南京市届高三年级第三次模拟考试数学Word格式文档下载.docx

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则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是．

（第5题图）

4．从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是．

5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是▲．

6．已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m⊂β．

给出下列命题：

①α∥β⇒l⊥m；

②α⊥β⇒l∥m；

③m∥α⇒l⊥β；

④l⊥β⇒m∥α．

其中正确的命题是．（填写所有正确命题的序号）．

7．设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－2，则＝▲．

8．设F是双曲线的一个焦点，点P在双曲线上，且线段PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为．

9．如图，已知A，B分别是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝，则该函数的周期是．

10．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x－2，则不等式f（x－1）≤2的解集是．

（第9题图）

（第11题图）

11．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2．若·

＝－3，则·

＝．

12．在平面直角坐标系xOy中，圆M：

（x－a）2＋（y＋a－3）2＝1（a＞0），点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为．

13．设函数f（x）＝g（x）＝f（x）－b．若存在实数b，使得函数g（x）恰有3个零点，则实数a的取值范围为．

14．若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为．

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边．若向量m＝（a，cosA），向量n＝（cosC，c），且m·

n＝3bcosB．

（1）求cosB的值；

（2）若a，b，c成等比数列，求＋的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱BC上一点．

（1）若AB＝AC，D为棱BC的中点，求证：

平面ADC1⊥平面BCC1B1；

（2）若A1B∥平面ADC1，求的值．

C1

17．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，

点（2，1）在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与圆O：

x2＋y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．

（第17题图）

①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；

②求证：

OP⊥OQ．

18．（本小题满分16分）

如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°

，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．现甲、乙两管理员同时从

地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时．

（1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；

（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．

D

19．（本小题满分16分）

设函数f（x）＝－x3＋mx2－m（m＞0）．

（1）当m＝1时，求函数f（x）的单调减区间；

（2）设g（x）＝|f（x）|，求函数g（x）在区间[0，m]上的最大值；

（3）若存在t≤0，使得函数f（x）图象上有且仅有两个不同的点，且函数f（x）的图象在这两点处的两条切线都经过点（2，t），试求m的取值范围．

20．（本小题满分16分）

已知数列{an}的前n项的和为Sn，记bn＝．

（1）若{an}是首项为a，公差为d的等差数列，其中a，d均为正数．

①当3b1，2b2，b3成等差数列时，求的值；

存在唯一的正整数n，使得an+1≤bn＜an+2．

（2）设数列{an}是公比为q（q＞2）的等比数列，若存在r，t（r，t∈N*，r＜t）使得＝，求q的值．

数学附加题2016.05

1．附加题供选修物理的考生使用．

2．本试卷共40分，考试时间30分钟．

3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：

几何证明选讲

B

如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点A，H是OC的中点，AH⊥BC．

（1）求证：

AC是∠PAH的平分线；

（2）求PC的长．

B．选修4—2：

矩阵与变换

已知曲线C：

x2＋2xy＋2y2＝1，矩阵A＝所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求曲线C1的方程．

C．选修4—4：

坐标系与参数方程

设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．已知椭圆C的参数方程为（θ为参数），点M的极坐标为（1，）．若P是椭圆C上任意一点，试求PM的最大值，并求出此时点P的直角坐标．

D．选修4—5：

不等式选讲

求函数f（x）＝5＋的最大值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．

（1）求X是奇数的概率；

（2）求X的概率分布列及数学期望．

23．（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）在曲线y＝x2（x＞0）上．已知A（0，－1），Pn（x，y），n∈N*．记直线APn的斜率为kn．

（1）若k1＝2，求P1的坐标；

（2）若k1为偶数，求证：

kn为偶数．

数学参考答案及评分标准

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；

如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

1．52．3－i3．0.024．5．86．①④

7．48．9．410．[－1，3]11．12．3

13．（－1－，2）14．

解：

（1）因为m·

n＝3bcosB，所以acosC＋ccosA＝3bcosB．

由正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝3sinBcosB，·

·

3分

所以sin（A＋C）＝3sinBcosB，所以sinB＝3sinBcosB．

因为B是△ABC的内角，所以sinB≠0，所以cosB＝．·

7分

（2）因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac．

由正弦定理，得sin2B＝sinA·

sinC．·

9分

因为cosB＝，B是△ABC的内角，所以sinB＝．·

11分

又＋＝＋＝

＝＝＝＝＝．·

14分

证明：

（1）因为AB＝AC，点D为BC中点，所以AD⊥BC．·

2分

因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC．

因为AD平面ABC，所以BB1⊥AD．·

4分

因为BC∩BB1＝B，BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，

所以AD⊥平面BCC1B1．

因为AD平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BCC1B1．·

6分

（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，所以O为AC1中点．·

8分

因为A1B∥平面ADC1，A1B平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，

所以A1B∥OD．·

12分

因为O为AC1中点，所以D为BC中点，

所以＝1．·

17．（本小题满分14分）

（1）由题意，得＝，＋＝1，解得a2＝6，b2＝3．

所以椭圆的方程为＋＝1．·

（2）①解法一椭圆C的右焦点F（，0）．

设切线方程为y＝k（x－），即kx－y－k＝0，

所以＝，解得k＝±

，所以切线方程为y＝±

（x－）．·

由方程组解得或

所以点P，Q的坐标分别为（，），（，），

所以PQ＝．·

因为O到直线PQ的距离为，所以△OPQ的面积为．

因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－（x－）时，△OPQ的面积也为．

综上所述，△OPQ的面积为．·

②解法二椭圆C的右焦点F（，0）．

把切线方程y＝（x－）代入椭圆C的方程，消去y得5x2－8x＋6＝0．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有x1＋x2＝．

由椭圆定义可得，PQ＝PF＋FQ＝2a－e（x1＋x2）＝2×

－×

＝．·

因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－（x－）时，所以△OPQ的面积为．

②解法一：

（i）若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x＝或x＝－．

当x＝时，P（，），Q（，－）．

因为·

＝0，所以OP⊥OQ．

当x＝－时，同理可得OP⊥OQ．·

10分

（ii）若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．

因为直线与圆相切，所以＝，即m2＝2k2＋2．

将直线PQ方程代入椭圆方程，得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－6＝0.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有x1＋x2＝－，x1x2＝．·

＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋m）（kx2＋m）＝（1＋k2）x1x2＋km（x1＋x2）＋m2

＝（1＋k2）×

＋km×

（－）＋m2．

将m2＝2k2＋2代入上式可得·

综上所述，OP⊥OQ．·

解法二：

设切点T（x0，y0），则其切线方程为x0x＋y0y－2＝0，且x＋y＝2．

（i）当y0＝0时，则直线PQ的直线方程为x＝或x＝－．

（ii）当y0≠0时，

由方程组消去y得（2x＋y）x2－8x0x＋8－6y＝0．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有x1＋x2＝，x1x2＝．·

所以·

＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝．

因为x＋y＝2，代入上式可得·

（1）由题意，可得AD＝12千米．

由题可知|－|≤，·

解得≤v≤．·

（2）解法一：

经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f（t）．

由于先乙到达D地，故＜2，即v＞8．·

①当0＜vt≤5，即0＜t≤时，

f（t）＝（6t）2＋（vt）2－2×

6t×

vt×

cos∠DAB＝（v2－v＋36）t2．

因为v2－v＋36＞0，所以当t＝时，f（t）取最大值，

所以（v2－v＋36）×

（）2≤25，解得v≥．·

②当5＜vt≤13，即＜t≤时，

f（t）＝（vt－1－6t）2＋9＝（v－6）2（t－）2＋9．

因为v＞8，所以＜，（v－6）2＞0，所以当t＝时，f（t）取最大值，

所以（v－6）2（－）2＋9≤25，解得≤v≤．·

13分

③当13≤vt≤16，≤t≤时，

f（t）＝（12－6t）2＋（16－vt）2，

因为12－6t＞0，16－vt＞0，所以当f（t）在（，）递减，所以当t＝时，f（t）取最大值，

（12－6×

）2＋（16－v×

）2≤25，解得≤v≤．

因为v＞8，所以8＜v≤．·

16分

设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f（t）．

以A点为原点，AD为x轴建立直角坐标系，

①当0＜vt≤5时，f（t）＝（vt－6t）2＋（vt）2．

由于（vt－6t）2＋（vt）2≤25，所以（v－6）2＋（v）2≤对任意0＜t≤都成立，

所以（v－6）2＋（v）2≤v2，解得v≥．·

②当5＜vt＜13时，f（t）＝（vt－1－6t）2＋32．

由于（vt－1－6t）2＋32≤25，所以－4≤vt－1－6t≤4对任意＜t＜都成立，

即对任意≤t≤都成立，

所以解得≤v≤．·

③当13≤vt≤16即≤t≤，此时f（t）＝（12－6t）2＋（16－vt）2．

由①及②知：

8＜v≤，于是0＜12－6t≤12－≤12－＝4，

又因为0≤16－vt≤3，所以f（t）＝（12－6t）2＋（16－vt）2≤42＋32＝25恒成立．

综上①②③可知8＜v≤．·

（1）当m＝1时，f（x）＝－x3＋x2－1．f′（x）＝－3x2＋2x＝－x（3x－2）．

由f′（x）＜0，解得x＜0或x＞．

所以函数f（x）的减区间是（－∞，0）和（，＋∞）．·

（2）依题意m＞0．

因为f（x）＝－x3＋mx2－m，所以f′（x）＝－3x2＋2mx＝－x（3x－2m）．

由f′（x）＝0，得x＝或x＝0．

当0＜x＜时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，）上为增函数；

当＜x＜m时，f′（x）＜0，所以f（x）在（，m）上为减函数；

所以，f（x）极大值＝f（）＝m3－m．·

①当m3－m≥m，即m≥，ymax＝m3－m．·

②当m3－m＜m，即0＜m＜时，ymax＝m．

综上，ymax＝·

（3）设两切点的横坐标分别是x1，x2．则函数f（x）在这两点的切线的方程分别为

y－（－x13＋mx12－m）＝（－3x12＋2mx1）（x－x1），

y－（－x23＋mx22－m）＝（－3x22＋2mx2）（x－x2）．·

将（2，t）代入两条切线方程，得

t－（－x13＋mx12－m）＝（－3x12＋2mx1）（2－x1），t－（－x23＋mx22－m）＝（－3x22＋2mx2）（2－x2）．

因为函数f（x）图象上有且仅有两个不同的切点，

所以方程t－（－x3＋mx2－m）＝（－3x2＋2mx）（2－x）有且仅有不相等的两个实根．·

整理得t＝2x3－（6＋m）x2＋4mx－m．

设h（x）＝2x3－（6＋m）x2＋4mx－m，h′（x）＝6x2－2（6＋m）x＋4m＝2（3x－m）（x－2）．

①当m＝6时，h′（x）＝6（x－2）2≥0，所以h（x）单调递增，显然不成立．

②当m≠6时，h′（x）＝0，解得x＝2或x＝．

列表可判断单调性，可得当x＝2或x＝，

h（x）取得极值分别为h

（2）＝3m－8，或h（）＝－m3＋m2－m．

要使得关于x的方程t＝2x3－（6＋m）x2＋4mx－m有且仅有两个不相等的实根，

则t＝3m－8，或t＝－m3＋m2－m．·

因为t≤0，所以3m－8≤0，（*），或－m3＋m2－m≤0．（**）

解（*），得m≤，解（**），得m≤9－3或m≥9＋3．

因为m＞0，所以m的范围为（0，]∪[9＋3，＋∞）．·

（1）①因为3b1，2b2，b3成等差数列，

所以4b2＝3b1＋b3，即4×

＝3（2a＋d）＋，

解得，＝．·

②由an＋1≤bn＜an＋2，

得a＋nd≤＜a＋（n＋1）d，

整理得·

解得＜n≤，·

由于－＝1且＞0．

因此存在唯一的正整数n，使得an＋1≤bn＜an＋2．·

（2）因为＝＝，所以＝．

设f（n）＝，n≥2，n∈N*．

则f（n＋1）－f（n）＝－＝，

因为q＞2，n≥2，所以（q－1）n2＋2（q－2）n－3＞n2－3≥1＞0，

所以f（n＋1）－f（n）＞0，即f（n＋1）＞f（n），即f（n）单调递增．·

所以当r≥2时，t＞r≥2，

则f（t）＞f（r），即＞，这与＝互相矛盾．

所以r＝1，即＝．·

若t≥3，则f（t）≥f（3）＝＝·

＞，即＞，

与＝相矛盾．

于是t＝2，所以＝，即3q2－5q－5＝0．

又q＞2，所以q＝．·

数学附加题参考答案及评分标准2016.05