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b
f（x）dx?
Akf（xk）至少具有n次代数精度。
y?
20y1
，当步长h满足0?
h?
时，Euler方法是绝对稳定的。
y（0）?
二、计算题（共7个小题，每小10分，共70分）
1、下列诸数是按四舍五入方法得来的近似数：
p?
1.1020,q?
0.031,r?
385.6
试计算
（1）p?
q?
r；
（2）pqr，并并指出计算结果有多少位有效数字。
111
101?
5?
0.00005,e（q）?
3?
0.00005,e（r）?
103?
4?
0.05.222
（1）p?
r的绝对误差限为?
（p?
r）?
0.0501?
0.5,又p?
r?
386.1330,所以
e（p?
0.5?
3,p?
r有3位有效数值,故p?
386.
2
（2）pqr的绝对误差限为?
（pqr）?
|qr|?
（p）?
|pr|?
（q）?
|pq|?
（r）?
0.05,pqr?
13.1728672,
12?
所以e（pqr）?
0.05?
10,pqr有3位有效数值,故pqr?
13.2
解:
e（p）?
2、应用牛顿法于方程x?
a?
0,
（1）xk?
21axk?
.233xk
x3?
0的单根,
.
当a?
0时,迭代公式退化为xk?
xk,xk?
0,迭代公式收敛.
（2）当a?
0时
3、用LU分解求解方程组：
3x1?
x2?
2x3?
x1?
4。
2x?
x?
123
10
123?
b?
设A?
LU,则L?
设A?
21?
25?
34
11T
化为:
Ly?
b,Ux?
y,解Ly?
b得y?
（3,3,?
）.解方程Ux?
4
4、取初始向量x（0）?
（0,0,0）T，用Jacobi迭代法求方程组
0?
41?
方程0?
U?
33?
11?
00?
y得:
1,x2?
2,x3?
1.
2x2?
3?
5
23?
（4）
的解。
写出迭代公式，并计算出x3。
（k）（k）?
x1（k?
1）?
（k）（0）T
（1）T
（2）T
x2,当x?
（0,0,0）时,x?
（1,3,5）,x?
（5,?
3,?
3）,?
x1（k）?
x3
1）（k）（k）x?
2x12?
x（3）?
（1,1,1）T,x（4）?
（1,1,1）T
所以x3?
由于1.9介于1和4之间,而1和4的算术平方根为1和2.故x0?
1,x1?
4,此时y0?
1,
y1?
2.由线性插值公式得
6、求数据:
1.9?
41.9?
2?
1.31?
44?
的最小二乘拟合y?
a0?
a1x?
a2x。
7028?
23911?
a1?
39?
解之得a0?
a1?
a2?
故数据的最解:
法方程为?
028
32884?
280196?
7?
小二乘拟合函数为y?
7、试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式
23911
x2.32884
Af（?
a）?
Bf（0）?
Cf（a）
有尽可能高的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少？
它是否是Gauss型的？
解:
公式要确定的参数有4个,先设公式对函数f（x）?
1,x,x2,x3精确成立,注意当f（x）?
x,x3时所得方程相同.故最后假设公对函数f（x）?
1,x,x2,x4精确成立,得
A?
B?
C?
Aa?
Ca?
216?
Ca2?
4644?
101610,B?
C?
和a?
求积公式为
9992
解方程组得A?
101610f（?
f（0）?
f
9991585与高斯型求积公式?
f（?
f比较,得出公式是Gauss型的,它有
19995次代数精度.
三、证明题（6分）
证明求解微分方程初值问题的中点方法yn?
yn?
2hf（xn,yn）为二阶方法。
证明:
由局部截断误差的定义
Tn?
y（xn?
2hf（xn,y（xn））?
y（x）?
y（nx?
h）?
hy（nx）n?
h
h23
y（nx）?
O（h）?
y（xn）?
hy（nx）2
h23?
y（x））?
hy（x?
）y（x?
）O（?
hnnn
（x?
2hyn）
O（h）
局部截断误差为h同阶无穷小,故中点方法是二阶方法.
篇二：
河南理工大学计算方法试题答案（A）
河南理工大学201X-201X学年第一学期
二、已知方程x?
5在区间[1,2]内有根
（1）写出求解方程的一种收敛的简单迭代格式，并说明收敛原因；
《计算方法》试卷（A卷）
（2）写出牛顿迭代格式及双点弦截格式。
一、填空题（每空3分，共42分）
1、若x?
31.41592是x*
的具有五位有效数字的近似值，则误差限是。
2、利用二分法求方程f（x）?
0在区间[a,b]内的根，则二分n次后的误差限为。
3、矩阵A?
14?
，则矩阵A的杜丽特尔分解L?
U?
4x1?
x2
74、求解方程组?
x
4x2?
4的雅可比迭代格式为，用雅可比迭代
三、
（1）取7个点，分别复化的梯形公式、复化的Simpson公式计算?
4x3?
8?
6
0x2dx；
法求解该方程组是（收敛、发散）的。
（2）利用这7个点能用复化的柯特斯吗，为什么？
5、对f（x）?
3x3
2，差商f[0,1,2,3]?
f[0,1,2,3,4]?
6、求积公式
（b?
a）f（
）的代数精度为。
7、数值积分中的柯特斯公式为C?
8、矛盾方程组?
5?
的最小二乘解为?
9、求解微分方程初值问题?
y'
xy
[0,1]
的欧拉公式为?
0.5
，改进的欧拉公
式为，用改进的欧拉计算y1?
密
………………
…
……四、利用在点1,4,9的函数值：
…f（x）?
（1）建立其拉格朗日插值多项式，并进行误差分析；
…
（2）构造差商表，建立牛顿插值多项式。
……
……线………………………………封………………………………密…………………………
x3五、
（1）用列主元消去法求解方程组?
5x1?
3x3?
12；
2x1
11
10x3?
15
（2）对于方程组?
10x1?
4x?
5试建立一种收敛的赛德尔迭代格式并说明收敛理由；
写出其
10x2?
8
迭代格式，取x（0）?
（0,0,0），计算x
（1）。
篇三：
大学计算方法和数值分析复习试题
201X计算方法复习
务必通过本提纲例子和书上例子掌握如下书本内容：
1.会平方根法求解方程组
2.会求Lagrange,Newton插值多项式和余项
3.会Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式，迭代矩阵及其谱半径，收敛性。
4.会高斯-勒让德公式求积分
5.会写非线性方程根的Newton迭代格式6.会用改进的欧拉公式求解初值问题7.会求最佳平方逼近多项式8.会计算求积公式的代数精度9.会写插值基函数
10.会三次样条函数的概念
11.会计算差商12.了解矩阵范数
第一章、绪论
（一）考核知识点
误差的来源类型；
绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；
误差的传播。
（二）复习要求
1.了解数值分析的研究对象与特点。
2.了解误差来源与分类,会求有效数字;
会简单误差估计。
3.了解误差的定性分析及避免误差危害。
例题
例1.设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有2位有效数字。
例2.为了提高数值计算精度,当正数x充分大时,应将ln（x?
1）改写为
ln（x?
1）。
例3.
第二章、插值法
插值多项式，插值基函数，拉格朗日插值多项式，差商及其性质，牛顿插值多项式，差分与等距插值；
分段线性插值；
样条函数，三次样条插值函数；
1.了解插值的概念。
2.掌握拉格朗日（Lagrange）插值法及其余项公式。
3.了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。
4.了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。
x*的相对误差约是x*的相对误差的1/3倍.
5.了解埃尔米特（Hermite）插值及其余项公式。
6.知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误差和收敛性。
7.会三次样条插值,知道其误差和收敛性。
例题例1.
设f（x）=x3+x2-3,则差商f[3,32,33,34]=1.
例2.设l0（x）,l1（x）,l2（x）,l3（x）是以x0,x1,x2,x3为互异节点的三次插值基函数,则
l
j
（x）（xj?
2）3=（x?
2）3
例3.已知列表函数y?
f（x）
试求满足上述插值条件的3次Newton插值多项式N3（x），并写出插值余项。
解：
牛顿插值公式是
Nn（x）?
f（x0）?
f?
x0,x1?
（x?
x0）?
x0,x1,x2?
x0）（x?
x1）?
x0,?
xn?
xn?
N3（x）?
5（x?
2（x?
1）（x?
2）?
1）（
2）（x?
3）
（?
）
1）2（x?
2）3!
例4已知函数y=f（x）的观察数据为
插值余项是：
R（x）?
试构造f（x）n解先构造基函数
x（x?
）（x?
）x（x?
l?
（x）?
）（?
）?
））（?
（x?
所求三次多项式为
P3（x）=k?
0＝
yl
kk
（x）
＋－＋
＝?
P3（－1）＝?
第三章、函数逼近与曲线拟合
1.了解函数逼近的基本概念,了解范数和内积空间。
2.了解正交多项式的概念,了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质,知道其他常用正交多项式。
3.理解最佳平方逼近的概念,掌握最佳平方逼近多项式的求法,了解用正交多项式做最佳平方逼近的方法。
4.了解曲线拟合的最小二乘法并会计算,了解用正交多项式做最小二乘拟合。
5.了解最小二乘三角逼近与快速傅里叶变换。
1,x?
中寻求对于f?
lnx的1.定义内积（f,g）?
f（x）g（x）dx，试在H1?
Span
最佳平方逼近多项式p?
解f?
lnx，?
0（x）?
1，?
1（x）?
0,?
11dx?
1，?
1,?
xdx?
32
27
，?
0,f?
lnxdx?
2ln2?
1，
13
1
f?
1xlnxdx?
3，
x2dx?
法方程为
13/2?
3/27/3?
3/4?
解得a0?
0.6371，a1?
0.6822。
所求的最佳平方逼近多项式为
p（x）?
0.6822x?
0.6371。
2.设M2?
span{1,x2}，试在M2中求f（x）?
x在区间[-1，1]上的最佳平方逼近元。
设
x2,f（x）在M2中的最佳平方逼近元为
P?
则a0和a1满足如下正规方程组
0，?
0，f?
，?
011?
22/3?
即?
1/2?
2/32/5?
解得a1?
15/16,a0?
3/16
所求最佳平方逼近元为P（x）?
3/16?
15/16*x2
3.给定数据表
试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据.
解y（x）?
c0?
c1x?
c2x2?
c3x3
24?
50100?
010034?
A?
1000?
，ATA?
100340?
1111?
0340130?
1248?
ATy?
（2.9,4.2,7,14.4）T
法方程
ATAc?
ATy
的解为c0?
0.4086，c1?
0.39167，c2?
0.0857，c3?
0.00833得到三次多项式
0.4086?
0.39167x?
0.0857x2?
0.00833x3
误差平方和为?
0.000194
第四章、数值积分与数值微分数
代数精度；
插值型求积公式，牛顿—柯特斯公式，复合求积公式，求积公式的误差，步长的自动选择，龙贝格求积公式，高斯型求积公式。
（二点、三点）高斯――勒让德求积公式。
1.了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。
2.掌握牛顿-柯特斯公式及其性质和余项。
3.掌握复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。
4.了解龙贝格（Romberg）求积算法，知道外推法。
5.会高斯求积公式,了解高斯-勒让德求积公式和高斯-切比雪夫求积公式。
1.试确定参数A,B,C及a,使数值积分公式
Cf（?
有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?
它是否是Gauss公式?
解令公式对f（x）=1,x,x2,x3,x4都精确成立,则有4=A+B+C,0=Aa-Ca,16/3=Aa2+Ca2,0=Aa3-Ca364/5=Aa4+Ca4,解得:
A=C=10/9,B=16/9,a=（12/5）1/2
容易验证公式对f（x）=x5仍精确成立，故其代数精度为5，是Gauss公式。
211123
f（）?
f（）具有3次代数精度.
0343234
3.用两点高斯-勒让德公式求积分
2.求积公式?
I?
xdx
0.5t?
0.5,x?
0,1?
t?
1,1?
dx?
0.5dt
篇四：
西安交通大学计算方法考题B_201X
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