上海000203初一数学竞赛试题Word格式文档下载.docx
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能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和．
三、（16分）
（1）在4×
4的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后画去其中2行与2列．若无论怎样画，都至少有一个红色的小方格没有被画去，则至少要涂多少个小方格?
证明你的结论．
（2）如果把上题中的“4×
4方格纸”改成“n×
n的方格纸（n≥5）”，其他条件不变，那么，至少要涂多少个小方格?
证明你的结论
四、（18分）如图，ABCD是一个边长为l的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．
2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛参考答案
a-11b+10c+d=0，
11b=a+10c+d．
（1）
又依题意9a+b=a+b+c+d，
8a=c+d．
代入
（1）得
11b=9（a+c）．
（2）
且由c+d≤18，知a=l或2．
于是，由式
（2）得
b=9，a=2，c=9．
进而由8a=c+d，得d=7．
故所求的四位数是2997．
三、
（1）至少要涂7个小方格．
若涂色格数≤4，则适当画去2行与2列必能把涂色小方格全部画去．
若涂色格数是5，则至少有一行有2格涂色，画掉这一行，剩下的涂色格数不超过3，再画去l行、2列必能把涂色小方格全部画去．
若涂色格数是6，则至少有一行有3格涂色，或至少有二行各有2格涂色，故画去2行至少能画去4格涂色小方格，剩下涂色格数不超过2，再画去2列必能将它们画去．
按图
（1）涂色7格，则画去2行至多画去4格涂色的小方格，且剩下的涂色小方格位于不同的3列，再画去2列不能将它们全部画去．
（2）至少要涂5个小方格．
这是因为，若涂色格数≤4，则画去2行、2列必能将它们全部画去．
按图
（2）涂色5格，则任意画去2行、2列必有涂色小方格没有画去．
2002年全国初中数学竞赛上海市预赛试题
第一试
（本试卷共l5题，l-5题每题65分，6～10题每题8分，11～15题每题10分，满分120分）
1．已知a=
，b=1．10.9，c=0．91.1，则将a、b、c从小到大排列，并用“<
"
表示是
2.若
，则a的值是．
3．已知a为无理数，且
，则
的值为．
4．由y=||x|-1|的图像与y=2的图像围成的图形的面积是．
5．三角形的三条边a、b、c满足1≤a≤3≤b≤5≤c≤7，当此三角形的面积最大时，它的周长是．
6．方程
的正整数解构成的有序数组（x，y）共有组．
7．如图，在△ABC中，F、G是BC边上的两点，使∠B、∠C的平分线BE、CD分别垂直AG，AF（E、D为垂足）．若△ABC的周长为22，BC边长为9，则DE的长为．
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a为正整数）经过点A（-1，4）与点B（2，1），且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为．
9．如图，点P、Q在△ABC的AC边上，且AP：
PQ：
QC=1：
2：
3，点R在BC边上，且BR：
RC=1：
2，AR与BP、BQ分别相交于D、E，则SPQED：
S△ABC=．
10．整数x、y满足5x2+y2+4xy+24<
10x，则x+y的值是．
11．设abcd是一个四位数，且满足a+b+c+d=
=c·
d（
表示为两位数），则具有上述性质的最大四位数是．
12．已知m、n是正整数，且m≥n．由5mn个单位正方体组成长、宽、高顺次为m、n、5的长方体，将此长方体相交于某一顶点三个面涂色，若恰有一半的单位正方体各面都没有涂到颜色，则有序数组（m、n）=
13．在△ABC中，点D、E、F顺次在边AB、BC、CA上，设AD=p·
AB，BE=q·
BC，CF=r·
CA，其中p、q、r是正数，且使p+q+r=2/3，p2+q2+r2=2/5，则S△DEF：
14．已知a、b、c都是整数，且对一切实数x，（x-a）（x-2002）-2=（x-b）（x-c）都成立，则这样的有序数组（a，b，c）共有组．
15．如图，I是Rt△ABC（∠C=90°
）的内心，过I作直线EF∥AB，分别交CA、CB于E、F．已知EI=m，IF=n，则用m、n表示S△ABC=．
4．7y=||x|—l|的图像与y=2的图像，如图所示，阴影部分即是所围成的图形，它可看作一个等腰直角三角形挖去一个正方形．因此，该图形面积为7．
5．8+
欲使三角形面积最大，可让a取最大值3，b取最大值5，夹角取90°
．此时c=
满足5≤c≤7，周长为8+
．
6．81将已知方程变形，得2002（x+y）=xy，（x-2002）（y-2002）=20022．
∵x、y都是正整数，∴x-2002、y-2002都是整数，且都大于-2002．现这两整数之积为20022，故这两整数为同号，且至少有一个的绝对值不小于2002．因此，x-2002与y-2002必都是20022的正约数，而已知方程的正整数解（x，y）可写成（2002+d，2002+20022/d），这里d为20022的正约数．20022=22×
72×
112×
132，∴20022的正约数有34=81个，从而已知方程的正整数解（x，y）共有81个．
7．2由题设易证D、E分别是AF、AG的中点，且BA=BG，CA=CF．设DE=x，则FG=2x．BC=BG+CF-FG=AB+AC-2x=（22-BC）-2x．但BC=9，故x=2，即DE=2．
8．-4抛物线y=ax2+bx+c，经过点A（-1，4）与点B（2，1）a-b+c=4，且
9．5/24如图，过P、Q分别作BC的平行线，交AR于点X、Y，由题设及相似三角形易得BE/EQ
又由题设知n≥2，将n=2，3，4，5代入方程计算，只有当n=3、4时，m为正整数，对应的解是16、6．∴有序数组（m，n）=（16,3）：
（6,4）．
14．（2001，2002，2003），（2001，2003，2000），（2003，2001，2004），（2003，2004，2001）．展开已知等式的左边，得x2-（a+2002）x+2002a-2=（x-b）（x-c）．
它对一切实数x成立，．b、c即是二次方程x2-（a+2002）x+2002a-2=0（*）
的两个整数根，又a为整数，故判别式△=（a+2002）2-4（2002a-2）=（a-2002）2+8是完全平方．令（a-2002）2+8=n2，这里n为正整数，n>
|a-2002|．于是有（n+a-2002）（n-a+2002）=8，
解得n=3，a=2001或2003；
从而方程（*）的两根为
[（a+2002）±
3]．当a=2001时，方程（*）的两根为2000，2003；
当a=2003时，方程（*）的两根为2001，2004．故满足条件的有序组（a，b，c）共有如下4组：
（2001，2000，2003），（2001，2003，2000），（2003，2001，21304），（2003，2004．2001）．
【另解】连IA、IB、IC，则IA、IB、IC分别是△ABC三内角平分线，于是易得AE=EI=m，BF=FI=n．又由内角平分线性质，可令
2002年（宇振杯）上海市初中数学竞赛
一、填空题（1～5题每小题6分，6～10题每小题8分，共70分）
1．在2002当中嵌入一个数码组成五位数20□02．若这个五位数能被7整除，则嵌入的数码“□”是．
2．若实数a满足a3<
a<
a2，则不等式x+a>
1－ax解为．
3．如图，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A’处，第二次过A’再折叠，使折痕DE∥BC若AB=2，AC=3，则梯形BDEC的面积为．
4．已知关于正整数n的二次式y=n2+an（n为实常数）．若当且仅当n=5时，y有最小值，则实数n的取值范围是．
5．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，它的4个顶点为A（10，O）、B（0，10）、C（－10，O）、D（O，－10），则该正方形内及边界上共有个整点（即纵、横坐标都是整数的点）．
6．如图，P为△ABC形内一点，点D、E、F分别在BC、CA、AB上．过A、B、C分别作PD、PE、PF的平行线，交对边或对边的延长线于点X、Y、Z．若
7．若△ABC的三边两两不等，面积为
，且中线AD、BE的长分别为1和2，则中线CF的长为
8．计算：
9．若正数x、y、z满足xyz（x+y+z）=4，则（x+y）（y+z）的最小可能值为
lO．若关于x的方程
恰有两个不同的实数解，则实数a的取值范围是．
二、（16分）已知p为质数，使二次方程x2－2px+p2－5p－1=0的两根都是整数．求出p的所有可能值．
三、（16分）已知△XYZ是直角边长为l的等腰直角三角形（∠Z=90°
），它的3个顶点分别在等腰Rt△ABC（∠C=90°
）的三边上．求△ABC直角边长的最大可能值．
四、（18分）平面上有7个点，它们之间可以连一些线段，使7点中的任意3点必存在2点有线段相连．问至少要连多少条线段?
四、
（1）若7个点中，有一点孤立（即它不与其他点连线），则剩下6点每2．点必须连线，此时至少要连15条．
（2）若7点中，有一点只与另一点连线，则剩下5点每2点必须连线，此时至少要连11条．
（3）若每一点至少引出3条线段，则至少要连21/2条线段．由于线段数为整数，故此时至少要连11条．
（4）若每点至少引出2条线段，且确有一点（记为A）只引出2条线段AB、AC，则不与A相连的4点每2点必须连线，要连6条．由B引出的线段至少有2条，即除BA外还至少有一条．因此，此时至少要连6+2+1=9条．图中所给出的是连9条线的情况．综合
（1）～（4），至少要连9条线段，才能满足要求．
2003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题
（2003年12月7日 上午9∶00~11∶00）
解答本试卷不得使用计算器.
一、填空题（本大题10小题，前5题每题6分、后5题每题8分，共70分.）
1、设曲线C为函数
的图象，C关于
轴对称的曲线为C1，C1关于
轴对称的曲线为C2，则曲线C2是函数
＝＿＿＿＿＿＿＿＿的图象.
2、甲、乙两商店某种铅笔标价都是1元。
一天学生小王欲购这种铅笔，发现甲、乙两商店都让利优惠：
甲痁实行每买5支送1支（不足5支不送），乙店实行买4支或4支以上打8.5折，小王买13支这种铅笔，最少需要化＿＿＿＿＿元。
3、已知实数a、b、c满足a+b+c=0，
的值是＿＿＿.
4、已知凸四边形ABCD的四边长为AB＝8，BC＝4，CD＝DA＝6，则用不等式表示∠A大小的范围是＿＿＿＿＿＿。
5、在1，2，3，…，2003中有些正整数n，使得
能分解为两个整系数一次式的乘积，则这样的n共有＿＿＿＿＿个。
6、设正整数m，n满足m<
n，且
的值是＿＿＿＿。
7、数1，2，3，…，
按下列方式排列：
1
2
…
……
任取其中一数，并划去该数所在的行与列；
这样做了
次后，所取出的
个数的和是＿＿＿。
8、如图，边长为1的正三角形ANB放置在边长为MN＝3，NP＝4的正方形MNPQ内，且NB在边NP上。
若正三角形在长方形内沿着边NP、PQ、QM、MN翻转一圈后回到原来起始位置，则顶点A在翻转过程中形成轨迹的总长是＿＿＿＿＿（保留π）。
9、如图，△ABC中，AB＝BC＝10，点M、N在BC上，使得MN＝AM＝4，∠MAC＝∠BAN，则△ABC的面积是＿＿＿＿。
10、△ABC中，∠C＝3∠A，AB＝10，BC＝8，则AC的长是＿＿＿＿。
二、（本题16分）
，
均为正整数，若关于
的方程
的两个实数根都大于1，且小于2，求
的值。
三、（本题16分）
如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，使得△CMN的周长为2。
求
（1）∠MAN的大小；
（2）△MAN面积的最小值。
四、（本题18分）
某学生为了描点作出函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，取自变量的7个值：
，且
，分别算出对应的
的值，列出下表：
x
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
y
51
107
185
285
407
549
717
但由于粗心算错了其中一个y值。
请指出算错的是哪一个值？
正确的值是多少？
并说明理由。
参考答案
一、1．-ax2+bx-c2．10．953．O．0054．0°
<
∠A<
90°
5．446．527
7．
k（k2+1）8．5π9．
10．3
二、令f（x）=4x2—2mx+n，则y=f（x）的图像是开口向上的抛物线，对称轴为x=
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