九年级数学BS下367 直线和圆的位置关系及切线的性质教案Word格式.docx

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如图所示，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AC＝BC，CD⊥AB，∴△ABC是等腰直角三角形．

∵以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，∴CD＝2cm.∵∠B＝45°

，∴CD＝BD＝2cm，∴BC＝

＝

＝2

（cm）．故选B.

解决问题的关键是根据题意画出图形，利用直线和圆的三种位置关系解答．

【类型三】在平面直角坐标系中，解决直线和圆的位置关系的问题

如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为1，动直线AB与x轴交于点P（x，0），且满足直线AB与x轴正方向夹角为45°

，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（　　）

A．－1≤x≤1B．－

＜x＜

C．0≤x≤

D．－

≤x≤

当直线AB与⊙O相切且与x轴正半轴相交时，设切点为C，连接OC.∵直线AB与x轴正方向夹角为45°

，∴△POC是等腰直角三角形．∵⊙O的半径为1，∴OC＝PC＝1，∴OP＝

，∴点P的坐标为（

，0）．同理可得，当直线AB与x轴负半轴相交时，点P的坐标为（－

，0），∴x的取值范围为－

≤x≤

.故选D.

解决本题要熟知直线和圆的三种位置关系，关键是有公共点的情况不要遗漏．

探究点二：

切线的性质

【类型一】利用切线的性质求线段长

如图，CB是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PB＝2，PA切⊙O于A点，PA＝4.求⊙O的半径．

设圆的半径是x，利用勾股定理可得关于x的方程，求出x的值．

解：

如图，连接OA，∵PA切⊙O于A点，∴OA⊥PA.设OA＝x，∴OP＝x＋2.在Rt△OPA中，x2＋42＝（x＋2）2，∴x＝3，∴⊙O的半径为3.

运用切线的性质来进行计算或证明时，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

【类型二】圆的切线与相似三角形的综合

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E，连接CD.

（1）求证：

点E是边BC的中点；

（2）求证：

BC2＝BD·

BA；

（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：

△ABC是等腰直角三角形．

（1）利用切线的性质及圆周角定理证明；

（2）利用相似三角形证明；

（3）利用正方形的性质证明．

证明：

（1）如图，连接OD.∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°

.∵∠ACB＝90°

，∴∠ECD＋∠OCD＝90°

.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°

，∴∠BDE＋∠EDC＝90°

，∠B＋∠ECD＝90°

，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝BE.∴EB＝EC，即点E为边BC的中点；

（2）∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝∠BDC＝90°

.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴

，∴BC2＝BD·

（3）当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°

.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°

，∴∠CAD＝180°

－∠ADC－∠OCD＝180°

－90°

－45°

＝45°

，∴Rt△ABC为等腰直角三角形．

本题的综合性比较强，但难度不大，解决问题的关键是综合运用学过的知识解答．另外，连接圆心和切点，构造直角三角形也是解题的关键．

【类型三】圆的切线与三角函数的综合

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线与AD的延长线交于F点．

∠ABC＝∠F；

（2）若sinC＝

，DF＝6，求⊙O的半径．

（1）由切线的性质得AB⊥BF，因为CD⊥AB，所以CD∥BF，由平行线的性质得∠ADC＝∠F，由圆周角定理的推论得∠ABC＝∠ADC，于是证得∠ABC＝∠F；

（2）连接BD.由直径所对的圆周角是直角得∠ADB＝90°

，因为∠ABF＝90°

，然后运用解直角三角形解答．

（1）证明：

∵BF为⊙O的切线，∴AB⊥BF.∵CD⊥AB，∴∠ABF＝∠AHD＝90°

，∴CD∥BF.∴∠ADC＝∠F.又∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠F；

（2）解：

连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°

，∴∠A＋∠ABD＝90°

.由

（1）可知∠ABF＝90°

，∴∠ABD＋∠DBF＝90°

，∴∠A＝∠DBF.又∵∠A＝∠C，∴∠C＝∠DBF.在Rt△DBF中，sin∠DBF＝sinC＝

，DF＝6，∴BF＝10，∴BD＝8.在Rt△ABD中，sinA＝sinC＝

，BD＝8，∴AB＝

.∴⊙O的半径为

.

运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

板书设计

直线和圆的位置关系及切线的性质

1．直线和圆的位置关系：

①直线l与圆O相交⇔d＜r；

②直线l与圆O相切⇔d＝r；

③直线l与圆O相离⇔d＞r.

2．切线的性质及运用

教学反思：

在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时，先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系，启发学生运用类比的思想来思考问题，解决问题，学生很轻松地就能够得出结论，从而突破本节课的难点，使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化.

第2课时切线的判定及三角形的内切圆

1．掌握切线的判定定理，并会运用它进行切线的证明；

2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线；

（难点）

3．掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念.（重点）

下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？

这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况．

切线的判定

【类型一】已知直线过圆上的某一个点，证明圆的切线

如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°

，求证：

CD是⊙O的切线．

要证明CD是⊙O的切线，即证明OC⊥CD.连接OC，由AC＝CD，∠D＝30°

，则∠A＝∠D＝30°

，得到∠COD＝60°

，所以∠OCD＝90°

连接OC，如图，∵AC＝CD，∠D＝30°

，∴∠A＝∠D＝30°

.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°

，∴∠COD＝60°

，∴∠OCD＝90°

，即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切线．

一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．

【类型二】直线与圆的公共点没有确定时，证明圆的切线

如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：

CD与⊙O相切．

连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON即可．

连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O相切．

如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．

【类型三】切线的性质和判定的综合应用

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB.

AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）若AD＝2

，AE＝6，求EC的长．

（1）取BD的中点O，连接OE，如图，由∠BED＝90°

，可得BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心，再证明OE∥BC，得到∠AEO＝∠C＝90°

，可得结论；

（2）设⊙O的半径为r，根据勾股定理和平行线分线段成比例定理，可求答案．

取BD的中点O，连接OE，如图所示，∵DE⊥EB，∴∠BED＝90°

，∴BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°

，∴OE⊥AE，∴AC是△BDE的外接圆的切线；

设⊙O的半径为r，则OA＝OD＋DA＝r＋2

，OE＝r.在Rt△AEO中，有AE2＋OE2＝AO2，即62＋r2＝（r＋2

）2，解得r＝2

.∵OE∥BC，∴

，即

，∴CE＝3.

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

三角形的内切圆

【类型一】利用三角形的内心求角的度数

如图，⊙O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°

，∠C＝60°

，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（　　）

A．40°

B．55°

C．65°

D．70°

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°

，∠B＝50°

，∴∠A＝70°

.∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°

，∴∠EOF＝360°

－∠A－∠OEA－∠OFA＝110°

，∴∠EDF＝

∠EOF＝55°

.故选B.

解决本题的关键是理解三角形内心的概念，求出∠EOF的度数．

【类型二】求三角形内切圆半径

如图，Rt△ABC中，∠C＝90°

，AC＝6，CB＝8，则△ABC的内切圆半径r为（　　）

A．1B．2C．1.5D．2.5

∵∠C＝90°

，AC＝6，CB＝8，∴AB＝

＝10，∴△ABC的内切圆半径r＝

＝2.故选B.

记住直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为

，可以大大简化计算．

【类型三】三角形内心的综合应用

如图①，I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E.

（1）BE与IE相等吗？

请说明理由．

（2）如图②，连接BI，CI，CE，若∠BED＝∠CED＝60°

，猜想四边形BECI是何种特殊四边形，并证明你的猜想．

（1）连接BI，根据I是△ABC的内心，得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据∠BIE＝∠1＋∠3，∠IBE＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，得出∠BIE＝∠IBE，即可证出IE＝BE；

（2）由三角形的内心，得到角平分线，根据等腰三角形的性质得到边相等，由等量代换得到四条边都相等，推出四边形是菱形．

（1）BE＝IE.理由如下：

如图①，连接BI，∵I是△ABC的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠BIE＝∠1＋∠3，∠IBE＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，∴∠BIE＝∠IBE，∴BE＝IE；

（2）四边形BECI是菱形．证明如下：

∵∠BED＝∠CED＝60°

，∴∠ABC＝∠ACB＝60°

，∴BE＝CE.∵I是△ABC的内心，∴∠4＝

∠ABC＝30°

，∠ICD＝

∠ACB＝30°

，∴∠4＝∠ICD，∴BI＝IC.由

（1）证得IE＝BE，∴BE＝CE＝BI＝IC，∴四边形BECI是菱形．

解决本题要掌握三角形的内心的性质，以及圆周角定理．

板书设计：

切线的判定及三角形的内切圆

1．切线的判定方法

2．三角形的内切圆和内心的概念

本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容，如动手操作“切线的判定定理的发现过程”，以及讲解例题时学生的参与，课堂练习的设计都体现了以教师为主导、学生为主体的教学原则.

*3.7切线长定理

1．理解切线长的定义；

2．掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题．（难点）

如图①，PA为⊙O的一条切线，点A为切点．如图②所示，沿着直线PO将纸对折，由于直线PO经过圆心O，所以PO是圆的一条对称轴，两半圆重合．设与点A重合的点为点B，这里，OB是⊙O的一条半径，PB是⊙O的一条切线．图中PA与PB、∠APO与∠BPO有什么关系？

探究点：

切线长定理

【类型一】利用切线长定理求线段的长

如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是点A和点B，如果∠APB＝60°

，线段PA＝10，那么弦AB的长是（　　）

A．10

B．12

C．5

D．10

∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA＝PB.∵∠APB＝60°

，∴△PAB是等边三角形，∴AB＝PA＝10.故选A.

切线长定理是在圆中判断线段相等的主要依据，经常用到．

【类型二】利用切线长定理求角的度数

如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°

，那么∠OPA的度数是________度．

如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°

.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°

，∴∠APB＝360°

－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°

－140°

＝40°

.易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝

∠APB＝20°

.故答案为20.

由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.

【类型三】利用切线长定理求三角形的周长

如图，PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，已知PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，求△PDE的周长．

连接OA，根据切线的性质定理，得OA⊥PA.根据勾股定理，得PA＝12，再根据切线长定理即可求得△PDE的周长．

连接OA，则OA⊥PA.在Rt△APO中，PO＝13cm，OA＝5cm，根据勾股定理，得AP＝12cm.∵PA、PB、DE是⊙O的切线，∴PA＝PB，DA＝DF，EF＝EB，∴△PDE的周长PD＋DE＋PE＝PD＋DF＋FE＋PE＝PD＋DA＋EB＋PE＝PA＋PB＝2PA＝24cm.

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．

【类型四】利用切线长定理解决圆外切四边形的问题

如图，四边形ABCD的边与圆O分别相切于点E、F、G、H，判断AB、BC、CD、DA之间有怎样的数量关系，并说明理由．

直接利用切线长定理解答即可．

AD＋BC＝CD＋AB，理由如下：

∵四边形ABCD的边与圆O分别相切于点E、F、G、H，∴DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF，AE＝AH，∴AH＋DH＋CF＋BF＝DG＋GC＋AE＋BE，即AD＋BC＝CD＋AB.

由切线长定理可以得到一些相等的线段，一定要明确这些相等线段．记住“圆外切四边形的对边之和相等”，对我们以后解决问题有很大帮助．

【类型五】切线长定理与三角形内切圆的综合

如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F.

BE＝CE；

（2）若∠A＝90°

，AB＝AC＝2，求⊙O的半径．

（1）利用切线长定理得出AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，进而得出BD＝CF，即可得出答案；

（2）首先连接OD、OE、OF，进而利用切线的性质得出∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°

，进而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．

∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF.∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AF，即BD＝CF，∴BE＝CE；

连接OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∴∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°

.又∵OD＝OF，∴四边形ODAF是正方形．设OD＝AD＝AF＝r，则BE＝BD＝CF＝CE＝2－r.在△ABC中，∠A＝90°

，∴BC＝

.又∵BC＝BE＋CE，∴（2－r）＋（2－r）＝2

，得r＝2－

，∴⊙O的半径是2－

本题综合考查了正方形的判定以及切线长定理和勾股定理等知识，解决问题的关键是得出四边形ODAF是正方形．

【类型六】利用切线长定理解决存在性问题

如图①，已知正方形ABCD的边长为2

，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E.

（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）?

（2）求四边形CDPF的周长；

（3）延长CD，FP相交于点G，如图②所示．是否存在点P，使BF·

FG＝CF·

OF？

如果存在，试求此时AP的长；

如果不存在，请说明理由．

（1）根据切线长定理得到FB＝FE，PE＝PA；

（2）根据切线长定理，发现该四边形的周长等于正方形的三边之和；

（3）若要满足结论，则∠BFO＝∠GFC，根据切线长定理得∠BFO＝∠EFO，从而得到这三个角应是60°

，然后结合已知的正方形的边长，也是圆的直径，利用30°

的直角三角形的知识进行计算．

（1）FB＝FE，PE＝PA；

（2）四边形CDPF的周长为FC＋CD＋DP＋PE＋EF＝FC＋CD＋DP＋PA＋BF＝BF＋FC＋CD＋DP＋PA＝BC＋CD＋DA＝2

×

3＝6

；

（3）假设存在点P，使BF·

OF.∴

.∵cos∠OFB＝

，cos∠GFC＝

，∴∠OFB＝∠GFC.∵∠OFB＝∠OFE，∴∠OFE＝∠OFB＝∠GFC＝60°

，∴在Rt△OFB中，BF＝

＝1.在Rt△GFC中，∵CG＝CF·

tan∠GFC＝CF·

tan60°

＝（2

－1）×

＝6－

，∴DG＝CG－CD＝6－3

，∴DP＝DG·

tan∠PGD＝DG·

tan30°

－3，∴AP＝AD－DP＝2

－（2

－3）＝3.

由于存在性问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算．一般思路是：

假设存在——推理论证——得出结论．若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，若导出矛盾，就做出“不存在”的判断．

1．切线长的概念

2．切线长定理

3．切线长定理的应用

在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣．首先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情景和实践操作中发现问题，解决问题．通过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确，使学生体会数学发展的过程.