一次函数反比例函数二次函数知识点归纳总结文档格式.docx
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知识点三、函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围
3、函数的二种表示法及其优缺点
（1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表：
列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：
以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：
按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
知识点四，正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果y=kx+b（k，b是常数，心0），那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数y二kxb中的b为0时，y二kx（k为常数，30）。
这时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数y二kxb的图像是经过点（0,b）的直线；
正比例函数y二kx的
图像是经过原点（0，0）的直线。
k的
符号
b的符
号
函数图像
图像特征
k>
b>
y」
/
图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。
/I
x
b<
图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。
K<
图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。
注：
当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例
4、正比例函数的性质
一般地，正比例函数y=kx有下列性质：
（1）当k>
0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<
0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地，一次函数y二kxb有下列性质：
0时，y随x的增大而增大
0时，y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y二kx（k=0）中
的常数k。
确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y二kxb（k=0）
中的常数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法
知识点五、反比例函数
1、反比例函数的概念
一般地，函数y上（k是常数，k=0）叫做反比例函数。
反比例函数的
解析式也可以写成八加的形式。
自变量x的取值范围是x=0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x=0,函数y=0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质
反比
例函
数
k
y=—（k芒0）
k<
图像
4
y
J'
J
O
①x的取值范围是x^o,
y的取值范围是”0;
②当k>
0时，函数图像的两个分
②当k<
性质
支分别
在第一、三象限。
在每个象限
在第二、四象限。
内，y
随x的增大而减小。
随x的增大而增大。
4、反比例函数解析式的确定
确定及诶是的方法仍是待定系数法。
由于在反比例函数y」中，只有
一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求
出k的值，从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
如下图，过反比例函数y'
（k=o）图像上任一点P作X轴、y轴的垂线
PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PM・PN=y•x=xy。
y=~,xy=k,S=ko
知识点六、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果特y二ax2•bx•c（a,b,c是常数，a=0），特别注意a不为零那么y叫做x的二次函数。
y=ax2bxc（a,b,c是常数，a=0）叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
2a
抛物线的主要特征：
①有开口方向；
②有对称轴；
③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线y=ax2bxc与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴
的交点C,再找到点C的对称点D。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。
由C、MD三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出
二次函数的图像。
知识点七、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
口诀-----一般两根三顶点
（1）一般一般式：
y=ax2•bx•c（a,b,c是常数，a=0）
（2）两根当抛物线y=ax2bxc与X轴有交点时，即对应二次好方
程ax2bx^0有实根Xi和X2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2•bx•c=a（x-xj（x-X2），二次函数ax2bxc可转化为两根式y=a（x-xi）（x-X2）。
如果没有交点，则不能这样表示。
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（3）三顶点顶点式：
y=a（x-h）2•k（a,h,k是常数，a=0）
知识点八、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或
最小值），即当时，y最值二4a^。
2a4a
如果自变量的取值范围是X」X乞X2，那么，首先要看-巴是否在自变量
2
取值范围X』X^X2内，若在此范围内，则当X=-,时，y最值二4a；
b；
若不
在此范围内，则需要考虑函数在X^X乞X2范围内的增减性，如果在此范围
内，y随X的增大而增大，则当x=x2时，y最大二ax；
-bx2c，当x=捲时，y最小^ax；
bx1c；
如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=Xj时，y最大二ax；
bxic，当x=x；
时，y最小二ax；
bx；
c。
知识点九、二次函数的性质
1、二次函数的性质
函
二次函数
y=ax+bx+c（a,b,c是常数，a鼻0）
图
像
a>
a<
1
1
i
、
L
n
r
（1）抛物线开口向上，并向上无
（1）抛物线开口向下，并向下无
限延伸；
（2）对称轴是x=-b，顶点坐标
（2）对称轴是x-b，顶点坐标
是（-b，4ac-b2）；
是（-b，4a_b2）；
（3）在对称轴的左侧，即当xv—卫
（3）在对称轴的左侧，即当
性
时，y随x的增大而减小；
在对
XV一卫时，y随x的增大而增
质
称轴的右侧，即当X>
—2时，y
大；
在对称轴的右侧，即当
随x的增大而增大，简记左减
x>
-上时，y随x的增大而减
右增；
小，简记左增右减；
（4）抛物线有最低点，当X--b
（4）抛物线有最冋点，当x-
时，y有最小值，y最小值-
时，y有最大值，y最大值-/
4a
2、二次函数y=ax2•bx•c（abc是常数，a=0）中，a>
b、c的含义：
a表示开口方向：
0时，抛物线开口向上
0时，抛物线开口向下
b与对称轴有关：
对称轴为X二-—
c表示抛物线与y轴的交点坐标：
（0，c）
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的厶=b2—4ac，在二次函数中表示图像与X轴是否有交点。
当厶>
0时，图像与X轴有两个交点；
当厶=0时，图像与X轴有一个交点；
当<
0时，图像与X轴没有交点。
知识点十中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路,以寻求解题方法）
A
y•
如图：
点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）
则AB间的距离，即线段AB的长度为—X2f—y2$
2,二次函数图象的平移
1将抛物线解析式转化成顶点式y=ax—h彳•k，确定其顶点坐标h,k;
2保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移
方法如下：
3平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；
k值正上移，负下移”.
函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个
知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）
特别记忆--同左上加异右下减（必须理解记忆）
说明①函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，ab值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右
②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减
3、直线斜率：
y^y1b为直线在y轴上的截距4、直线方程:
k=tana=-
x2_為
4、①两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:
y-％二kx•b二（tan「）x•b二"
_"
x（x-xj此公式有多种变形牢记
2点斜y=kx（x-xi）
3斜截直线的斜截式方程，简称斜截式:
y=kx+b（k丰0）
4截距由直线在X轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简
称截距式：
--
ab
牢记口诀---两点斜截距--两点点斜斜截截距
5、设两条直线分别为，b:
y=kix•dI2:
y=k2X•b2若11〃12，则
有hfUkl%且b「b2o若「I?
二kik^-1
6、点P（x0,y0）到直线y=kx+b（即：
kx-y+b=O）的距离:
7、抛物线y=ax2・bxc中，abc,的作用
（1）a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线ax2bxc的对称轴是直线
x—，故：
①b=0时，对称轴为y轴；
②-0（即a、b同号）时，
2aa
对称轴在y轴左侧；
③b：
0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.口
a
诀---同左异右
（3）c的大小决定抛物线y=ax2bxc与y轴交点的位置.
当x=0时，y=c,・••抛物线y二ax2bxc与y轴有且只有一个交点（0,
c）:
1c=0，抛物线经过原点；
2c0,与y轴交于正半轴；
③c：
0,与y轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则b<
0.
卜一，中考点击
考点分析:
内容
要求
1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点
I
2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系
3、一次函数的概念和图像
4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图
□
5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中
的应用
6、一次函数的概念和性质，在实际情景中理解一次函数的意义，会利用一次函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题
命题预测：
函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右.一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右.反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式
出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6分；
二
次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中.要求：
能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；
会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；
会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题.会求一元二次方程的近似值.
分析近年中考，尤其是课改实验区的试题，预计2009年除了继续考查
自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像，一次函数的图像和
性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解.同时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用.
十二，初中数学助记口诀（函数部分）
特殊点坐标特征:
坐标平面点（x,y）,横在前来纵在后；
（+,+）,（-,+）,（-,-）和（+,-）,四个象限分前后；
X轴上y为0,x为0在Y轴。
对称点坐标:
对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X轴对称y相反,Y轴对称,x前面添负号；
原点对称最好记，横纵坐标变符号。
自变量的取值范围：
分式分母不为零，偶次根下负不行；
零次幂底数
不为零，整式、奇次根全能行
函数图像的移动规律:
若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b、二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号，上下平移在末稍，同左上加异右下减
一次函数图像与性质口诀:
一次函数是直线，图像经过仨象限；
正比例函数更简单，经过原点一直线；
两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜，x增减y增减；
k为负来左下展,变化规律正相反；
k的绝对值越大，线离横轴就越远。
二次函数图像与性质口诀:
二次函数抛物线，图象对称是关键；
开口、顶点和交点，它们确定图象现；
开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；
顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右
异中为0，牢记心中莫混乱；
顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。
若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。
反比例函数图像与性质口诀:
反比例函数有特点，双曲线相背离的远;
k为正，图在一、三（象）限,k为负，图在二、四（象）限；
图在一、三函数减，两个分支分别减。
图在二、四正相反，两个分支分别添；
线越长越近轴，永远与轴不沾边。
正比例函数是直线，图象一定过圆点，k的正负是关键，决定直线的象限，负k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，向上加b向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键。
反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换。
二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。
对称点坐标要记牢，相反数位置莫混淆，
X轴对称y相反，Y轴对称,x前面添负号；
关于x轴对称
y=ax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c；
y=ax-h—k关于x轴对称后，得到的解析式是y--ax-J—k；
关于y轴对称
关于原点对称
y=ax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是y--ax2bx_c；
y=a（x—hj+k关于原点对称后，得到的解析式是y=—a（x+h$—k
关于顶点对称
2y=a/bxc关于顶点对称后，得到的解析式是y--a^-bx;
y=ax—h$•k关于顶点对称后，得到的解析式是y=—ax—h?
•k.
关于点m,n对称
y二ax—h「k关于点m,n对称后，得到的解析式是y—axh—卅2n_k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.
口诀Y反对X,X反对Y,都反对原点
2自变量的取值范围:
零次幂底数不为零,
函数图像的移动规律
若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b,
二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k的形式，
则用下面后的口诀：
“左右平移在括号,上下平移在末稍,
左正右负须牢记，上正下负错不了”。
正比例函数更简单，经过原点一直线；
两个系数k与b,作用之大莫小看，
k是斜率定夹角,b与Y轴来相见，
k为正来右上斜，x增减y增减；
k为负来左下展，变化规律正相反;
二次函数抛物线，图象对称是关键;
开口、顶点和交点，它们确定图象限;
开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联;
顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0,牢记心中莫混乱；
顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见＜若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。
反比例函数有特点，双曲线相背离的远；
k为正，图在一、三（象）限；
k为负，图在二、四（象）限；
图在一、三函数减，两个分支分别减；
图在二、四正相反，两个分支分别添线越长越近轴，永远与轴不沾边。
函数学习口决：
正比例函数是直线，图象一定过原点，k的正负是关键，
决定直线的象限，负k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，向上加b向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键；
反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换；
二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，
△的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。
求定义域：
求定义域有讲究，四项原则须留意。
负数不能开平方，分母为零无意义。
指是分数底正数，数零没有零次幂。
限制条件不唯一，满足多个不等式。
求定义域要过关，四项原则须注意。
分数指数底正数，数零没有零次幂。
限制条件不唯一，不等式组求解集。
解一元一次不等式：
先去分母再括号，移项合并同类项。
系数化“1”有讲究，同乘除负要变向
先去分母再括号，移项别忘要变号。
同类各项去合并，系数化“1”注意了
同乘除正无防碍，同乘除负也变号。
解一元二次不等式：
首先化成一般式，构造函数第二站。
判别式值若非负，曲线横轴有交点。
a正开口它向上，大于零则取两边。
代数式若小于零，解集交点数之间。
方程若无实数根，口上大零解为全。
小于零将没有解，开口向下正相反。
13.1用公式法解一元二次方程
要用公式解方程，首先化成一般式。
调整系数随其后，使其成为最简比。
确定参数abc，计算方程判别式。
判别式值与零比，有无实根便得知。
有实根可套公式，没有实根要告之。
用常规配方法解一元二次方程：
左未右已先分离，二系化“1”是其次。
一系折半再平方，两
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