一元一次方程 经典难题复习巩固教师Word格式.docx
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去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
去括号法则、分配律
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号）
等式基本性质1
合并同类项
把方程化成ax＝b（a≠0）的形式
合并同类项法则
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程
的解x＝
注意：
（1）解方程时应注意：
①解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据方程形式
灵活安排求解步骤。
熟练后，步骤及检验还可以合并简化。
②去分母时，不要漏乘没有分母的项。
去分母是为了简化运算，若不使用，可进行分数运算。
③去括号时，不要漏乘括号内的项，若括号前为“－”号，括号内各项要改变符号。
（2）在方程的变形中易出现的错误有以下几种情况：
①移项时忘记改变符号；
②去分母时，易忘记将某些整式也乘最简公分母；
③分数线兼有括号的作用，在去分母后，易忘记添加括号；
3、理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:
（1）a≠0时，方程有唯一解x＝
（2）a=0，b=0时，方程有无数个解；
（3）a=0，b≠0时，方程无解。
知识点四：
列一元一次方程解应用题的一般步骤:
1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．
（4）解方程．
（5）检验，看方程的解是否符合题意．
（6）写出答案．
2、解应用题的书写格式：
设→根据题意→解这个方程→答。
（1）在一道应用题中，往往含有几个未知数量，应恰当地选择其中的一个，用字母x表示出来，即所设的
未知数，然后根据数量之间的关系，将其它几个未知数量用含x的代数式表示。
（2）解应用题时，不能漏掉“答”，“设”和“答”中都必须写清单位名称。
（3）列方程时，要注意方程两边是同一个量，并且单位要统一。
（4）一般情况下，题目中所给的条件在列方程时不能重复使用，也不能漏掉不用。
重复利用同一个条
件，会得到一个恒等式，无法求得应用题的解。
知识点五：
常见的一些等量关系
常见列方程解应用题的几种类型：
类型
基本数量关系
等量关系
（1）和、差、倍、分问题
①较大量＝较小量＋多余量
②总量＝倍数×
倍量
抓住关键性词语
（2）等积变形问题
变形前后体积相等
（3）行程问题
相遇问题
路程＝速度×
时间
甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离
追及问题
同地不同时出发：
前者走的路程＝追者走的路程
同时不同地出发：
前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程
顺逆流问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
顺流的距离＝逆流的距离
（4）劳力调配问题
从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语
（5）工程问题
工作总量＝工作效率×
工作时间
各部分工作量之和＝1
（6）利润率问题
商品利润＝商品售价－商品进价
商品利润率＝
×
100％
售价＝进价×
（1＋利润率）
抓住价格升降对利润率的影响来考虑
（7）数字问题
设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a＋b
抓住数字所在的位置、新数与原数之间的关系
（8）储蓄问题
利息＝本金×
利率×
期数
本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×
期数×
（1－利息税率）
（9）按比例分配问题
甲∶乙∶丙＝a∶b∶c
全部数量＝各种成分的数量之和（设一份为x）
（10）日历中的问题
日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大1；
日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大7
日历中的数a的取值范围是1≤a≤31，且都是正整数
知识点六：
整式、等式与方程的关系
1、正确理解代数式、等式和方程的概念
代数式：
像－1,0，a，－2x＋5等，这些用运算符号把数或表示数的字母连接成的式子，叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。
等式：
用等号来表示相等关系的式子叫做等式。
如
，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－
，
不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。
方程：
含有未知数的等式叫做方程。
如5x＋3＝11，
等都是方程。
理解方程的概念必须明确两点：
①是等式；
②含有未知数。
两者缺一不可。
2、整式、等式与方程的区别和联系
区别：
①定义不同。
②从是否含有等号来看。
方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅
用运算符号连接起来，不含有等号。
③等式含有“＝”，表示左右两边相等，方程是个特殊的等式，即其中必须含有未知数。
所以有：
方程
是等式，但等式却不一定是方程。
联系：
①当含字母的某一个代数式取某一个特定的值时，这个特定的值就和这个代数式构成了一个等式，即这
个等式就是方程。
如：
要使代数式5x＋1的值等于0，即求方程5x＋1＝0的解。
②当两个整式中的字母取特定的值，使这两个整式的值相等时，也构成一个方程。
要使整式
的值与整式
的值相等，即求方程
=
的解。
③当含有字母的整式的运算结果等于另一个整式时，也构成方程。
的值比
的值大3，即求方程
-
=3的解。
通过上面的描述，我们知道，方程是由整式构成的，但整式不是方程。
四、规律方法指导
解一元一次方程的注意事项：
1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；
2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于除
号，去分母后分子各项应加括号；
3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；
4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；
5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；
6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。
列方程解应用题的注意事项：
列一元一次方程解决实际问题的一般步骤也可以概括为：
①设未知数。
②根据等量关系列方程。
③解方程。
④检验解的合理性，如果合理就用以解决实际问题，不合理则需要重新回到开始。
⑤作答。
列方程解应用题是将实际问题数学化的过程，这个过程的关键是建立等量关系，通过列方程解决实际问题要把握三个重要环节：
一是整体的、系统的审清题意；
二是找问题中的等量关系；
三是正确求解方程并判断解的合理性，其中，审题是基础，找等量关系是关键，为了找准等量关系，可以借助线段、表格、图形等方法进行分析。
二、经典例题透析
类型一：
一元一次方程的有关概念
1、已知下列各式：
①2x－5＝1；
②8－7＝1；
③x＋y；
④
x－y＝x2；
⑤3x＋y＝6；
⑥5x＋3y＋4z＝0；
⑦
＝8；
⑧x＝0。
其中方程的个数是（ ）
A、5 B、6 C、7 D、8
思路点拨：
方程是含有未知数的等式，根据定义逐个进行判断，显然②③不合题意。
总结升华：
根据定义进行逐个判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：
一是等式；
二是含有未知数，本题体现了对概念的理解与应用能力。
[变式1]判断下列方程是否是一元一次方程：
（1）-2x2+3=x
（2）3x-1=2y（3）x+
=2（4）2x2-1=1-2（2x-x2）
解析：
判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。
[变式2]已知：
（a-3）（2a+5）x+（a-3）y+6＝0是一元一次方程，求a的值。
分两种情况：
（1）只含字母y，则有（a-3）（2a+5）＝0且a-3≠0
（2）只含字母x，则有a-3＝0且（a-3）（2a+5）≠0不可能
综上，a的值为
类型二：
一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤是：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。
1、巧凑整数解方程
1、解方程：
[变式]解方程：
＝2x－5
解：
原方程可变形为
整理，得8x＋18－（2＋15x）＝2x－5，
去括号，得8x＋18－2－15x＝2x－5
移项，得8x－15x－2x＝－5－18＋2
合并同类项，得－9x＝－21
系数化为1，得x＝
2、巧用观察法解方程
2、解方程：
该方程可化为
＝3，不难看出，当y＝1时，该方程左边三项的值都是1，即左边＝右边，因原方程是一元一次方程，故只能有一个解，于是可求得方程的解是y＝1。
3、巧去括号解方程
含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的方法，以避免繁杂的计算过程。
3、解方程：
因为题目中分数的分子和分母具有倍数关系，所以从外向内去括号可以使计算简单。
去括号，得
去小括号，得
去分母，得（3x－5）－8＝8
去括号、移项、合并同类项，得3x＝21
两边同除以3，得x＝7
∴原方程的解为x＝7
依次移项、去分母、去大括号，得
依次移项、去分母、去中括号，得
依次移项、去分母、去小括号，得
，∴x＝48
4、运用拆项法解方程
在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后再合并，有时可以使运算简便。
4、解方程：
注意到
，这样逆用分数加减法法则，可使计算简便。
原方程逆用分数加减法法则，得
移项、合并同类项，得
系数化为1，得
5、巧去分母解方程
当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现比较繁琐的运算。
为了避免这样的运算。
应把分母化成整数。
化整数时，利用分数的基本性质将分子、分母同时扩大相同的倍数即可。
5、解方程：
＝1
原方程化为
去分母，得100x－（13－20x）＝7
去括号、移项、合并同类项，得120x＝20
两边同除以120，得x＝
∴原方程的解为
应用分数性质时要和等式性质相区别。
可以化为同分母的，先化为同分母，再去分母较简便。
6、巧组合解方程
6、解方程：
按常规解法将方程两边同乘72化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3，左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数4，移项局部通分化简，可简化解题过程。
移项通分，得
化简，得
去分母，得8x－144＝9x－99。
移项、合并，得x＝－45。
7、巧解含有绝对值的方程
解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。
对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|＝m，则x＝m或x＝－m。
7、解方程：
|x－2|－3＝0
解法一：
移项，得|x－2|＝3
当x－2≥0时，原方程可化为x－2＝3，解得x＝5
当x－2＜0时，原方程可化为－（x－2）＝3，解得x＝－1。
所以方程|x－2|－3＝0的解有两个：
x＝5或x＝－1。
解法二：
移项，得|x－2|＝3。
因为绝对值等于3的数有两个：
3和－3，所以x－2＝3或x－2＝－3。
分别解这两个一元一次方程，得解为x＝5或x＝－1。
[变式1]5|x|-16＝3|x|-4
5|x|-3|x|＝16-4
2|x|＝12
|x|＝6
x＝±
6
[变式2]
|3x-1|＝8
3x-1＝±
8
3x＝1±
3x＝9或3x＝-7
x＝3或
小结：
解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班（严格按步骤）地解方程，又要能随机应变（灵活打乱步骤）解方程。
对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。
解一元一次方程常用的技巧有：
（1）有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。
（2）当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。
（3）当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。
（4）运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作整体进行变形。
解方程时，认真观察方程的结构特征，灵活采用解方程的一些技巧，可达到事半功倍的效果。
类型三、一元一次方程的综合应用题
1．优化方案问题
1、由于活动需要，78名师生需住宿一晚，，他们住了一些普通双人间和普通三人间，结果每间客房正好住满，且在宾馆给他们打五折优惠的基础上一天一共付住宿费2130元。
请你算一算，他们需要双人普通间和三人普通间各多少间？
普通
（元/间）
豪华
双人房
140
300
三人房
150
400
设安排普通双人房x间，则可住2x人，费用为140×
50％·
x元，
此时安排普通三人房
间，可住（78－2x）人，费用为150×
50％×
元。
由题意，得140×
x＋150×
＝2130。
解得x＝9，
＝20。
即安排三人房20间，双人房9间即可。
2．行程中的追及相遇问题
2、甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经3小时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1小时乙到达A地.问甲、乙行驶的速度分别是多少？
设甲的速度为
千米/时，题目中所涉及的有关数量及其关系可以用下表表示：
相遇前
相遇后
速度
路程
甲
3
+90
乙
1
相遇前甲行驶的路程+90=相遇前乙行驶的路程；
相遇后乙行驶的路程=相遇前甲行驶的路程.
设甲行驶的速度为
千米/时，则相遇前甲行驶的路程为3
千米，
乙行驶的路程为（3
+90）千米，乙行驶的速度为
千米/时，
由题意，得
.
解这个方程，得
=15.
检验：
=15适合方程，且符合题意.
将
=15代入
，得
=45.
答：
甲行驶的速度为15千米/时，乙行驶的速度为45千米/时.
理解相遇前后的等量关系，相遇问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。
这类问题可以通过画线段图或列表帮助理解、分析。
举一反三：
[变式]甲、乙两地相距240千米，汽车从甲地开往乙地，速度为36千米/时，摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的
摩托车从乙地出发2小时30分钟后，汽车才开始从甲地开往乙地，问汽车开出几小时后遇到摩托车？
分析：
本题是一个异地不同时出发的相遇问题，其基本关系是：
速度×
时间＝路程。
虽然不同时出发，但在相遇时，汽车所行的路程＋摩托车所行的路程＝甲、乙两地的距离，这就是本题的等量关系。
如果设汽车开出x小时后与摩托车相遇，则在相遇时，汽车和摩托车所行的路程可表示如图：
其中摩托车先行的路程为
千米；
摩托车后来所行的路程为
千米。
设汽车开出x小时与摩托车相遇，则
36x＋36×
＝240，解得x＝3
汽车开出3小时后遇到摩托车。
3．日历中的方程
3、
（1）在2006年8月的日历中（如图
（1）），任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为a，则用含a的代数式表示这三个数（从小到大排列）分别是＿＿＿。
（2）现将连续自然数1至2006按图中（如图
（2））的方式排成一个长方形阵列，用一个长方形框出16个数。
①图中框出的这16个数的和是____________。
②在图
（2）中，要使一个长方形框出的16个数之和分别等于2000、2006，是否可能？
若不可能，试说明
理由；
若有可能，请求出该长方形框出的16个数中的最小数和最大数。
（1）通过观察可以发现，一竖列上相邻的三个数，下面的数总比上面的数大7；
（2）①经观察不难发现，在这个长方形框里的16个数中，第一个数10与最后一个数34的和为44，第二个数与倒数第二个数，第三个数与倒数第三个数，……，它们的和都是44；
②设最小的数为a，由图
（2）及
（1）可知，这16个数分成8组，每组的两个数之和都是2a＋3
7+3=2a＋24。
（1）a－7，a，a＋7
（2）①352 ②设框出的16个数中最小的一个数为a，则这16个数组成的矩形方框如下图所示。
则这16个数之和为16a＋192，当16a＋192＝2000时，a＝113，
当16a＋192＝2006时，a＝113.375。
因为a是自然数，所以a＝113.375不符合题意，
即框出的16个数的和不可能是2006。
由方形阵列的排法可知，a只可能在1,2，3,4列，即a被7除的余数只可能是1,2，3,4。
因为113＝16×
7＋1，即113被7除余1,113在第一列中，所以这16个数的和是2000是可能的，
这时，方框中最小的数是113，最大的数是113＋24＝137。
（1）日历中的数量关系
①在日历中，每一横排相邻两个数字之间差1。
②在日历中，每一竖排相邻两个数字之间差7。
③在日历中，左上到右下方向相邻两个数字之间差8。
④在日历中，右上到左下方向相邻两个数字之间差6。
（2）用一个正方形任意圈出9个数的规律
①中间一个数字是所有九个数字的平均值。
②每一横排、每一竖排、每一斜排，中间一个数字都是它们的平均值。
[变式1]每人准备一份日历，在各自的日历上任意圈一个竖列上的相邻的四个数，两个分别把自己所圈4个数的和告诉同伴，由同伴求出这个数。
（1）4个数的和等于42。
（2）4个数的和等于60。
设这4个数分别为x－7，x，x＋7，x＋14
（1）由题意，得（x－7）＋x＋（x＋7）＋（x＋14）＝42
x－7＋x＋x＋7＋x＋14＝42，4x＋14＝42
∴4x＝28，∴x＝7
x－7＝7－7＝0，x＋7＝7＋7＝14，x＋14＝7＋14＝21
因为日历上没有0号，所以不符合实际，此题无解。
（2）由题意，得（x－7）＋x＋（x＋7）＋（x＋14）＝60
x－7＋x＋x＋7＋x＋14＝60,4x＋14＝60
∵4x＝46，∴x＝
是一个分数，日历上不可能出现分数，
所以不符合实际情况，此题无解。
4．教育储蓄
4、小张在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息和为1080元，问它存入的本金是多少元？
设小张存入的本金为x元，则5个月后的利息为2%×
x×
5即0.1x元，
这些利息需交利息税0.1x×
20%即0.02x元
由题意得：
x+0.1x-0.02x=1080
∴x=1000
他存入银行的本金为1000元。
三、巩固练习
一、选择题：
1、已知x=2时，2x2+mx+4=6；
那么当x=-2时，2x2+mx+4的值是（）.
（A）–18 （B）-10 （C）18 （D）6
2、把方程
中的分母化为整数，正确的是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
3、甲、乙两人同时从张庄出发，步行前往李庄。
由于乙中途停留了半小时，因而比甲晚15分钟，则以
下相等关系正确的是（）.
（A）甲行走时间+0.5=乙行走时间+0.25 （B）甲行走时间－0.5=乙行走时间+0.25
（C）甲行走时间+0.25=乙行走时间+0.5 （D）甲行走时间－0.25=乙行走时间－0.5
二、填空题：
1、由方程
变形为
的依据是__________，把方程两边都_____________。
2、
是一元一次方程，则m=____________。
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