一元一次方程 经典难题复习巩固教师Word格式.docx
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去括号
先去小括号,再去中括号,最后去大括号
去括号法则、分配律
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
等式基本性质1
合并同类项
把方程化成ax=b(a≠0)的形式
合并同类项法则
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程
的解x=
注意:
(1)解方程时应注意:
①解方程时,表中有些变形步骤可能用不到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据方程形式
灵活安排求解步骤。
熟练后,步骤及检验还可以合并简化。
②去分母时,不要漏乘没有分母的项。
去分母是为了简化运算,若不使用,可进行分数运算。
③去括号时,不要漏乘括号内的项,若括号前为“-”号,括号内各项要改变符号。
(2)在方程的变形中易出现的错误有以下几种情况:
①移项时忘记改变符号;
②去分母时,易忘记将某些整式也乘最简公分母;
③分数线兼有括号的作用,在去分母后,易忘记添加括号;
3、理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况,并能进行简单应用:
(1)a≠0时,方程有唯一解x=
(2)a=0,b=0时,方程有无数个解;
(3)a=0,b≠0时,方程无解。
知识点四:
列一元一次方程解应用题的一般步骤:
1、列一元一次方程解应用题的一般步骤:
(1)审题,分析题中已知什么,未知什么,明确各量之间的关系,寻找等量关系.
(2)设未知数,一般求什么就设什么为x,但有时也可以间接设未知数.
(3)列方程,把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来,列出方程.
(4)解方程.
(5)检验,看方程的解是否符合题意.
(6)写出答案.
2、解应用题的书写格式:
设→根据题意→解这个方程→答。
(1)在一道应用题中,往往含有几个未知数量,应恰当地选择其中的一个,用字母x表示出来,即所设的
未知数,然后根据数量之间的关系,将其它几个未知数量用含x的代数式表示。
(2)解应用题时,不能漏掉“答”,“设”和“答”中都必须写清单位名称。
(3)列方程时,要注意方程两边是同一个量,并且单位要统一。
(4)一般情况下,题目中所给的条件在列方程时不能重复使用,也不能漏掉不用。
重复利用同一个条
件,会得到一个恒等式,无法求得应用题的解。
知识点五:
常见的一些等量关系
常见列方程解应用题的几种类型:
类型
基本数量关系
等量关系
(1)和、差、倍、分问题
①较大量=较小量+多余量
②总量=倍数×
倍量
抓住关键性词语
(2)等积变形问题
变形前后体积相等
(3)行程问题
相遇问题
路程=速度×
时间
甲走的路程+乙走的路程=两地距离
追及问题
同地不同时出发:
前者走的路程=追者走的路程
同时不同地出发:
前者走的路程+两地距离=追者所走的路程
顺逆流问题
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
顺流的距离=逆流的距离
(4)劳力调配问题
从调配后的数量关系中找相等关系,要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语
(5)工程问题
工作总量=工作效率×
工作时间
各部分工作量之和=1
(6)利润率问题
商品利润=商品售价-商品进价
商品利润率=
×
100%
售价=进价×
(1+利润率)
抓住价格升降对利润率的影响来考虑
(7)数字问题
设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为10a+b
抓住数字所在的位置、新数与原数之间的关系
(8)储蓄问题
利息=本金×
利率×
期数
本息和=本金+利息=本金+本金×
期数×
(1-利息税率)
(9)按比例分配问题
甲∶乙∶丙=a∶b∶c
全部数量=各种成分的数量之和(设一份为x)
(10)日历中的问题
日历中每一行上相邻两数,右边的数比左边的数大1;
日历中每一列上相邻的两数,下边的数比上边的数大7
日历中的数a的取值范围是1≤a≤31,且都是正整数
知识点六:
整式、等式与方程的关系
1、正确理解代数式、等式和方程的概念
代数式:
像-1,0,a,-2x+5等,这些用运算符号把数或表示数的字母连接成的式子,叫做代数式,单独一个数或一个字母也是代数式。
等式:
用等号来表示相等关系的式子叫做等式。
如
,m=n=n+m等都叫做等式,而像-
,
不含等号,所以它们不是等式,而是代数式。
方程:
含有未知数的等式叫做方程。
如5x+3=11,
等都是方程。
理解方程的概念必须明确两点:
①是等式;
②含有未知数。
两者缺一不可。
2、整式、等式与方程的区别和联系
区别:
①定义不同。
②从是否含有等号来看。
方程首先是一个等式,它是用“=”将两个代数式连接起来的等式,而整式仅
用运算符号连接起来,不含有等号。
③等式含有“=”,表示左右两边相等,方程是个特殊的等式,即其中必须含有未知数。
所以有:
方程
是等式,但等式却不一定是方程。
联系:
①当含字母的某一个代数式取某一个特定的值时,这个特定的值就和这个代数式构成了一个等式,即这
个等式就是方程。
如:
要使代数式5x+1的值等于0,即求方程5x+1=0的解。
②当两个整式中的字母取特定的值,使这两个整式的值相等时,也构成一个方程。
要使整式
的值与整式
的值相等,即求方程
=
的解。
③当含有字母的整式的运算结果等于另一个整式时,也构成方程。
的值比
的值大3,即求方程
-
=3的解。
通过上面的描述,我们知道,方程是由整式构成的,但整式不是方程。
四、规律方法指导
解一元一次方程的注意事项:
1、分母是小数时,根据分数的基本性质,把分母转化为整数;
2、去分母时,方程两边各项都乘各分母的最小公倍数,此时不含分母的项切勿漏乘,分数线相当于除
号,去分母后分子各项应加括号;
3、去括号时,不要漏乘括号内的项,不要弄错符号;
4、移项时,切记要变号,不要丢项,有时先合并再移项,以免丢项;
5、系数化为1时,方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数,不要弄错符号;
6、不要生搬硬套解方程的步骤,具体问题具体分析,找到最佳解法。
列方程解应用题的注意事项:
列一元一次方程解决实际问题的一般步骤也可以概括为:
①设未知数。
②根据等量关系列方程。
③解方程。
④检验解的合理性,如果合理就用以解决实际问题,不合理则需要重新回到开始。
⑤作答。
列方程解应用题是将实际问题数学化的过程,这个过程的关键是建立等量关系,通过列方程解决实际问题要把握三个重要环节:
一是整体的、系统的审清题意;
二是找问题中的等量关系;
三是正确求解方程并判断解的合理性,其中,审题是基础,找等量关系是关键,为了找准等量关系,可以借助线段、表格、图形等方法进行分析。
二、经典例题透析
类型一:
一元一次方程的有关概念
1、已知下列各式:
①2x-5=1;
②8-7=1;
③x+y;
④
x-y=x2;
⑤3x+y=6;
⑥5x+3y+4z=0;
⑦
=8;
⑧x=0。
其中方程的个数是( )
A、5 B、6 C、7 D、8
思路点拨:
方程是含有未知数的等式,根据定义逐个进行判断,显然②③不合题意。
总结升华:
根据定义进行逐个判断是解题的基本方法,判断时应注意两点:
一是等式;
二是含有未知数,本题体现了对概念的理解与应用能力。
[变式1]判断下列方程是否是一元一次方程:
(1)-2x2+3=x
(2)3x-1=2y(3)x+
=2(4)2x2-1=1-2(2x-x2)
解析:
判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。
[变式2]已知:
(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6=0是一元一次方程,求a的值。
分两种情况:
(1)只含字母y,则有(a-3)(2a+5)=0且a-3≠0
(2)只含字母x,则有a-3=0且(a-3)(2a+5)≠0不可能
综上,a的值为
类型二:
一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤是:
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上,根据方程原形和特点,灵活安排解题步骤,并且巧妙地运用学过的知识,就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。
1、巧凑整数解方程
1、解方程:
[变式]解方程:
=2x-5
解:
原方程可变形为
整理,得8x+18-(2+15x)=2x-5,
去括号,得8x+18-2-15x=2x-5
移项,得8x-15x-2x=-5-18+2
合并同类项,得-9x=-21
系数化为1,得x=
2、巧用观察法解方程
2、解方程:
该方程可化为
=3,不难看出,当y=1时,该方程左边三项的值都是1,即左边=右边,因原方程是一元一次方程,故只能有一个解,于是可求得方程的解是y=1。
3、巧去括号解方程
含多层括号的一元一次方程,要根据方程中各系数的特点,选择适当的去括号的方法,以避免繁杂的计算过程。
3、解方程:
因为题目中分数的分子和分母具有倍数关系,所以从外向内去括号可以使计算简单。
去括号,得
去小括号,得
去分母,得(3x-5)-8=8
去括号、移项、合并同类项,得3x=21
两边同除以3,得x=7
∴原方程的解为x=7
依次移项、去分母、去大括号,得
依次移项、去分母、去中括号,得
依次移项、去分母、去小括号,得
,∴x=48
4、运用拆项法解方程
在解有分母的一元一次方程时,可以不直接去分母,而是逆用分数加减法法则,拆项后再合并,有时可以使运算简便。
4、解方程:
注意到
,这样逆用分数加减法法则,可使计算简便。
原方程逆用分数加减法法则,得
移项、合并同类项,得
系数化为1,得
5、巧去分母解方程
当方程的分母含有小数,而小数之间又没有特殊的倍数关系时,若直接去分母则会出现比较繁琐的运算。
为了避免这样的运算。
应把分母化成整数。
化整数时,利用分数的基本性质将分子、分母同时扩大相同的倍数即可。
5、解方程:
=1
原方程化为
去分母,得100x-(13-20x)=7
去括号、移项、合并同类项,得120x=20
两边同除以120,得x=
∴原方程的解为
应用分数性质时要和等式性质相区别。
可以化为同分母的,先化为同分母,再去分母较简便。
6、巧组合解方程
6、解方程:
按常规解法将方程两边同乘72化去分母,但运算较复杂,注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3,左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数4,移项局部通分化简,可简化解题过程。
移项通分,得
化简,得
去分母,得8x-144=9x-99。
移项、合并,得x=-45。
7、巧解含有绝对值的方程
解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号,转化为一般的一元一次方程。
对于只含一重绝对值符号的方程,依据绝对值的意义,直接去绝对值符号,化为两个一元一次方程分别解之,即若|x|=m,则x=m或x=-m。
7、解方程:
|x-2|-3=0
解法一:
移项,得|x-2|=3
当x-2≥0时,原方程可化为x-2=3,解得x=5
当x-2<0时,原方程可化为-(x-2)=3,解得x=-1。
所以方程|x-2|-3=0的解有两个:
x=5或x=-1。
解法二:
移项,得|x-2|=3。
因为绝对值等于3的数有两个:
3和-3,所以x-2=3或x-2=-3。
分别解这两个一元一次方程,得解为x=5或x=-1。
[变式1]5|x|-16=3|x|-4
5|x|-3|x|=16-4
2|x|=12
|x|=6
x=±
6
[变式2]
|3x-1|=8
3x-1=±
8
3x=1±
3x=9或3x=-7
x=3或
小结:
解一元一次方程有一般程序化的步骤,我们在解一元一次方程时,既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程,又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程。
对于一般解题步骤与解题技巧来说,前者是基础,后者是机智,只有真正掌握了一般步骤,才能熟能生巧。
解一元一次方程常用的技巧有:
(1)有多重括号,去括号与合并同类项可交替进行。
(2)当括号内含有分数时,常由外向内先去括号,再去分母。
(3)当分母中含有小数时,可用分数的基本性质化成整数。
(4)运用整体思想,即把含有未知数的代数式看作整体进行变形。
解方程时,认真观察方程的结构特征,灵活采用解方程的一些技巧,可达到事半功倍的效果。
类型三、一元一次方程的综合应用题
1.优化方案问题
1、由于活动需要,78名师生需住宿一晚,,他们住了一些普通双人间和普通三人间,结果每间客房正好住满,且在宾馆给他们打五折优惠的基础上一天一共付住宿费2130元。
请你算一算,他们需要双人普通间和三人普通间各多少间?
普通
(元/间)
豪华
双人房
140
300
三人房
150
400
设安排普通双人房x间,则可住2x人,费用为140×
50%·
x元,
此时安排普通三人房
间,可住(78-2x)人,费用为150×
50%×
元。
由题意,得140×
x+150×
=2130。
解得x=9,
=20。
即安排三人房20间,双人房9间即可。
2.行程中的追及相遇问题
2、甲、乙两人从A、B两地同时出发,甲骑自行车,乙骑摩托车,沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经3小时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行了90千米,相遇后经1小时乙到达A地.问甲、乙行驶的速度分别是多少?
设甲的速度为
千米/时,题目中所涉及的有关数量及其关系可以用下表表示:
相遇前
相遇后
速度
路程
甲
3
+90
乙
1
相遇前甲行驶的路程+90=相遇前乙行驶的路程;
相遇后乙行驶的路程=相遇前甲行驶的路程.
设甲行驶的速度为
千米/时,则相遇前甲行驶的路程为3
千米,
乙行驶的路程为(3
+90)千米,乙行驶的速度为
千米/时,
由题意,得
.
解这个方程,得
=15.
检验:
=15适合方程,且符合题意.
将
=15代入
,得
=45.
答:
甲行驶的速度为15千米/时,乙行驶的速度为45千米/时.
理解相遇前后的等量关系,相遇问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行。
这类问题可以通过画线段图或列表帮助理解、分析。
举一反三:
[变式]甲、乙两地相距240千米,汽车从甲地开往乙地,速度为36千米/时,摩托车从乙地开往甲地,速度是汽车的
摩托车从乙地出发2小时30分钟后,汽车才开始从甲地开往乙地,问汽车开出几小时后遇到摩托车?
分析:
本题是一个异地不同时出发的相遇问题,其基本关系是:
速度×
时间=路程。
虽然不同时出发,但在相遇时,汽车所行的路程+摩托车所行的路程=甲、乙两地的距离,这就是本题的等量关系。
如果设汽车开出x小时后与摩托车相遇,则在相遇时,汽车和摩托车所行的路程可表示如图:
其中摩托车先行的路程为
千米;
摩托车后来所行的路程为
千米。
设汽车开出x小时与摩托车相遇,则
36x+36×
=240,解得x=3
汽车开出3小时后遇到摩托车。
3.日历中的方程
3、
(1)在2006年8月的日历中(如图
(1)),任意圈出一竖列上相邻的三个数,设中间的一个数为a,则用含a的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是___。
(2)现将连续自然数1至2006按图中(如图
(2))的方式排成一个长方形阵列,用一个长方形框出16个数。
①图中框出的这16个数的和是____________。
②在图
(2)中,要使一个长方形框出的16个数之和分别等于2000、2006,是否可能?
若不可能,试说明
理由;
若有可能,请求出该长方形框出的16个数中的最小数和最大数。
(1)通过观察可以发现,一竖列上相邻的三个数,下面的数总比上面的数大7;
(2)①经观察不难发现,在这个长方形框里的16个数中,第一个数10与最后一个数34的和为44,第二个数与倒数第二个数,第三个数与倒数第三个数,……,它们的和都是44;
②设最小的数为a,由图
(2)及
(1)可知,这16个数分成8组,每组的两个数之和都是2a+3
7+3=2a+24。
(1)a-7,a,a+7
(2)①352 ②设框出的16个数中最小的一个数为a,则这16个数组成的矩形方框如下图所示。
则这16个数之和为16a+192,当16a+192=2000时,a=113,
当16a+192=2006时,a=113.375。
因为a是自然数,所以a=113.375不符合题意,
即框出的16个数的和不可能是2006。
由方形阵列的排法可知,a只可能在1,2,3,4列,即a被7除的余数只可能是1,2,3,4。
因为113=16×
7+1,即113被7除余1,113在第一列中,所以这16个数的和是2000是可能的,
这时,方框中最小的数是113,最大的数是113+24=137。
(1)日历中的数量关系
①在日历中,每一横排相邻两个数字之间差1。
②在日历中,每一竖排相邻两个数字之间差7。
③在日历中,左上到右下方向相邻两个数字之间差8。
④在日历中,右上到左下方向相邻两个数字之间差6。
(2)用一个正方形任意圈出9个数的规律
①中间一个数字是所有九个数字的平均值。
②每一横排、每一竖排、每一斜排,中间一个数字都是它们的平均值。
[变式1]每人准备一份日历,在各自的日历上任意圈一个竖列上的相邻的四个数,两个分别把自己所圈4个数的和告诉同伴,由同伴求出这个数。
(1)4个数的和等于42。
(2)4个数的和等于60。
设这4个数分别为x-7,x,x+7,x+14
(1)由题意,得(x-7)+x+(x+7)+(x+14)=42
x-7+x+x+7+x+14=42,4x+14=42
∴4x=28,∴x=7
x-7=7-7=0,x+7=7+7=14,x+14=7+14=21
因为日历上没有0号,所以不符合实际,此题无解。
(2)由题意,得(x-7)+x+(x+7)+(x+14)=60
x-7+x+x+7+x+14=60,4x+14=60
∵4x=46,∴x=
是一个分数,日历上不可能出现分数,
所以不符合实际情况,此题无解。
4.教育储蓄
4、小张在银行存了一笔钱,月利率为2%,利息税为20%,5个月后,他一共取出了本息和为1080元,问它存入的本金是多少元?
设小张存入的本金为x元,则5个月后的利息为2%×
x×
5即0.1x元,
这些利息需交利息税0.1x×
20%即0.02x元
由题意得:
x+0.1x-0.02x=1080
∴x=1000
他存入银行的本金为1000元。
三、巩固练习
一、选择题:
1、已知x=2时,2x2+mx+4=6;
那么当x=-2时,2x2+mx+4的值是().
(A)–18 (B)-10 (C)18 (D)6
2、把方程
中的分母化为整数,正确的是()
(A)
(B)
(C)
(D)
3、甲、乙两人同时从张庄出发,步行前往李庄。
由于乙中途停留了半小时,因而比甲晚15分钟,则以
下相等关系正确的是().
(A)甲行走时间+0.5=乙行走时间+0.25 (B)甲行走时间-0.5=乙行走时间+0.25
(C)甲行走时间+0.25=乙行走时间+0.5 (D)甲行走时间-0.25=乙行走时间-0.5
二、填空题:
1、由方程
变形为
的依据是__________,把方程两边都_____________。
2、
是一元一次方程,则m=____________。