说与解释的方式不同，我们将允许相悖。
正如物理学中描述物体运动的牛顿模型
和爱因斯坦模型
在数学意义下相悖。
但都成功地刻划了物体运动的规律。
我们把欲模型化的现象、问题、过程、体系，乃至用某种语言表示的系统，统称为原型，并记之为P。
虽然原型应相对于模型而存在，我们隐含假设任何事物都存在着数学模型，只是不一定令人满意罢了。
数学结构是一个有机的整体，可分性概念是有益的。
如果数学结构MS可以分解为若干子结构MSa，a?
L，其中L是非单点指标集，则称该数学结构是可分的。
并记。
下面我们举例说明可分性。
【例1.2.5】依据凯恩斯的经济理论，针对封闭的宏观经济体系，可建立如下模型，
M：
其中主要变量有内生变量：
Y（国民收入），C（消费），I（投资）和R（利率）；
外生变量：
G（政府开支）和M（货币供给）以及前定变量：
P（价格水平）。
四个方程式分别是国民收入定义式、消费需求方程式、投资需求方程式和货币需求方程式。
其中a，b，t，e，d，k，h则为参数。
不考虑派生结构。
模型M可以分解成若干种互不相同的分结构。
例如可分成
M1：
M2：
连同假设一起考虑，M1中有4个内生变量和一个外生变量，故知其不唯一地确定变量的值。
同理M2亦然。
这些分结构可能没有合适的经济背景，所以称不上模型。
对数学模型进行分解时，必须考虑假设的相应变化及经济解释。
经济学家常把模型M置放在（Y，R）空间，从而得到十分重要的IS曲线和LM曲线，并成功地利用它们说明了许多经济问题。
其分解如下：
IS：
LM：
M=（kY－hR）P
IS曲线表示出满足国民收入定义式，消费需求和投资需求的利率R与国民收入Y的组合形式；
LM曲线表示货币供给等于货币需求时国民收入Y和利率R的变动轨迹。
IS曲线和LM曲线的交点恰为数学模型M的唯一解。
利用恰当的分解，能够得到许多意想不到的信息。
如本例中，分解M=M1∩M2似乎难有合理的经济解释，但分解M=IS∩LM则是最出色的分解。
然而若不分解M，则只能得到唯一的解（Y*，C*，R*）T，失去了研究各种经济力量如何影响均衡的机会。
综上所述，我们看到分解就是将数学模型的若干部分孤立起来，撇开广泛的、总的联系。
同时，想到原结构是一个整体结构，要考察子结构之间是如何发生联系的。
为了便于讨论，我们引入模型元的概念，如果数学模型的结构MSa是MS的一个结构元或模型元，细心的读者可能注意到我们有时并没有严格地区分数学模型与数学结构。
我们约定今后将在承认差异下一视同仁。
模型元并不一定是最基本的构模元素，只是具有相对独立性的"
小"
模型罢了。
基本的构模元素有以下五种：
1.数据：
与原型有关的数字、图形、以及可定量化的其他信息。
2.变量：
假定属于已知值域的任何值。
变量有独立与相关、内生与外生、先决与滞后等区别。
3.参数：
在特定的模型中只能假定取一固定数值的量。
有固定与可变、可调与不可调之分。
4.数学式：
用以联系变量、参量的相依序关系的符号，如"
="
、"
<
3"
￡"
"
等等。
5.逻辑表述：
关于模型结构，因果关系的表述，如"
?
ì
T"
，等等。
依照上述分析方式，可以定义原型的可分性，从而引出子原型，原型元等概念。
勿需讳言，可分与否是相对的，有主观性。
一般说来，当原型或子原型的内涵与外延已十分清楚时，可以认为其已不可分了。
利用一个基本的数学结构，通过改变假设条件或数学推导可得出新的数学模型。
有时新结构之间并不矛盾，有时却相悖。
我们试看一例。
【例1.2.6】套汇均衡
众所周知，在国际金融市场上汇率是瞬息万变的。
如果以有n国货币的金融市场为原型，则汇率有种。
然而若将货币间的相互影响和单向汇率考虑在内，则问题将变得十分复杂。
我们把多国间的问题分解成两国间的问题，则大大地简化了问题。
关于汇率变化的机理，经济学家认为套汇者的推波助澜是关键的。
我们假设：
A国和B国的利率分别为rA和rB，现期汇率为St（A币/B币），期货汇率为FT，（T>
t）。
套汇者对其行为有一定的估价，先从A国贷款a（单位A币），并按St换成B国货币存入B国银行。
到T时刻连本带利一起取出，按约定的汇率FT兑成A国货币，那么以A币为标准单位的净收益
如果p<
0，反其道而行之，得到
其中b是向B国银行所贷的款额，这时必有p>
0。
假设M1所给的净收益是正的，则有一等价模型
M3：
在此模型成立的情况下，套汇者一定有利可图。
当众多的套汇者都这样干时，会引起rA上升和rB以及FT的下降，综合结果是使p趋于零。
于是，我们得到均衡模型
M4：
M4说明了汇率变化的中心趋势，FT实际上是ST的预测值。
值得注意的是M3是由M1引出的，M4亦然，但M3和M4不能同时成立，它们不相容的原因是加了不同的假设条件。
我们定义两个数学结构是不相容的，如果在数学意义下两个结构不能同时成立。
例如由于不存在这样的ST，FT，rA和rB使M3和M4同时成立，故称M3和M4不相容。
我们记之为M3∩M4=?
由于模型间有一定的逻辑关系，我们引进序的概念：
如果由一个数学结构MS￠可以得出另一个数学结构MS＂，则称M＇和M＂之间存在着序，记作MS＇fMS＂（读作MS＇导MS＂）。
所谓序"
得出"
包括适当地增加假设条件和纯形式的推导。
如果依据纯粹的数学理论及方法，从MS＇推导MS＂，则称MS＇和MS＂之间存在真序，记作MS＇ffMS＂（读作MS＇真导MS＂）。
根据模型化的观点，不是同一原型的模型之间无所谓序关系。
今后谈到模型间的序关系时，均指同原模型。
由定义我们不难证明两个命题：
命题①若M＇fM＂，则必有M＇∩M＂≠?
命题②若M＇ffM＂，则必有M＇∩M＂≠?
这些证明留给读者。
既然有序的概念，很自然地引出数学结构的等价关系。
如果两个数学模型M＇和M＂满足序关系，且M＇fM＂，M＂fM＇则称M＇和M＂是等类的，记作M＇∽M＂。
如果M＇ffM＂且M＂ffM＇，则称M＇和M＂等价。
记作Ｍ＇∽Ｍ＂。
显然，等价必等类，反之不然。
关于导序的性质，不难由定义推出。
1.对称性：
若M＇fM＂，则M＂pM＇；
2.传递性：
若M＇fM＂，M＂fM＂＇，则必有M＇fM＂＇；
3.反身性：
若M＇fM＂，M＂pM＇，则必有M＇∽M＂。
一般来说，导序具有的性质，真导序也具有，反之则不一定。
前面提到通过增减条件或推导可以得到不同的数学结构，但并不一定称得上新的数学模型。
抽象地看，从旧的数学模型到新的数学结构是一过程，经过了一个映射。
正如我们可以把从原型r到模型M的过程看成一种映射一样。
对于数学结构而言，封闭是一个严格的概念；
但对数学模型而言并不十分严谨。
我们姑且这样定义：
如果模型M在一映射Γ下所得到的数学结构仍是一个同原模型，则称该模型对映射P是封闭的。
【例1.2.7】可以部分地说明封闭这个概念。
【例1.2.7】财务分析
假设某公司经销一种商品的数量为x，单位售价p元，经估算固定成本为FC元，单位可变动成本为UVC。
于是，由定义有
SR=px
C=FC＋UVC·
x
M1表示销售收入，M2表示总成本。
对C微分得到边际成本模型，
MC=UVC
将M1和M2视为一个数学模型，则利润I的模型为
I=（P－UVC）·
x－FC
可以看成M1和M2经过减运算得到的。
利润率IR则是由M4和M2的商运算得到的，
M5：
根据模型化原理，我们可以这样认为：
M2对一阶微分是封闭的，但对二阶微分不封闭；
数学模型M1∩M2对特定的商运算也是封闭的。
迄今为止，我们只是讨论了模型的一些基本概念和性质，对于这些概念的系统讨论和研究将在第二章中进
第二章数学模型化
从第一章的讨论我们知道，数学模型是反映原型的数学结构，而本章讨论的数学模型化则指提出、设计、建立、求解、论证及使用数学模型的整个过程。
本章主要论述与模型化有关的数量化度量、经济数学模型的分类、模型和模型化应用的条件和范围、模型和模型化选择的标准等问题，最后对模型化过程进行设计与讨论。
2.1数量化和量纲分析
2.1.1数量化的度量问题
经济信息数量化是构造模型的前提，经济原型总是具有质与量两方面的信息，模型所需的信息是二者的结合，即信息不仅包含经济概念而且有一种数量的度量。
度量是定性与定量结合的过程。
量纲是带有质的规定性的数量度量，因此，在模型化过程中是值得重视的。
从理论上看，数学结构中的各种量是没有量纲的，但作为一个经济模型，模型的输入和输出的信息有量纲的问题，这是客观存在。
事实上，没有量纲这个标准，则使各经济变量之间失去可比性。
在商品经济存在的条件下，各种实物往往需要用货币量纲来反映价值，生产、流通、消费和分配等因素的联系需用货币量纲来体现，因此，在讨论问题时，往往把量纲统一于某种货币单位，从而
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