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数学建模抗旱方案论文
抗旱方案的制定模型
[摘要]
本文针对抗旱方案的制定问题，帮助该村解决用水难的问题，整体主要利用指派问题的变形的思想建立模型，以及通过MATLAB程序数据拟合计算出原有的四口井在接下来的五年的产水量，利用lingo程序求出模型最优化解。
模型建立的最终目的是确定抗旱方案，使得在修建费用和产水量的约束条件下使得总开支达到最小。
整个模型要解决的两个主要问题有三个，一是如何安排前三年每一年需要打哪几号井，二是确定前三年每年水管修建的长度及修好后水管的供水量，
三是通过原有的四口井前几年的产水量数据拟合出接下来五年的产水量。
模型的约束条件为从2010年起的后三年每一年的开支满足限定条件，2010年起的后五年每一年的产水量也满足限定条件。
关于如何安排前三年每一年需要打哪几号井的问题，考虑到如下问题：
一是每一年不能重复打井，二是每年打井与修建水管的费用不超过六十万，三是每口水井的年产水量以平均每年10%左右的速率减少，四是从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水。
本文将建立指派问题的数学模型，要建立两个指派问题的系数矩阵，引入0-1变量，0表示不打井，
1表示打井。
其中第一个系数矩阵有三列，三列分别代表前三年的打井的安排情
况，每个变量的值只能为0或1，且每行最多只有一个元素为1，其余为0，第一个矩阵表示哪一年要打哪几口井的安排方法；第二个矩阵有五列，五列分别表
示五年间新打的八口井产水量的减少比例，且其中的变量的值也只能为0或1。
再建立两个关于八口井的打井费用的矩阵和当年产水量的矩阵，打井费用矩阵与
第一个系数矩阵两个矩阵相乘后得出的矩阵中每个元素相加起来的和，再加上修水管的费用即为模型所求的最小值；当年产水量的矩阵与第二个系数矩阵相乘后的每列元素再加上水管每年对应的产水量应当大于每年要求的产水量。
本文得出的结论为第一年打第二、三、六、七号井，第二年打一、五号井，第三年不打井；前三年的修建水管费用分别为30万元，49万元，60万元，三年的总费用为172万元。
关于确定水管每年修建的长度及修好后水管的供水量问题，考虑到如下几个问题，一是修建费用与前三年的修建长度和每年的产水量有关，二是前三年修建长度总和要为20公里，三是水管在修建时不能运输水，四是保证修好之后每一
年的产水量要大于100万吨，五是每年投资铺设管道的费用为万元的整数倍。
根据以上五个条件可以假设出每一年的修建长度和修建好后的产水量，使得在产水量和修建费用的约束条件下，开支达到最小。
本文得出的结论为：
第一年修建水
管长度4.316547公里，第二年为7.050360公里，第三年为8.633094公里；水管的年产水量为101.1081万吨。
关于原有的四口井前几年的产水量数据拟合出接下来五年的产水量的问题，通过MATLAB进行数据分析拟合，本文得出的结论为：
原有的四口井中，一号和三号井的产水量基本按照一次函数变化递减，二号和四号井的产水量基本按照指
数函数变化递减；五年间每一年四口井的产水量总和分别为
39.4094万吨，
30.5614万吨，24.8119万吨，21.3219万吨，17.8849万吨。
关键词：
指派问题系数矩阵数据拟合
一、问题重述
位于我国西南地区的某个偏远贫困村，年平均降水量不足20mm，是典型的缺水地区。
过去村民的日常生活和农业生产用水一方面靠的是每家每户自行建造的小蓄水池，用来屯积每逢下雨时获得的雨水，另一方面是利用村里现有的四口水井。
由于近年来环境破坏，经常是一连数月滴雨不下，这些小蓄水池的功能完
全丧失。
而现有的四口水井经过多年使用后，年产水量也在逐渐减少，在表1中给出它们在近9年来的产水量粗略统计数字。
2009年以来，由于水井的水远远不能满足需要，不仅各种农业生产全部停止，而且大量的村民每天要被迫翻山越岭到相隔十几里外去背水来维持日常生活。
为此，今年政府打算着手帮助该村解决用水难的问题。
从两方面考虑，一是地质专家经过勘察，在该村附近又找到了8个可供打井的位置，它们的地质构造
不同，因而每个位置打井的费用和预计的年产水量也不同，详见表2，而且预计每口水井的年产水量还会以平均每年10%左右的速率减少。
二是从长远考虑，可以通过铺设管道的办法从相隔20公里外的地方把河水引入该村。
铺设管道的费
用为P
0.66
Q0.51L（万元），其中Q表示每年的可供水量（万吨
/
年），L表示
管道长度（公里）。
铺设管道从开工到完成需要三年时间，且每年投资铺设管道
的费用为万元的整数倍。
要求完成之后，每年能够通过管道至少提供100万吨水。
政府从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村打井和铺设管道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水，请作出一个从2010年起三年的打井和铺设管道计划，以使整个计划的总开支尽量节省（不考虑小蓄水池的作用和利息的因素在内）。
表1
现有各水井在近几年的产水量（万吨）
年份
产水量
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
编号
1号井
32.2
31.3
29.7
28.6
27.5
26.1
25.3
23.7
22.7
2号井
21.5
15.9
11.8
8.7
6.5
4.8
3.5
2.6
2.0
3号井
27.9
25.8
23.8
21.6
19.5
17.4
15.5
13.3
11.2
4号井
46.2
32.6
26.7
23.0
20.0
18.9
17.5
16.3
表2
8个位置打井费用（万元）和当年产水量（万吨）
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
打井费用
5
7
5
4
6
5
5
3
当年产水
25
36
32
15
31
28
22
12
二、问题分析
2.1
关于如何安排前三年每一年需要打哪几号井的问题，有如下问题需要考虑：
1.每一年不能重复打井；
2.每年打井与修建水管的费用不超过六十万；
3.每口水井的年产水量以平均每年10%左右的速率减少；
4.从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、
190万吨水。
2.2
关于确定水管每年修建的长度及修好后水管的供水量问题，有如下问题需要考虑：
1.修建费用与前三年的修建长度和每年的产水量有关；
2.前三年修建长度总和要为20公里；
3.水管在修建时不能运输水；
4.保证修好之后每一年的产水量要大于100万吨；
5.每年投资铺设管道的费用为万元的整数倍。
2.3
关于原有的四口井前几年的产水量数据拟合出接下来五年的产水量的问题，只需通过MATLAB命令进行数据拟合，从而得出结果。
三、模型假设
1.问题所给的相关数据基本准确，静态数据短期内稳定不变。
2.根据原有的四口井在过去几年的产水量数据，拟合出接下来五年的产水量应当接近实际情况。
3.水管在修建时不能运输水。
四、符号说明
x
，第
i
年不打第
口井
xij
0
j
ij
=
，第
年打第
j
口井
1
i
Q
水管的年供水量
mi
第i
年修建水管的费用
Li
第i
年修建水管的长度
五、模型的建立和求解
5.1
费用的约束条件
问题的目标函数为
min
5x11
7x12
5x13
4x14
6x15
5x16
5x17
3x18
5x21
7x22
5x23
4x24
6x25
5x26
5x27
3x28
5x31
7x32
5x33
4x34
6x35
5x36
5x37
3x38
m1m2m3
关于如何安排每年需要打哪几号井的问题，要用到指派问题的变形的思想，建立两个指派问题的系数矩阵。
其中第一个系数矩阵有三列，三列分别代表前三
年的打井的安排情况，将矩阵中的元素记为x（i=1,2,3;j=1,2,3,,8）,矩阵
ij
表示为：
x11x21x31
x12x22x32
x18x28x38
其中i代表第i年，j代表第j号井,x代表第i年打第j号井，矩阵中每
ij
一个元素只能为0或1,0代表第i年不打第j号井，1代表第i年打第j号井。
因为每年不能重复打井，所以每行最多只有一个元素为1，其余为0，给出限定条件：
x11
x21
x31
1
x12
x22
x32
1
x13
x23
x33
1
x14
x24
x34
1
x15
x25
x35
1
x16
x26
x36
1
x17
x27
x37
1
x18
x28
x38
1
打井费用矩阵为：
5
7
5
4
6
5
5
3
打井费用的约束条件为：
x11
x21
x31
57546553
x12
x22
x32
+m1m2m3606060
x18
x28
x38
m1
0.66Q0.51L1
其中m2
0.66Q0.51L2
m3
0.66Q0.51L3
5.2产水量的约束条件
关于确定水管每年修建的长度及修好后水管的供水量问题,第二个矩阵有五
列，五列分别表示五年间新打的八口井产水量的减少比例，且其中的变量
x
的
ij
值也只能为0或1，矩阵表示为：
x11
x21
0.9x11
x31
0.9x21
0.81x11
0.9（x310.9x21
0.81x11）
0.81（x31
0.9x21
0.81x11）
x12
x22
0.9x12
x32
0.9x22
0.81x12
0.9（x320.9x22
0.81x12）
0.81（x32
0.9x22
0.81x12）
x18x280.9x18x380.9x280.81x180.9（x380.9x280.8
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