中国石油大学高数22历年期末试题参考答案.docx

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中国石油大学高数22历年期末试题参考答案

（D）.

10.曲面积分在数值上等于（）.

（A）流速场穿过曲面Σ指定侧的流量；（B）密度为的曲面片Σ的质量；

（C）向量场穿过曲面Σ指定侧的通量；（D）向量场沿Σ边界所做的功.

11．若级数在处是收敛的，则此级数在处（）

（A）发散；（B）条件收敛；（C）绝对收敛；（D）收敛性不能确定.

12.级数的敛散性为（）

（A）当时，绝对收敛；（B）当时，条件收敛；

（C）当时，绝对收敛；（D）当时，发散.

三、解答题：

13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

13.（本题满分6分）设确定，求全微分.

解：

两边同取微分，整理得.

14.（本题满分8分）求曲线在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.

解：

两边同时关于求导，解得，

所以切向量为：

，切线方程为：

；

法平面方程为：

，即.

15.（本题满分8分）求幂级数的和函数.

解：

求得此幂级数的收敛域为，，

，设，则

即，

.

16.（本题满分6分）计算，其中为曲面被柱面所截下的有限部分.

解：

（关于平面对称，被积函数是的奇函数）

.

17.（本题满分8分）计算积分，其中为曲线上从点到沿逆时针方向的一段有向弧.

解：

，积分与路径无关，选折线+为积分路径，

其中，

18.（本题满分8分）计算，是由曲面

与平面围成的有界闭区域的表面外侧.

解：

由高斯公式，

（利用柱面坐标变换则）

19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.

解：

设切点坐标为，则切平面的法向量为，

切平面方程为，即，

则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为，

令

解方程组，得，，，

故切点坐标为.

20.（本题满分6分）设均在上连续，试证明柯西不等式：

证：

设则

（关于对称）

.

2008—2009学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷（A）参考答案

一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.

1.设三向量满足关系式，则（）.

（A）必有;（B）必有;

（C）当时，必有;（D）必有（为常数）.

2.直线与平面的关系是（）.

（A）平行，但直线不在平面上;（B）直线在平面上；

（C）垂直相交;（D）相交但不垂直.

3.二元函数在点（0，0）处（）

（A）不连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在

（C）连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在

4.已知为某二元函数的全微分，则（）.

（A）;（B）;（C）;（D）.

5.设是连续函数，平面区域，则（）.

（A）;（B）;

（C）;（D）.

6.设为常数，则级数（）.

（A）发散;（B）绝对收敛;（C）条件收敛;（D）收敛性与的值有关.

二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.

1.设函数，向量，点，

则

2.若函数在点处取得极值，则常数

3.为圆的一周，则

4.设，级数的收敛半径为

5.设，则

6.设是以为周期的周期函数，它在区间上的定义为，

则的以为周期的傅里叶级数在处收敛于

三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.

1.（本小题6分）设是可微函数，，求.

解题过程是：

令，则，，

2.（本小题6分）计算二重积分，其中.

解题过程是：

关于轴对称，被积函数关于是奇函数，，

故

3.（本小题6分）设曲面是由方程所确定，求该曲面在点处的切平面方程及全微分.

解题过程是：

令，，，，则

所求切平面的法向量为：

，切平面方程为：

，，

4.（本小题6分）计算三重积分，其中是由柱面及，所围成的空间区域.

解题过程是：

利用柱面坐标变换，

5.（本小题6分）求，其中为曲面，方向取下侧.

解题过程是：

补

与所围立体为

由高斯公式，得，

6.（本小题7分）求幂级数的收敛域及和函数.

解题过程是：

因为，故收敛区间为；

时，极限，级数均是发散的；于是收敛域为，

7.（本小题7分）例1计算，为立体的边界.

解题过程是：

设，其中为锥面，为部分，

在面的投影为.，，

四．证明题（8分）.

设函数在内具有一阶连续导数，是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为，记，

（1）证明曲线积分与路径无关;

（2）当时，求的值.

证明:

（1）记，，

成立，积分与路径无关.

（2）由于积分与路径无关，选取折线路径，由点起至点，再至终点，则

2009—2010学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷（A）参考答案

一、填空题（）

1.若向量两两互相垂直，且，则

2．设函数，求

3.设函数为连续函数,　改变下列二次积分的积分顺序：

4.计算

5.幂级数的收敛域为：

6.设函数 的傅里叶级数为：

，

则其系数

二、选择题（）

1．直线与平面的位置关系是（）

（A）直线在平面内；（B）垂直；（C）平行；（D）相交但不垂直.

2.设函数,则（）

（A）在原点有极小值；（B）在原点有极大值；

（C）在点有极大值；（D）无极值.

3.设是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，的方向为逆时针方向，

则（）

（A）；（B）；（C）；（D）.

4.设为常数，则级数（）

（A）绝对收敛；（B）发散；（C）条件收敛；（D）敛散性与值有关.

三、计算题（7+7+7+7+6+8=42分）

1.设讨论在原点处是否连续，并求出两个偏导数和.（7分）

解：

令，随的取值不同，其极限值不同，

不存在，故在原点不连续；

，

.

2.计算其中是由上半球面和锥面

所围成的立体.（7分）

解：

作球面坐标变换：

则

，

3.求锥面被柱面所割下部分的曲面面积.（7分）

解：

锥面：

，，

4.计算曲面积分，其中是由，，

围在第一卦限的立体的外侧表面.（7分）

解：

设为所围立体，由Gauss公式，

作柱面坐标变换：

则

，

5.讨论级数的敛散性.（6分）

解：

收敛.

6.把级数的和函数展成的幂级数.（8分）

解：

设级数的和函数为，则

，

即

四、设曲线是逆时针方向圆周是连续的正函数，

证明：

.（8分）

证明：

设由Green公式，

（而关于对称）

即.

2010-1011学年第二学期高等数学（2-2）期末考试A卷参考答案

一.填空题（共4小题，每小题4分，共计16分）

1．.

2．设,则=.

3．设函数以为周期，为的的傅里叶级数的和函数，则.

4．设曲线为圆周,则曲线积分=.

二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）

1.设直线为平面为,则（C）.

（A）平行于平面（B）在平面上

（C）垂直于平面（D）与相交，但不垂直

2．设有空间区域，则等于（B）.

（A）（B）（C）（D）

3．下列级数中，收敛的级数是（C）.

（A）（B）

（C）（D）

4.设是正项级数，则下列结论中错误的是（D）

（A）若收敛，则也收敛（B）若收敛，则也收敛

（C）若收敛，则部分和有界（D）若收敛，则

三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）

1．设函数具有二阶连续偏导数，，求.

解：

2．求函数在曲线上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向轴正向的切线方向的方向导数.

解：

曲线在点（1,2）处的切向量，

函数在点（1,2）沿方向的方向导数为

3．计算其中.

解=

4.设立体由锥面及半球面围成.已知上任一点处的密度与该点到平面的距离成正比（比例系数为），试求立体的质量.

解：

由题意知密度函数

法1：

质量=

.

法2：

.

法3：

5．计算曲线积分，其中是曲线沿逆时针方向一周.

解：

.

6.计算第二类曲面积分，其中为球面的外侧．

解：

利用高斯公式，

7．求幂级数的和函数.

解:

幂级数的收敛半径，收敛域为

时，=

时，，

四．证明题（本题4分）

证明下列不等式成立：

，其中.

证明：

因为积分区域关于直线对称，

=

五．应用题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为坐标面，其底部所占的区域为小山的高度函数为

（1）设为区域上一点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？

若记此方向导数的最大值为，试写出的表达式。

（2）现欲利用此小山举行攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说要在的边界线上找使

（1）中的达到最大值的点，试确定攀登起点的位置。

解：

（1）由梯度的性质知，在点处

沿梯度方向的方向导数值最大，

最大值为

（2）令，则模型为

做函数，得

、式相加可得或

若，由，再由

若，由.

得个可能极值点：

由于

故或可作为攀登的起点.