第五章其他常用单元的刚度矩阵Word下载.docx

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轴对称问题中表示应变与位移尖系的几何方程与弹性

力学平面问题相似，所不同的是：

单元内一点在径向产生的

位移u，会在圆周方向引起相应的应变一。

一个半径为r的圆

环，周长为2二r，环上的各点都沿各自的径向产生位移u后，

其圆周长度变成2二（ru）。

因此，在圆周方向的应变为

2兀（r+u）_2兀「u

©

0=二一

2兀rr

由于各点在圆周方向上无位移，因而剪应变v「和心均为

零。

将应变写成向量的形式，贝y

根据上式，可推导出几何方程

N（r,z）

其中几何矩阵1B】三r（

2也r

｛亠严匚《「I

1

i

cz

CUdN

+

<

CZ&

y

〕；

m?

Q

Zkj

乙j

Nj（r,z）

r

—0-

Nk（r,z）r

-0

rkj

nk

r.・

Ji

Zjk

Zki

rji

Z.j

3•弹性方程和弹性矩阵〔D〕

依照广义虎克定律，同样可以写出在轴对称中应力和应

变之间的弹性方程，其形式为

£

A・U（二■-■）1

E・

「—丄I'

_U（；

rr•二）]E——

；

Z二丄・z・U（；

「r■・）1E“

2（1+4）

rrzrz

E

所以弹性方程为土・IDE二

式中应力矩阵一g1二

rz

01

弹性矩阵0-

（1+#）（1_2»

）

4•单元刚度矩阵2

与平面问题相同，仍用虚功原理来建立单元刚度矩阵，其积分式为

k『-lBTD:

Bdv

V

在柱面坐标系中?

dV=2：

drdz

将dV=2…drdz代入kf・BID；

Bdv，贝Uk『二IB[D:

B}drdz

即为轴对称问题求单元刚度矩阵的积分式。

与弹性力学平面问题的三角形单元不同，在轴对称问题

中，几何矩阵〔B〕内有的元素（如LU口等）是坐标r、z的函

数'

不是常量°

因此'

乘积IBID]IB]不能简单地从式k『=2二IBQIBrdrdz的积分号中提出。

如果对该乘积逐项求积分，将是一个繁重的工作。

一般采用近似的方法：

用三角形形心的坐标值代替几何矩阵〔B〕内的r和Z的值。

用B表示在形心

（二）处计算出的矩阵〔B〕。

其中

-（「i+「j+「k）一（Z+Zj+Zk）

r3z3

只要单元尺寸不太大，经过这样处理引起的误差也不

大。

被积函数又成为常数，可以提出到积分号外面：

k】7=2兀B』ID】B】[frdrdz=2兀B『B】BB式中心三角形的面积。

由式kF=2兀B〕B]Brdrdz=2兀B】b】B!

也可以看出，两轴对称的三角形单元，当形状、大小及方位完全相同而位置不同时，其刚度矩阵也不相同。

距离主轴线越远的单元，其刚度越大。

这与平面问题不一样。

二、等参数的刚度矩阵

对一些由曲线轮廓的复杂结构，如果采用直角边单元进行离散，由于用直线

代替了曲线，除非网格划分得很细，否则不能获得较高的精度；

对另一些应力随坐标急剧变化的结构，采用简单的常应力单元离散时，也必须划分成大量的微小单元，以保证足够的精度。

为此引入一种高精度的单元——等参数单元。

它既能简化复杂单元划分的工作，又能在满足同样精度的要求时，大大减少使用的单元数。

目前流行的大程序中较常用，它成功地解决了许多二维和三维的弹性力学问题。

为导出等参数单元的刚度矩阵，首先要建立根据每个单元的形状确定的自然坐标系，然后将位移模式和形状函数都写成自然坐标的函数。

一个单元在自然坐标系内的点余元整体坐标系内的点成—对应的尖系。

通过映射，可以将整体坐标系中的图形转化为自然坐标系中的相应徒刑。

例如可以将整体坐标系中的一个任意四边形（实际单元）映射到自然坐标系中成为一个正方形（基本单元）。

同样也可以将任意四面体、六面体（包括直边和曲边的）分别映射成正四面体和正六面体。

这里只介绍较简单的一种平面问题的情况，将整体坐标系中的一个任意四边形映射成自然坐标系中的一个正方体，并导出单元刚度矩阵。

其它种单元的映射，可依次原理进行。

不再叙述。

1.位移模式和形状函数

图4-2中的任意四边形单元上，作连接对边中点的直线，取其交点为原点，这两条直线分别为•和轴，并令四条边上的•和值分别为」，建立一个新的坐标系，称之为该单元的自然坐标系。

原坐标系XOY称为整体坐标系。

在整体坐标系中，自然坐标系非正交，它由任意四边形的形状所确定。

图4-19

如果将自然坐标系改画成直角坐标系，那么图4-19（a）

中的任意四边形单元就成为图

4-19（b）所示的正方形。

上述两个四边形的点（包括顶点）一一对应，即它们之间相互映射。

因此，

需要写出整体坐标X、丫和自然坐标・、之间的坐标转换式，即

X■「勺卜二2匚亠很亠很4

丫二•片I7-a

5678

四边形四个顶点的坐标值在XOY坐标系中分别为X,,X2,丫2,X3,丫3,

X4,Y4:

在0坐标系中相应为

心,T1,1,1,-1,1。

将有尖数据代入*中的第一式，则有

XA-）2-）3*4X2/V1*2・〉3-〉4

X3=）t12丄%1•U,X4=〉勺-2*3-）4

求解上述方程组得：

-XiX

-X

坐标变换方程*成为

x1「zX,•i

4

'

•「】X2・1亠：

一■亠了X3-1-I.厂•丁X4]

同理

Y1「・】r]Yi•1

「■'

■丨丫2・1亠：

亠弾亠？

，Y3-12.].：

-1Y4]

当引入函数比后，坐标变换方程成为

X»

Ni,Xi

iz!

丫二為2,Yi

i土

式中N<

:

\i

变量〉的正负号由相应节点的坐标值i决定。

例如

当i=4时?

；

-1,4-1?

因此?

N4°

下面再来研究函数的特性。

对节点KX,），相应的自然坐标值为（-1—1）。

从式

Ni,j1-「1•冲很容易看出，除N1二1外，

N2二N3二N4=0。

对其余各节点也一样。

总而言之，对节点i（i=l,2,3,4），除Ni=l

夕卜，其余三个N值均为零。

同时，不难看出

N1,N2,N3,N4,=1，即四个节点的Ni函数

之和等于1。

函数N,具备上章所介绍的形状函数应满足的条件，

可作为本单元的形状函数

米用NM故形状函数，其位移模式为

44

u・7Ni1Ui,v・7Ni「，Vi

i1iA

X二瓦Ni（r,n旳4

v八Ni:

Vi可以看出:

1.1

对比4二和u二瓦NiOnu

丫八g,丫-

丄

在这种实际单元（任意四边形）中，坐标变换式和位移模

式不仅采用了相同的形状函数W，而且具有相同的数学

模型。

这种性质的实际单元称为等参数单元。

对用节点位移值Ui（或Vi等）求单元内某一点位移量u（或V

等）的插值公式U八，Ni・，只要将U（或V等）换成X（或丫

i

等），便成为利用节点值Xi（或Yi等）求相应点坐标X（或丫等）的插值公式。

相反也是这样。

2・几何矩阵〔B〕

由于几何矩阵〔B〕通过对位移求偏导数而得出，所以首先

CU

au

或写成丿

cX[

cu

必须利用复合函数求导的规则得出下述公式

cucXcucY

&

看看

况£

X€u£

丫

汰釦CYcn

l・X:

式中免I負佇

Y

此式称为雅可比矩阵

—IJ

为了将几何矩阵〔B〕写成变量、的函数，必须将式

•u1

峠「f

XJ

，同理，乙「_

L汕

du'

dvH

■

◎厂

厂』1

0/

・r匕c-

Uy卜改写成

gj

从冷示单元内各点位移与其应变尖系的几何方程可知:

01

L}=

.Y

1；

：

U；

U；

V：

V

.X

将式

A和

丿

cv

IJ

f

A二J警}合

T-1并，

JCV

/U

0f,lj£

u

对单元（e）

任意一点的位移

u，v对自然坐标,

的偏

导数可利用上式求出，写成矩阵形式为:

•:

u.：

u.v.V

式中匚?

U1V1U1

V*

N

3

N4PIo

bl

NTp

对于i=l,2,3,4

■Nip=

.u.u

1a

cn

aj

dJ

■_£

丫

■°

v,则可得出表示

在整体坐标系中位移和应变矢系的几何方程:

=iBUe

式中的几何矩阵〔B〕是自然坐标，的函数:

LjF

kp]

也可利用

纱求得的M以及

Ni,Xi

YANi,Yi

X4T

O

xjY

b筈當求出J】，

3•单元刚度矩阵k?

设单元板厚为t，根据虚功方程有：

k『）二H

A

IBID〕feIdA，

此式中几何矩阵〔B〕和弹性矩阵〔D〕都已求岀。

因为几何矩阵

〔B〕中的变量是自然坐标，，所以也要用自然坐标表示微分

面积dA°

在实际单元中任取一点p'

其整体坐标位X、丫，其相应的自然坐标为：

。

过P点做；

的等值线，同时做d,d的等值线，围成一小块微分面积dA，如

图4・20

（a）所示°

为便于分析?

将四边形pqrs放大5如图4-20（b）

所示。

实际上，d,d取得很小，因此该四边形可视为平行四边形。

若相邻的

两边用向量fa加表示，则两者的乘积等于该平行四边形的面积dA。

图4-20

a二axiayj,b二bxibyj

dA二axiayj

Hx

bxibyji；

=bx

by

为了求岀ax,ay,bx,b泊勺值，要先写出a和b两端节点的坐标值。

点P:

Xp=X,,Yp=Y,

点q:

X"

d,,Yqd,

点S:

Xs=x,d，丫s二丫，d

利用泰勒技术展开并略去高阶项，可得

x（U+dM）=x（nd©

一XX

X,d=X,d

利用式

对丫；

，丫,d，也可写出相应的展开式。

Xd，二x,

X,

1=X,

X—d

可得：

ax-X

;

xd,

ay二Yq-Y

n

M

二XsXp

—d,by

=YS

一Yp=

cY

——cP

貳

an

3yby

dA

3xbx

cX

「dd,

简写为dA=Jd3

单元刚度矩阵为：

11

k『）=jjBTb]BtJd如，这个积分可以米用“数值方法”

」J

高斯求积分公式很方便的求出，在此不作介绍。

例：

求如图所示四边形的雅可比矩阵。

解：

求雅可比矩阵可在整体坐标系中进行，也可以在实际单元的局部坐标系中进行。

为便于计算，本例在局部坐标系中进行。

对单元

（1）：

将四个节点的自然坐标值（・1-1）、（1-1）、（「1）、

（-1，1）代入下式：

汕,二丄1•「■!

•「，再将所得到的X,值及四个节点

实际单元在局部坐标系的坐标值（・3-2）、（3，・2）、（3,

2）、

（・3,2）代入下式计算:

，贝yX=3,Y=2

X八Ni,Xi

i±

雅克比矩阵为

对单元

（2）:

四个节点在局部坐标系中的坐标值分别为

（・1,・3/4）、

-3/4）、（1，5/4）、（・1，1/4）。

-％1

丫二丄w@_n/1）+

41I4•

因而雅可比矩阵为111v「

4f0（3）J

也可利用UNjMpX灯X2X3X4求雅可比矩阵，

其结果与上相同，同学们可自行验证。