九年级数学BS下367 直线和圆的位置关系及切线的性质教案Word格式.docx
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如图所示,∵在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=BC,CD⊥AB,∴△ABC是等腰直角三角形.
∵以点C为圆心,以2cm长为半径的圆与斜边AB相切,∴CD=2cm.∵∠B=45°
,∴CD=BD=2cm,∴BC=
=
=2
(cm).故选B.
解决问题的关键是根据题意画出图形,利用直线和圆的三种位置关系解答.
【类型三】在平面直角坐标系中,解决直线和圆的位置关系的问题
如图,在平面直角坐标系中,已知⊙O的半径为1,动直线AB与x轴交于点P(x,0),且满足直线AB与x轴正方向夹角为45°
,若直线AB与⊙O有公共点,则x的取值范围是( )
A.-1≤x≤1B.-
<x<
C.0≤x≤
D.-
≤x≤
当直线AB与⊙O相切且与x轴正半轴相交时,设切点为C,连接OC.∵直线AB与x轴正方向夹角为45°
,∴△POC是等腰直角三角形.∵⊙O的半径为1,∴OC=PC=1,∴OP=
,∴点P的坐标为(
,0).同理可得,当直线AB与x轴负半轴相交时,点P的坐标为(-
,0),∴x的取值范围为-
≤x≤
.故选D.
解决本题要熟知直线和圆的三种位置关系,关键是有公共点的情况不要遗漏.
探究点二:
切线的性质
【类型一】利用切线的性质求线段长
如图,CB是⊙O的直径,P是CB延长线上一点,PB=2,PA切⊙O于A点,PA=4.求⊙O的半径.
设圆的半径是x,利用勾股定理可得关于x的方程,求出x的值.
解:
如图,连接OA,∵PA切⊙O于A点,∴OA⊥PA.设OA=x,∴OP=x+2.在Rt△OPA中,x2+42=(x+2)2,∴x=3,∴⊙O的半径为3.
运用切线的性质来进行计算或证明时,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.
【类型二】圆的切线与相似三角形的综合
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线,交BC于E,连接CD.
(1)求证:
点E是边BC的中点;
(2)求证:
BC2=BD·
BA;
(3)当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时,求证:
△ABC是等腰直角三角形.
(1)利用切线的性质及圆周角定理证明;
(2)利用相似三角形证明;
(3)利用正方形的性质证明.
证明:
(1)如图,连接OD.∵DE为切线,∴∠EDC+∠ODC=90°
.∵∠ACB=90°
,∴∠ECD+∠OCD=90°
.又∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD,∴∠EDC=∠ECD,∴ED=EC.∵AC为直径,∴∠ADC=90°
,∴∠BDE+∠EDC=90°
,∠B+∠ECD=90°
,∴∠B=∠BDE,∴ED=BE.∴EB=EC,即点E为边BC的中点;
(2)∵AC为直径,∴∠ADC=∠ACB=∠BDC=90°
.又∵∠B=∠B,∴△ABC∽△CBD,∴
,∴BC2=BD·
(3)当四边形ODEC为正方形时,∠OCD=45°
.∵AC为直径,∴∠ADC=90°
,∴∠CAD=180°
-∠ADC-∠OCD=180°
-90°
-45°
=45°
,∴Rt△ABC为等腰直角三角形.
本题的综合性比较强,但难度不大,解决问题的关键是综合运用学过的知识解答.另外,连接圆心和切点,构造直角三角形也是解题的关键.
【类型三】圆的切线与三角函数的综合
如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H,过点B作⊙O的切线与AD的延长线交于F点.
∠ABC=∠F;
(2)若sinC=
,DF=6,求⊙O的半径.
(1)由切线的性质得AB⊥BF,因为CD⊥AB,所以CD∥BF,由平行线的性质得∠ADC=∠F,由圆周角定理的推论得∠ABC=∠ADC,于是证得∠ABC=∠F;
(2)连接BD.由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°
,因为∠ABF=90°
,然后运用解直角三角形解答.
(1)证明:
∵BF为⊙O的切线,∴AB⊥BF.∵CD⊥AB,∴∠ABF=∠AHD=90°
,∴CD∥BF.∴∠ADC=∠F.又∵∠ABC=∠ADC,∴∠ABC=∠F;
(2)解:
连接BD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°
,∴∠A+∠ABD=90°
.由
(1)可知∠ABF=90°
,∴∠ABD+∠DBF=90°
,∴∠A=∠DBF.又∵∠A=∠C,∴∠C=∠DBF.在Rt△DBF中,sin∠DBF=sinC=
,DF=6,∴BF=10,∴BD=8.在Rt△ABD中,sinA=sinC=
,BD=8,∴AB=
.∴⊙O的半径为
.
运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.
板书设计
直线和圆的位置关系及切线的性质
1.直线和圆的位置关系:
①直线l与圆O相交⇔d<r;
②直线l与圆O相切⇔d=r;
③直线l与圆O相离⇔d>r.
2.切线的性质及运用
教学反思:
在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时,先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系,启发学生运用类比的思想来思考问题,解决问题,学生很轻松地就能够得出结论,从而突破本节课的难点,使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化.
第2课时切线的判定及三角形的内切圆
1.掌握切线的判定定理,并会运用它进行切线的证明;
2.能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线;
(难点)
3.掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念.(重点)
下雨天,当你转动雨伞,你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出.仔细观察一下,水珠是顺着什么样的方向飞出的?
这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况.
切线的判定
【类型一】已知直线过圆上的某一个点,证明圆的切线
如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠D=30°
,求证:
CD是⊙O的切线.
要证明CD是⊙O的切线,即证明OC⊥CD.连接OC,由AC=CD,∠D=30°
,则∠A=∠D=30°
,得到∠COD=60°
,所以∠OCD=90°
连接OC,如图,∵AC=CD,∠D=30°
,∴∠A=∠D=30°
.∵OA=OC,∴∠ACO=∠A=30°
,∴∠COD=60°
,∴∠OCD=90°
,即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切线.
一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论,特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线.
【类型二】直线与圆的公共点没有确定时,证明圆的切线
如图,O为正方形ABCD对角线AC上一点,以O为圆心,OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证:
CD与⊙O相切.
连接OM,过点O作ON⊥CD于点N,用正方形的性质得出AC平分角∠BCD,再利用角平分线的性质得出OM=ON即可.
连接OM,过点O作ON⊥CD于点N,∵⊙O与BC相切于点M,∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD,O为正方形ABCD对角线AC上一点,∴OM=ON,∴CD与⊙O相切.
如果直线与圆的公共点没有确定,则应过圆心作直线的垂线,证明圆心到这条直线的距离等于半径.
【类型三】切线的性质和判定的综合应用
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上,DE⊥EB.
AC是△BDE的外接圆的切线;
(2)若AD=2
,AE=6,求EC的长.
(1)取BD的中点O,连接OE,如图,由∠BED=90°
,可得BD为△BDE的外接圆的直径,点O为△BDE的外接圆的圆心,再证明OE∥BC,得到∠AEO=∠C=90°
,可得结论;
(2)设⊙O的半径为r,根据勾股定理和平行线分线段成比例定理,可求答案.
取BD的中点O,连接OE,如图所示,∵DE⊥EB,∴∠BED=90°
,∴BD为△BDE的外接圆的直径,点O为△BDE的外接圆的圆心.∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠OBE.∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB,∴∠OEB=∠CBE,∴OE∥BC,∴∠AEO=∠C=90°
,∴OE⊥AE,∴AC是△BDE的外接圆的切线;
设⊙O的半径为r,则OA=OD+DA=r+2
,OE=r.在Rt△AEO中,有AE2+OE2=AO2,即62+r2=(r+2
)2,解得r=2
.∵OE∥BC,∴
,即
,∴CE=3.
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
三角形的内切圆
【类型一】利用三角形的内心求角的度数
如图,⊙O内切于△ABC,切点D、E、F分别在BC、AB、AC上.已知∠B=50°
,∠C=60°
,连接OE,OF,DE,DF,那么∠EDF等于( )
A.40°
B.55°
C.65°
D.70°
∵∠A+∠B+∠C=180°
,∠B=50°
,∴∠A=70°
.∵⊙O内切于△ABC,切点分别为D、E、F,∴∠OEA=∠OFA=90°
,∴∠EOF=360°
-∠A-∠OEA-∠OFA=110°
,∴∠EDF=
∠EOF=55°
.故选B.
解决本题的关键是理解三角形内心的概念,求出∠EOF的度数.
【类型二】求三角形内切圆半径
如图,Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=6,CB=8,则△ABC的内切圆半径r为( )
A.1B.2C.1.5D.2.5
∵∠C=90°
,AC=6,CB=8,∴AB=
=10,∴△ABC的内切圆半径r=
=2.故选B.
记住直角边为a、b,斜边为c的三角形的内切圆半径为
,可以大大简化计算.
【类型三】三角形内心的综合应用
如图①,I是△ABC的内心,AI的延长线交边BC于点D,交△ABC的外接圆于点E.
(1)BE与IE相等吗?
请说明理由.
(2)如图②,连接BI,CI,CE,若∠BED=∠CED=60°
,猜想四边形BECI是何种特殊四边形,并证明你的猜想.
(1)连接BI,根据I是△ABC的内心,得出∠1=∠2,∠3=∠4,再根据∠BIE=∠1+∠3,∠IBE=∠5+∠4,而∠5=∠1=∠2,得出∠BIE=∠IBE,即可证出IE=BE;
(2)由三角形的内心,得到角平分线,根据等腰三角形的性质得到边相等,由等量代换得到四条边都相等,推出四边形是菱形.
(1)BE=IE.理由如下:
如图①,连接BI,∵I是△ABC的内心,∴∠1=∠2,∠3=∠4.∵∠BIE=∠1+∠3,∠IBE=∠5+∠4,而∠5=∠1=∠2,∴∠BIE=∠IBE,∴BE=IE;
(2)四边形BECI是菱形.证明如下:
∵∠BED=∠CED=60°
,∴∠ABC=∠ACB=60°
,∴BE=CE.∵I是△ABC的内心,∴∠4=
∠ABC=30°
,∠ICD=
∠ACB=30°
,∴∠4=∠ICD,∴BI=IC.由
(1)证得IE=BE,∴BE=CE=BI=IC,∴四边形BECI是菱形.
解决本题要掌握三角形的内心的性质,以及圆周角定理.
板书设计:
切线的判定及三角形的内切圆
1.切线的判定方法
2.三角形的内切圆和内心的概念
本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容,如动手操作“切线的判定定理的发现过程”,以及讲解例题时学生的参与,课堂练习的设计都体现了以教师为主导、学生为主体的教学原则.
*3.7切线长定理
1.理解切线长的定义;
2.掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题.(难点)
如图①,PA为⊙O的一条切线,点A为切点.如图②所示,沿着直线PO将纸对折,由于直线PO经过圆心O,所以PO是圆的一条对称轴,两半圆重合.设与点A重合的点为点B,这里,OB是⊙O的一条半径,PB是⊙O的一条切线.图中PA与PB、∠APO与∠BPO有什么关系?
探究点:
切线长定理
【类型一】利用切线长定理求线段的长
如图,从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB,切点分别是点A和点B,如果∠APB=60°
,线段PA=10,那么弦AB的长是( )
A.10
B.12
C.5
D.10
∵PA、PB都是⊙O的切线,∴PA=PB.∵∠APB=60°
,∴△PAB是等边三角形,∴AB=PA=10.故选A.
切线长定理是在圆中判断线段相等的主要依据,经常用到.
【类型二】利用切线长定理求角的度数
如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,点C在⊙O上,如果∠ACB=70°
,那么∠OPA的度数是________度.
如图所示,连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,∴OA⊥PA,OB⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°
.又∵∠AOB=2∠ACB=140°
,∴∠APB=360°
-∠PAO-∠AOB-∠OBP=360°
-140°
=40°
.易证△POA≌△POB,∴∠OPA=
∠APB=20°
.故答案为20.
由公共点引出的两条切线,可以运用切线长定理得到等腰三角形.另外根据全等的判定,可得到PO平分∠APB.
【类型三】利用切线长定理求三角形的周长
如图,PA、PB、DE是⊙O的切线,切点分别为A、B、F,已知PO=13cm,⊙O的半径为5cm,求△PDE的周长.
连接OA,根据切线的性质定理,得OA⊥PA.根据勾股定理,得PA=12,再根据切线长定理即可求得△PDE的周长.
连接OA,则OA⊥PA.在Rt△APO中,PO=13cm,OA=5cm,根据勾股定理,得AP=12cm.∵PA、PB、DE是⊙O的切线,∴PA=PB,DA=DF,EF=EB,∴△PDE的周长PD+DE+PE=PD+DF+FE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=2PA=24cm.
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线,平分两条切线的夹角.
【类型四】利用切线长定理解决圆外切四边形的问题
如图,四边形ABCD的边与圆O分别相切于点E、F、G、H,判断AB、BC、CD、DA之间有怎样的数量关系,并说明理由.
直接利用切线长定理解答即可.
AD+BC=CD+AB,理由如下:
∵四边形ABCD的边与圆O分别相切于点E、F、G、H,∴DH=DG,CG=CF,BE=BF,AE=AH,∴AH+DH+CF+BF=DG+GC+AE+BE,即AD+BC=CD+AB.
由切线长定理可以得到一些相等的线段,一定要明确这些相等线段.记住“圆外切四边形的对边之和相等”,对我们以后解决问题有很大帮助.
【类型五】切线长定理与三角形内切圆的综合
如图,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的内切圆,它与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F.
BE=CE;
(2)若∠A=90°
,AB=AC=2,求⊙O的半径.
(1)利用切线长定理得出AD=AF,BD=BE,CE=CF,进而得出BD=CF,即可得出答案;
(2)首先连接OD、OE、OF,进而利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=∠A=90°
,进而得出四边形ODAF是正方形,再利用勾股定理求出⊙O的半径.
∵⊙O是△ABC的内切圆,∴AD=AF,BD=BE,CE=CF.∵AB=AC,∴AB-AD=AC-AF,即BD=CF,∴BE=CE;
连接OD、OE、OF,∵⊙O是△ABC的内切圆,切点为D、E、F,∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°
.又∵OD=OF,∴四边形ODAF是正方形.设OD=AD=AF=r,则BE=BD=CF=CE=2-r.在△ABC中,∠A=90°
,∴BC=
.又∵BC=BE+CE,∴(2-r)+(2-r)=2
,得r=2-
,∴⊙O的半径是2-
本题综合考查了正方形的判定以及切线长定理和勾股定理等知识,解决问题的关键是得出四边形ODAF是正方形.
【类型六】利用切线长定理解决存在性问题
如图①,已知正方形ABCD的边长为2
,点M是AD的中点,P是线段MD上的一动点(P不与M,D重合),以AB为直径作⊙O,过点P作⊙O的切线交BC于点F,切点为E.
(1)除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外,图中还有哪些相等的线段(不能添加字母和辅助线)?
(2)求四边形CDPF的周长;
(3)延长CD,FP相交于点G,如图②所示.是否存在点P,使BF·
FG=CF·
OF?
如果存在,试求此时AP的长;
如果不存在,请说明理由.
(1)根据切线长定理得到FB=FE,PE=PA;
(2)根据切线长定理,发现该四边形的周长等于正方形的三边之和;
(3)若要满足结论,则∠BFO=∠GFC,根据切线长定理得∠BFO=∠EFO,从而得到这三个角应是60°
,然后结合已知的正方形的边长,也是圆的直径,利用30°
的直角三角形的知识进行计算.
(1)FB=FE,PE=PA;
(2)四边形CDPF的周长为FC+CD+DP+PE+EF=FC+CD+DP+PA+BF=BF+FC+CD+DP+PA=BC+CD+DA=2
×
3=6
;
(3)假设存在点P,使BF·
OF.∴
.∵cos∠OFB=
,cos∠GFC=
,∴∠OFB=∠GFC.∵∠OFB=∠OFE,∴∠OFE=∠OFB=∠GFC=60°
,∴在Rt△OFB中,BF=
=1.在Rt△GFC中,∵CG=CF·
tan∠GFC=CF·
tan60°
=(2
-1)×
=6-
,∴DG=CG-CD=6-3
,∴DP=DG·
tan∠PGD=DG·
tan30°
-3,∴AP=AD-DP=2
-(2
-3)=3.
由于存在性问题的结论有两种可能,所以具有开放的特征,在假设存在性以后进行的推理或计算.一般思路是:
假设存在——推理论证——得出结论.若能导出合理的结果,就做出“存在”的判断,若导出矛盾,就做出“不存在”的判断.
1.切线长的概念
2.切线长定理
3.切线长定理的应用
在教学过程中,通过安排实践操作活动,使学生提高了探究的兴趣.首先教师突出操作要求,学生操作并思考回答问题,教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题,让学生体会从具体情景和实践操作中发现问题,解决问题.通过设计问题情境,使学生提高解决问题的意识,通过自己画图尝试从中得到感性认识,进而不断地比较,让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰,从具体到抽象,从直觉到逻辑的过程,再由直观、粗糙向严格、精确,使学生体会数学发展的过程.